एक चर के भीतर विचरण और जोड़ीदार दूरी के बीच लिंक

कृपया, यह साबित करें कि अगर हमारे पास दो चर (समान नमूना आकार) और और में विचरण से अधिक है , तो भीतर डेटा बिंदुओं के बीच चुकता अंतर (यानी, वर्ग यूक्लिडियन दूरी) का योग भी अधिक से अधिक है। कि भीतर । $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
स्रोत

कृपया स्पष्ट करें: जब आप विचरण कहते हैं , तो क्या आपका मतलब नमूना विचरण है ? जब आप कहते हैं कि अंतर के योगों का मतलब है तो आप

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$ ?

— कार्डिनल

पूर्वगामी मानते हुए: क्रॉस टर्म में तत्वों के लिए सावधानीपूर्वक लेखांकन द्वारा। मुझे लगता है कि आप (छोटे अंतराल) भर सकते हैं। परिणाम तब तुच्छ रूप से अनुसरण करता है।

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— कार्डिनल

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए "बिना" किसी भी गणना के "ऐसा" करने का एक तरीका भी है कि अगर

X_{1}

$X_1$ और

(एक अच्छी तरह से परिभाषित विचरण के साथ)

X_{2}

$X_2$ iid हैं , तो

। यह संभावना अवधारणाओं पर एक थोड़ा मजबूत समझ की आवश्यकता है, यद्यपि।

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— कार्डिनल

संबंधित प्रश्न के लिए, मैंने क्या देखा है कि क्या एक जवाब में यहाँ पर जा रहा है एक आँकड़े में ।

— whuber

@ शुभकर्ता: बहुत अच्छा। किसी तरह से मैं तुम्हारा यह जवाब याद किया था।

— कार्डिनल

बस एक "आधिकारिक" उत्तर प्रदान करने के लिए, टिप्पणियों में स्केच किए गए समाधानों को पूरक करने के लिए, नोटिस करें

कोई भी , , , या कुछ स्थिर लिए सभी समान रूप से स्थानांतरित करके या सभी को कुछ निरंतर लिए स्थानांतरित करके परिवर्तित किया जाता है । इस प्रकार हम मान सकते हैं कि इस तरह की शिफ्ट्स को , और । $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
प्रत्येक पक्ष से सामान्य कारकों को साफ़ करने और (1) का उपयोग करने के बाद, प्रश्न यह दिखाने के लिए कहता है कि तात्पर्य । $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
चौकों का सरल विस्तार और फिर से व्यवस्थित करने के लिए समान परिणाम के साथ ।
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

प्रमाण तत्काल है।

— व्हीबर
स्रोत