क्या माध्यिका की गणना करने का कोई सूत्र है?

Question

क्या माध्य सूत्र के बराबर है:

$$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$$

मंझले के लिए?

Answer 1

यदि आप $O_1, O_2, \ldots, O_N$ को आपके मूल डेटा के क्रमबद्ध संस्करण के $X_1, X_2, \ldots, X_N$रूप में परिभाषित करते हैं, तो माध्यिका को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$$

अपने डेटा को ऑर्डर किए बिना, आप एक आयाम में माध्य को परिभाषित करने के लिए ज्यामितीय माध्यिका की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं :

$$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$$

ध्यान दें कि यह आवश्यक रूप से एक अद्वितीय मध्य को परिभाषित नहीं करता है जब अंक की एक समान संख्या होती है; उदाहरण के लिए किसी भी संख्या में साथ उद्देश्य का अनुकूलन करता है ।एक्स = { 2 , 3 , 4 , 5 $y\in[3, 4]$$X = \{2, 3, 4, 5\}$

Comments

लिए फॉर्म भी एकमात्र जवाब नहीं है - बस एक सम्मेलन का इस्तेमाल किया। और बीच कोई भी मूल्य यथोचित रूप से एक "माध्यिका" कहा जा सकता हैओ एन / 2 ओ एन / 2 + $N$$O_{N/2}$$O_{N/2+1}$

— संभावना 1

@probabilityislogic निश्चित रूप से। मैंने ज्यामितीय माध्यिका परिभाषा को जोड़ा है, जो कि भी आवश्यक नहीं है । $N$

— 1

Answer 2

माध्य को व्यक्त करने का एक वैकल्पिक तरीका "न्यूनतम वर्ग" अनुमान है:

$$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$$

का मतलब चुनने के लिए चुकता त्रुटियों के योग का सबसे छोटा मूल्य देता है।$m$

अब माध्यिका को "कम से कम पूर्ण विचलन" अनुमान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$$

माध्यिका होने के लिए को चुनना पूर्ण त्रुटियों के योग का सबसे छोटा मूल्य देता है।$m$

Answer 3

माध्य आधा मात्रा के अनुरूप मूल्य है, जो कि मानों का आधा अधिक है, आधे कम हैं (समानता के साथ मामलों की अनदेखी के लिए मुझे क्षमा करें या जब सेट सम है ...)। ऐसा दिया जाता है कि डेटा का पीडीएफ सेट है, तो संचयी वितरण का आसानी से मूल्यांकन किया जाता है। इस फ़ंक्शन को नोट कर रहा है , फिर एक्स 1 ⋅ एक्स एन पी $p_X$$X_1 \cdot X_n$$P_X$

$$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$$

$p(\theta)$$P(\theta)$$\theta$$1/2$$0$