एक आइसोट्रोपिक (गोलाकार) सहसंयोजक मैट्रिक्स क्या है?

Question

क्या कोई मुझे सरल शब्दों में समझा सकता है कि एक आइसोट्रोपिक कोवरियनस मैट्रिक्स क्या है? मुझे ऑनलाइन कुछ भी नहीं मिल रहा है।

Answer 1

एक सहसंयोजक मैट्रिक्स $\mathbf C$इसे आइसोट्रोपिक या गोलाकार कहा जाता है , यदि यह पहचान मैट्रिक्स के अनुपात में है:

$$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$$ यानी यह विकर्ण है और विकर्ण पर सभी तत्व समान हैं।

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यह परिभाषा समन्वय प्रणाली पर निर्भर नहीं करती है; यदि हम एक ऑर्थोगोनल रोटेशन मैट्रिक्स के साथ समन्वय प्रणाली को घुमाते हैं$\mathbf V$, तब सहसंयोजक मैट्रिक्स में बदल जाएगा

$$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$$ यानी वही रहेंगे।

सहज रूप से, आइसोट्रोपिक कोवरियनस मैट्रिक्स एक "गोलाकार" डेटा क्लाउड से मेल खाती है। एक गोला घूमने के बाद एक गोला बना रहता है।

Comments

क्या होगा अगर चर पाने के लिए घुमाया जा सकता है $\lambda \mathbf I$सहप्रसरण आव्यूह?

— अक्कल

@ अक्षल अपडेट देखें

— अमीबा

+1। लेकिन उत्सुकता से, "आइसोट्रोपिक" की एक पूरी तरह से अलग परिभाषा भी लागू होती है$C$क्योंकि - जैसा कि कोवरियन मैट्रिस के साथ सामान्य है - यह एक वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष पर एक द्विघात रूप का प्रतिनिधित्व करता है। लेकिन इस अन्य अर्थ में, एकमात्र आइसोट्रोपिक कोवरियनस मैट्रिक्स शून्य मैट्रिक्स है!

— whuber

@ शुभंकर दिलचस्प! मुझे याद नहीं था कि "आइसोट्रोपिक" द्विघात रूपों की धारणा मौजूद है। लेकिन अब परिभाषा पढ़ना, कम से कम एक शून्य eigenvalue के साथ कोई सहसंयोजक मैट्रिक्स "isotropic" उस अर्थ में नहीं होगा?

— अमीबा

आप सही हैं - मैंने क्वांटिफायर को गलत बताया है। परिभाषा के अनुसार, एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप में कम से कम एक नॉनज़रो आइसोट्रोपिक वेक्टर होता है (बल्कि सभी वैक्टर आइसोट्रोपिक होते हैं)।

— whuber

Answer 2

सहसंयोजक केवल का एक कार्य है $|x - x'|$। आप वहां एक परिभाषा पा सकते हैं ।

संपादित करें: क्षमा करें, मैं मैट्रिक्स के लिए गलत हूं, सही उत्तर अमीबा का है।

Comments

प्रश्न सहसंयोजक मैट्रिक्स के बारे में पूछते हैं । बेशक एक मैट्रिक्स को एक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह ओपी के लिए कुछ विस्तार की आवश्यकता है।

— अमीबा