कैसे सबसे बड़ी मामले में के कई

विचार करें जहाँ iid और CLT हैं। कुल राशि में आधे से कितने सबसे बड़े शब्द जुड़ते हैं? उदाहरण के लिए, 10 + 9 + 8 (10 + 9 + 8 + 1) / 2: 30% पद लगभग आधे तक पहुंचते हैं। $\sum_{i=1}^N |X_i|$ $X_1, \ldots, X_N$

$\approx$ $\dots$

परिभाषित करें
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

क्या अर्धसम ( ) के लिए एक सामान्य स्पर्शोन्मुख परिणाम है ? एक सरल, सहज ज्ञान युक्त व्युत्पत्ति अच्छी होगी। $N, \mu, \sigma$

(थोड़ा मोंटे कार्लो सुझाव देता है कि कभी-कभी अर्धांश ( ) / 4 या इतना ही; यानी, का सबसे बड़ा 1/4 कुल मिलाकर 1/2 को जोड़ देता है। मुझे आधा, 0.19 लिए 0.24 मिलता है । घातांक, = 20, 50, 100 के लिए।) $N$ $\approx N$
$X_i$
$N$ $N$ $N$

central-limit-theorem asymptotics

— Denis
स्रोत

एक CLT जैसे सार्वभौमिक परिणाम की उम्मीद न करें। उदाहरण के लिए, यूनिफ़ॉर्म (0,1) वेरिएंट का उत्तर यूनिफ़ॉर्म (1000,1001) वेरिएंट के उत्तर से बहुत अलग होगा !

— whuber

सही, अर्धांश निश्चित रूप से माध्य और एसडी पर निर्भर करेगा। लेकिन घातीय के लिए ~ एन / 5 क्यों?

— डेनिस

Asymptotically, डेनिस, halfsum के लिए कटऑफ मूल्य होगा

जिसके लिए

जहां

के लिए पीडीएफ है

; प्रश्न

लिए पूछता है (

is cdf for

) | वर्दी के मामले में

x

$x$

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 1 / 2

$\int_0^x t f(t)dt = 1/2$

f

$f$

| X_{i} |

$|X_i|$

N (1 - F (x))

$N(1-F(x))$

F

$F$

| X_{i} |

$|X_i|$

[0, 1]

$[0,1]$ वितरण आपको दिलीप का उत्तर मिलता है; एक घातीय के लिए,

।

x \approx 0.186682 N \approx N / 5

$x\approx 0.186682 N \approx N/5$

— whuber

जवाबों:

नहीं, कोई सामान्य स्पर्शोन्मुख परिणाम नहीं है। चलो आदेश दिया जा , जहां सबसे बड़ा है। $x_{[1]} \dots x_{[N]}$ $x_i$ $x_{[1]}$

निम्नलिखित दो उदाहरणों पर विचार करें:

1) । स्पष्ट रूप से सीएलटी रखती है। आप केवल जरूरत के लिए अवलोकन $P(x=0) = 1$ $M=1$ । $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

2) । स्पष्ट रूप से सीएलटी रखती है। आप की जरूरत है के लिए टिप्पणियों $P(x=1) = 1$ $M=\lceil N/2\rceil$ । $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

एक निर्विवाद उदाहरण के लिए, बर्नोली वितरण:

3) । एक बार फिर सीएलटी रखती है। आप की जरूरत टिप्पणियों की अपनी शर्तों को पूरा करने के लिए। 0 और 1 के बीच अलग-अलग करके , आप उदाहरण 1 के करीब या उदाहरण 2 को अपनी पसंद के अनुसार प्राप्त कर सकते हैं। $P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$ $\lceil pN/2\rceil$ $p$

— jbowman
स्रोत

यह वास्तव में स्पष्ट है कि उत्तर

और

बीच कहीं भी हो सकता है , लेकिन यह सामान्य परिणाम के गैर-अस्तित्व का मतलब नहीं है। इसका अर्थ यह है कि हमें उन उत्तरों पर विचार करना चाहिए जहां अंश अंतर्निहित वितरण के कुछ गुणों पर निर्भर करता है जैसे कि माध्य और एसडी। सीएलटी के साथ-साथ पर्याप्त हैं, विशिष्ट और मात्रात्मक जानकारी प्रदान करने के लिए कि उनके योग की तुलना में

कैसे वितरित किए जाते हैं, इसलिए इस तरह के परिणाम की उम्मीद करना उचित है।

0

$0$

N / 2

$N/2$

x [i]

