राव-ब्लैकवेल प्रमेय को क्यों है?

राव-ब्लैकवेल प्रमेय कहता है

चलो का एक आकलनकर्ता हो साथ के लिए सभी । मान लीजिये कि लिए पर्याप्त है , और let उसके बाद सभी , असमानता सख्त है जब तक कि का एक कार्य नहीं है $\hat{\theta}$ $\theta$ $\Bbb E (\hat{\theta}^2) < \infty$ $\theta$ $T$ $\theta$ $\theta ^ * = \Bbb E (\hat{\theta}|T)$ $\theta$
$E (θ^{*} - θ)^{2} \leq E (\hat{θ} - θ)^{2}$ $\Bbb E (\theta^* - \theta )^2 \leq \Bbb E (\hat{\theta} - \theta )^2$ $\hat{\theta}$ $T$

यदि मैं इस प्रमेय को सही ढंग से समझता हूं, तो यह बताता है कि, यदि मेरे पास लिए एक पर्याप्त आँकड़ा , तो दिए गए के सशर्त अपेक्षित मूल्य का समाधान है। $T$ $\theta$ $\hat{\theta}$ $T$ $\min_{\hat{\theta}} \Bbb E$ $(\hat{\theta}-\theta)^2$

मेरे Quesitons

मुझे लगता है कि सही हूँ $\theta^*$ कम करता $\Bbb E$ $(\hat{\theta}-\theta)^2$ ?
राव-ब्लैकवेल प्रमेय को $\Bbb E(\hat{\theta}^2) < \infty$ क्यों है?
असमानता तब तक सख्त क्यों है जब तक कि $\hat{\theta}$ का एक कार्य नहीं है ? $T$

rao-blackwell

— स्टेन शुनपाइक
स्रोत

राव-ब्लैकवेल प्रमेय के लिए सहज और औपचारिक औचित्य

— शीआन

खोजने के लिए क्या आवश्यक है ?

min_{\hat{θ}} E

$\min_{\hat{\theta}} \Bbb E$

(\hat{θ} - θ)^{2}

$(\hat{\theta}-\theta)^2$

— स्टेन शुनपाइक

जवाबों:

नहीं, तुलना में एक बेहतर अनुमानक है, लेकिन जरूरी नहीं कि सबसे अच्छा (जो भी इसका मतलब है!)।" $\theta^*$ $\hat\theta$
यदि अनुमानक के पास कोई विचरण नहीं है, तो इसका जोखिम अनंत है और इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि में एक परिमित जोखिम है (भले ही यह होर्स्ट ग्रुनबश द्वारा अपनी टिप्पणियों में बताया गया हो )। $\theta^*$
लिए परिमित विचरण के तहत , असमानता विचरण विघटन के कारण सख्त है क्योंकि अपेक्षित सशर्त विचरण के योग के साथ-साथ सशर्त अपेक्षा का प्रसरण जब तक अपेक्षित सशर्त विचलन शून्य नहीं होता है, जो केवल एक कार्य को करने के लिए होता है । $\hat\theta$ $var (\hat{θ}) = E_{T} [var (\hat{θ} | T)] + {var}_{T} (E [\hat{θ} | T]) = E_{T} [var (θ | T)] + {var}_{T} (θ^{*})$ $\text{var}(\hat\theta)=\mathbb{E}_T[\text{var}(\hat\theta|T)]+ \text{var}_T(\mathbb{E}[\hat\theta|T])=\mathbb{E}_T[\text{var}(\theta|T)]+\text{var}_T(\theta^*)$ $\hat\theta$ $T$

— शीआन
स्रोत

ad 2: यह असंभव क्यों है कि ? पर विचार करें के लिए अनुमानक के रूप में , जहां , और एक असंबंधित कॉची से वितरित आर.वी.।

E ({\hat{θ}}^{2} | T) < E ({\hat{θ}}^{2}) = \infty

$E(\hat{\theta}^2|T)<E(\hat{\theta}^2)=\infty$

\hat{θ} = X + C

$\hat{\theta} = X + C$

μ

$\mu$

X \sim N (μ, σ^{2})

$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

C

$C$

— होर्स्ट ग्रुनबस

@ HorstGrünbusch जब आप पर शर्त लगाते हैं तो कैची का टुकड़ा क्यों चलेगा ? इसके अलावा एक निष्पक्ष अनुमानक नहीं है।

