सिद्ध करें कि एक निश्चित सहसंयोजक मैट्रिक्स के साथ अधिकतम एन्ट्रापी वितरण एक गाऊसी है

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मैं निम्नलिखित प्रमाण के चारों ओर अपना सिर लाने की कोशिश कर रहा हूं कि गॉसियन में अधिकतम एन्ट्रॉपी है।

तारांकित कदम कैसे समझ में आता है? एक विशिष्ट सहसंयोजक केवल दूसरे क्षण को ठीक करता है। तीसरे, चौथे, पाँचवे क्षणों आदि का क्या होता है?

entropy information-theory maximum-entropy

— टैरेर
स्रोत

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$p$ $q$ $\log(p)$ $\mathbf{x}$ $0$ $2$

आपको शून्य मतलब के साथ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के बारे में केवल दो चीजें जानने की आवश्यकता है:

$\log(p)$ $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ $C$ $p_{ij}$
$\log (p (x)) = C + \sum_{i, j = 1}^{n} p_{i j} x_{i} x_{j} .$ $\log(p(\mathbf{x}))=C + \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_j.$
$C$ $p_{ij}$ $\Sigma$
$\Sigma$
$Σ_{i j} = E_{p} (x_{i} x_{j}) = \int p (x) x_{i} x_{j} d x .$ $\Sigma_{ij}=E_p(x_i x_j) = \int p(\mathbf{x})\, x_ix_j\, d\mathbf{x}.$

हम इस जानकारी का उपयोग एक अभिन्न कार्य करने के लिए कर सकते हैं:

\begin{aligned} \int (q (x) - p (x)) \log (p (x)) d x \\ = & \int (q (x) - p (x)) (C + \sum_{i, j = 1}^{n} p_{i j} x_{i} x_{j}) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ & &\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x} \\ &= &\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\left(C + \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_j\right)d\mathbf{x}. }$

यह दो भागों में टूट जाता है:

$\int(q(x) - p(x))C\, d\mathbf{x} = C\left(\int q(\mathbf{x}) d\mathbf{x} - \int p(\mathbf{x}) d\mathbf{x}\right) = C(1 - 1) = 0$ $q$ $p$
$\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x})) \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\, x_i x_jd\mathbf{x} = \sum_{i,j=1}^n p_{ij}\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))x_i x_jd\mathbf{x} = 0$ $\int q(\mathbf{x}) x_i x_jd\mathbf{x}$ $\int p(\mathbf{x}) x_i x_jd\mathbf{x}$ $\Sigma_{ij}$

$\int(q(\mathbf{x}) - p(\mathbf{x}))\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x}=0$ $\int q(\mathbf{x})\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x} = \int p(\mathbf{x})\log(p(\mathbf{x}))d\mathbf{x}.$

— व्हीबर
स्रोत

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$q(x)$ $p(x)$ $\sigma_{ij}x_ix_j$ $p(x)$ $p(x)$ $q(x)$

— एफ। टसेल
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