$x[i]$

— whuber

यहाँ एक क्रूड तर्क है जो समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए थोड़ा अलग अनुमान देता है। मान लीजिए कि निरंतर यादृच्छिक चर समान रूप से पर वितरित किया गया है । फिर, है औसत मान । मान लें कि एक आश्चर्यजनक और पूरी तरह से अविश्वसनीय संयोग से, राशि बराबर है । तो हम अनुमान लगाना चाहते कैसे की सबसे बड़ी मूल्यों के कई के लिए योग या अधिक। अब, नमूने ( का हिस्टोग्राम $X_i$ $[0,1]$ $\sum_i X_i$ $N/2$ $N/2$ $X$ $N/4$ $N$ $N$ बहुत बड़ा) समान वितरण से खींचा गया से तक मोटे तौर पर सपाट है , और इसलिए किसी भी , , वहाँ नमूने हैं, जो से बीच समान रूप से समान रूप से वितरित हैं। । इन नमूनों का औसत मूल्य और सम बराबर है $U[0,1]$ $0$ $1$ $x$ $0 < x < 1$ $(1-x)N$ $x$ $1$ $(1+x)/2$ । राशि से अधिक के लिए $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$ $N/4$ । तो, का योग $x \leq 1/\sqrt{2}$ सबसे बड़ा नमूनों से अधिक । $(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$ $N/4$

आप कोशिश कर सकते हैं और इसे थोड़ा सामान्य कर सकते हैं। यदि , तो किसी भी के लिए , हम चाहते हैं ऐसी है कि जहां मतलब के साथ सामान्य है और विचरण । इस प्रकार, के एक मूल्य पर वातानुकूलित , $\sum_i X_i = Y$ $Y$ $x$ $(1-x^2)N/2 = Y/2$ $Y$ $N/2$ $N/12$ $Y$ । के घनत्व से गुणा करेंऔरसबसे बड़े नमूनों की औसत संख्याकरने के लिए(से) कोएकीकृत करेंजो यादृच्छिक संख्या के आधे से अधिक होगा। $x = \sqrt{1-(Y/N)}$ $Y$ $Y=0$ $Y=N$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

अंतराल

में सीमित दो बिंदुओं के बीच की दूरी को तेजी से वितरित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि दूरी

से कम होनी चाहिए, जबकि एक घातीय यादृच्छिक चर मानों

में लेते हैं । क्या सच है कि अगर है

स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक परिवर्तनीय है, तो कर रहे हैं वातानुकूलित पर

, आदेश आँकड़े

(0, 1)

$(0,1)$

1

$1$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n + 1}

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n+1}$

Y_{max} = α

$Y_{\max} = \alpha$

Y_{(1)}, Y_{(2)}, \dots, Y_{(n)}

$Y_{(1)}, Y_{(2)}, \ldots, Y_{(n)}$ समान रूप से में वितरित किए जाते हैं । उदाहरण के लिए देखें, साथी साइट maths.E पर यह प्रश्न और उत्तर। (जारी)

(0, α)

$(0, \alpha)$

— दिलीप सरवटे

किसी भी स्थिति में, मेरा तर्क समान वितरण से आदेश दिए गए नमूनों के बीच की दूरी का उपयोग नहीं करता है ।

— दिलीप सरवटे

तुम सही हो, मैंने तुम्हें गलत समझा। एक पक्ष के सवाल के रूप में, समान रूप से वितरित किए गए समान-यादृच्छिक बिंदुओं के बीच के टुकड़ों को स्केलिंग के बाद वितरित नहीं किया जाता है - आपके q + a का? [वुल्फराम प्रदर्शनों की परियोजना से टूटा हुआ स्टिक नियम] ( प्रदर्शनों .wolfram.com/BrokenStickRule ) निश्चित रूप से घातीय दिखता है, एक आसान होना चाहिए? सबूत।

— डेनिस

कृपया अपना पक्ष प्रश्न अलग प्रश्न के रूप में पूछें।

— दिलीप सरवटे

शुरू किया, फिर संभावना-वितरण-के-टुकड़े-लंबाई देखी , आप वहां टिप्पणी कर सकते हैं।

— डेसीस

मान लें कि पूर्ण मान से छुटकारा पाने के लिए X के पास केवल सकारात्मक मूल्य हैं।

एक सटीक साबित के बिना, मुझे लगता है कि आपको कश्मीर के लिए हल करना होगा

F के साथलिए संचयी वितरण फ़ंक्शन है $(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$

और तब उत्तर उच्चतम मान लेकर दिया जाता है। $n(1-F_X(k))$

मेरा तर्क यह है कि asymtopically k से अधिक सभी मूल्यों का योग होना चाहिए

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

और asymtopically आधा कुल योग के बारे में है

। $\frac{1}{2}nE(X)$

संख्यात्मक सिमुलेशन से पता चलता है कि परिणाम एकसमान मामले के लिए है (वर्दी में ) जहां और मुझे मिलता है $[0,1]$ $F(k)=k$ । मुझे यकीन नहीं है कि परिणाम हमेशा पकड़ में आता है या अगर इसे और सरल बनाया जा सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह वास्तव में वितरण समारोह पर निर्भर करता है। $k=\sqrt(\frac{1}{2})$

— एरिक
स्रोत