T

$T$

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

— 15

@ HorstGrünbusch मुझे ऐसा लगता है कि आपकी _ _ भी सशर्त अपेक्षा नहीं है (क्योंकि उम्मीद नहीं है), इस प्रकार अपरिभाषित होगा।

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

∣ T

$\mid T$

C

$C$

θ^{*}

$\theta^\ast$

— जुहो कोक्कल

ठीक है, मैं चाहता था कि बिना विचरण के हो, अपेक्षा के बिना नहीं। ;) अब , यानी स्टूडेंट-टी को 2 डिग्री स्वतंत्रता और और स्वतंत्र साथ वितरित किया जाए । पर्याप्त सांख्यिकीय स्पष्ट रूप से । फिर , लेकिन

C

$C$

C \sim t_{2}

$C \sim t_2$

E (C) = 0

$E(C)=0$

C

$C$

X

$X$

X

$X$

E (X + C | X) = E (X | X) + E (C | X) = X + E (C) = X

$E(X+C|X) = E(X|X) + E(C|X) = X + E(C) = X$

\infty = V a r (C) + V a r (X) = V a r (X + C) > V a r (X + C | X) = σ^{2}

$\infty=Var(C) + Var(X) = Var(X+C)>Var(X+C|X)=\sigma^2$

— होर्स्ट ग्रुनबस्च

इसलिए मुझे लगता है कि यह गलत है कि राव-ब्लैकवेल अनुमानक के पास मूल रूप से अनंत भिन्नता होने पर आवश्यक रूप से अनंत विचरण है। (फिर भी भले ही दोनों

\infty \leq \infty

$\infty \leq \infty$

— प्रकारों में

ध्यान दें कि एक पर्याप्त आँकड़ा अद्वितीय नहीं है। त्रैमासिक, पूरे डेटा पर्याप्त हैं, लेकिन उन पर एक अनुमानक कंडीशनिंग कुछ भी नहीं बदलता है। इसलिए एक पर्याप्त आँकड़ा अकेले पर्याप्त नहीं है (वाक्य!) न्यूनतम मतलब चुकता त्रुटि होने के लिए। लेहमैन-शेफ़े-प्रमेय देखें, जो प्रमाण में राव-ब्लैकवेल-प्रमेय का उपयोग पर्याप्त आत्मनिर्भरता के लिए करता है (वास्तव में, पर्याप्त और पूर्ण होना)।
यदि दोनों अनंत हैं, तो कमजोर असमानता हमेशा सच होती है। लेकिन फिर, एक प्रतिरूप के रूप में, आप एक पर्याप्त आँकड़ा बना सकते हैं जो कार्य नहीं है लेकिन फिर भी अनंत भिन्नता है (जैसे कि only रखती है)। $T$ $\leq$

उदाहरण के लिए , एक स्थानांतरित यादृच्छिक चर और , और दूसरे स्वतंत्र यादृच्छिक चर । अनुमान लगाने के लिए पैरामीटर । मूल अनुमानक । एक पर्याप्त आंकड़ा निश्चित रूप से । दोनों राव-ब्लैकवेल अनुमानक और अनंत । अतः असमानता कमजोर रूप धारण करेगी। दूसरी ओर, का एक मात्र कार्य नहीं है $C_1 \sim t_2 + \mu$ $t_2$ $E(C_1) = \mu$ $Var(C_1) = \infty$ $C_2 \sim t_2$ $\mu$ $\hat{\theta} = C_1 + C_2$ $C_1$ $E(\hat{\theta}|C_1)=C_1$ $\hat{\theta}$ $C_1+C_2$ $C_1$ : इसमें अन्य रैंडम वैरिएबल शामिल हैं, इसलिए यह उस अंतिम वाक्य के विपरीत होगा जो आपने अपने तीसरे प्रश्न के बारे में पूछा था। वास्तव में, कुछ पाठ्यपुस्तकें मूल अनुमानक के लिए अनंत भिन्नता को स्वीकार करती हैं, लेकिन बदले में वे यह नहीं बता सकते हैं कि कब धारण करें। $<$

यदि की एक समारोह है , आप गुणन प्रमेय जो द्वारा साबित कर सकते हैं पहले से ही के लिए पर्याप्त है । तो फिर से हम कुछ भी नहीं सुधार के साथ समाप्त होता है। इस मामले के अलावा, असमानता सख्त है, और यह प्रमेय का गैर-तुच्छ दावा है। $\hat{\theta}$ $T$ $\hat{\theta}$ $\theta$

— होर्स्ट ग्रुनबसच
स्रोत