संभावना है कि सीक्रेट सांता की व्यवस्था के परिणामस्वरूप सही युग्म बनेंगे

इसलिए, हमारे पास काम के दौरान सीक्रेट सांता था।

हम 8 लोग हैं। हम प्रत्येक ने मोड़ लिया और एक कटोरे से एक छोटा सा कागज का टुकड़ा उस पर एक नाम के साथ खींच लिया। एकमात्र नियम: यदि आप अपना नाम खींचते हैं, तो आपको कागज के टुकड़े को कटोरे में वापस रखना होगा और फिर से प्रयास करना होगा।

चलो लोगों को ए, बी, सी, डी, ई, एफ, जी, एच कहते हैं, यही वह क्रम भी है जिसमें उन्होंने अपने कागज के टुकड़े को उठाया।

हमने कल रात उपहार का आदान-प्रदान किया।

A, F का गुप्त संता था।
B, E का गुप्त संता था।
C, D का गुप्त संता था।
D, C का गुप्त संता था।
E, B का गुप्त संता था।
F, A का गुप्त संता था।
G, H का गुप्त संता था।
H, G का गुप्त संता था।

देखिये क्या हुआ? हमने जोड़े बनाए।

A और F एक दूसरे के गुप्त संता थे।
B और E एक दूसरे के गुप्त संता थे।
C और D एक दूसरे के गुप्त संता थे।
जी और एच एक दूसरे के गुप्त संता थे।

ऐसा होने की संभावना क्या है और आप इसकी गणना कैसे करते हैं?

combinatorics odds

— हरमन
स्रोत

"यदि आप अपना नाम खींचते हैं, तो आपको कागज के टुकड़े को कटोरे में वापस रखना होगा और फिर से प्रयास करना होगा।" यदि आप अपना खुद का नाम लेने और खींचने वाले अंतिम व्यक्ति हैं तो क्या होगा?

— जुहो कोक्कल १ '

यदि व्यक्ति A लेबल C (कहता है), और तब व्यक्ति B लेबल B खींचता है, तो क्या व्यक्ति A भी लेबल C को टोपी में वापस रखता है और फिर से आकर्षित करता है? यह वही है जो उत्तर देने के लिए लगता है, लेकिन मैं इसका मतलब समझ रहा हूं कि ए लेबल सी और बी को टोपी से हटाता है जिसमें लेबल (ए, बी, डी, ई, एफ, जी, एच) होता है।

— जुहो कोक्कल

जवाबों:

लोगों के बीच असाइनमेंट की कुल संख्या , जहां कोई भी खुद को नहीं सौंपा गया है, (इन्हें अपमानजनक कहा जाता है ।) मान बहुत करीब है । $2n$

d (2 n) = (2 n)! (1 / 2 - 1 / 6 + \dots + (- 1)^{k} / k! + \dots + 1 / (2 n)!) .

$d(2n) = (2n)!(1/2 - 1/6 + \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!).$

(2 n)! / e

$(2n)! / e$

यदि वे सही-सी जोड़ी के अनुरूप है, तो वे संबंध तोड़ना का एक उत्पाद है प्रतिस्थापन । इसका मतलब है कि उनकी चक्र संरचना फॉर्म की है

(a_{11} a_{12}) (a_{21} a_{22}) \dots (a_{n 1} a_{n 2}) .

$(a_{11}a_{12})(a_{21}a_{22})\cdots(a_{n1}a_{n2}).$

इस तरह के विशिष्ट पैटर्न की संख्या पैटर्न के स्टेबलाइजर के क्रम से विभाजित नामों के सभी क्रमपरिवर्तन के समूह का क्रम है। एक स्थिर तत्व जोड़े की किसी भी संख्या को स्वैप कर सकता है और यह को अनुमति भी दे सकता हैजोड़े, वहाँतत्वों को स्थिर करना। इसलिए हैं $2n$ $n!$ $2^n n!$

p (2 n) = \frac{(2 n)!}{2^{n} n!}

$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

ऐसी जोड़ी।

चूँकि इस तरह की सभी सही जोड़ियाँ व्युत्पन्न हैं, और सभी व्युत्पन्नियाँ समान रूप से होने की संभावना है, मौका बराबर होता है

\frac{p (2 n)}{d (2 n)} = \frac{1}{2^{n} n! (1 - 1 / 2 + 1 / 6 - \dots + (- 1)^{k} / k! + \dots + 1 / (2 n)!)} \approx \frac{e}{2^{n} n!} .

$\frac{p(2n)}{d(2n)} = \frac{1}{2^n n!(1 - 1/2 + 1/6 - \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!)} \approx \frac{e}{2^n n!}.$

के लिए लोगों सटीक उत्तर है इसलिए जबकि अनुमान होता है : वे पांच महत्वपूर्ण आंकड़े से सहमत हैं। $2n=8$ $15/2119 \approx 0.00707881$ $e/(2^4\, 4!) \approx 0.00707886$

जाँच करने के लिए, यह Rअनुकरण आठ वस्तुओं के एक लाख यादृच्छिक क्रमांकन को खींचता है, केवल उन लोगों को बनाए रखता है जो अपमानजनक हैं, और उन लोगों को गिनाते हैं जो सही युग्म हैं। यह अपने अनुमान, अनुमान की मानक त्रुटि और एक जेड-स्कोर को सैद्धांतिक मूल्य से तुलना करने के लिए आउटपुट करता है। इसका आउटपुट है

       p.hat           se            Z 
 0.006981031  0.000137385 -0.711721705

छोटा जेड-स्कोर सैद्धांतिक मूल्य के अनुरूप है। (ये परिणाम और बीच किसी भी सैद्धांतिक मूल्य के अनुरूप होंगे ।) $0.0066$ $0.0073$

paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

n <- 8
set.seed(17)
x <- replicate(1e6, sample(1:n, n))
i.good <- apply(x, 2, good)
i.paired <- apply(x, 2, paired)

n.deranged <- sum(i.good)
k.paired <- sum(i.good & i.paired)
p.hat <- k.paired / n.deranged
se <- sqrt(p.hat * (1-p.hat) / n.deranged)
(c(p.hat=p.hat, se=se, Z=(p.hat - 15/2119)/se))

— व्हीबर
स्रोत

मूर्खतापूर्ण रेककन चेहरे और चश्मे के लिए +1 ... मैंने "स्थिर तत्व" अवधारणा पर थोड़ा शॉर्टकट लिया क्योंकि मुझे नहीं पता कि इसे कहां से शुरू करना है, लेकिन यह उस बिट को लेने में भी बहुत मायने रखता है सहज।

— एंटोनी परेलाडा

@Antoni उदाहरण के लिए en.wikipedia.org/wiki/Burnside_lemma देखें ।

— whuber

@Amoeba मैंने ऐसा करने के बारे में सोचा था, लेकिन वर्तमान समस्या पर ध्यान केंद्रित करने का फैसला किया, क्योंकि अपमान बहुत अच्छी तरह से जाना जाता है। विकिपीडिया लेख मैं इस सूत्र को प्राप्त करने के कई तरीके प्रदान करता है। सबसे स्पष्ट तरीका समावेश-बहिष्करण के सिद्धांत का उपयोग करता है, जैसा कि वैकल्पिक योग अभिव्यक्ति में स्पष्ट है।

— whuber

क्या आप मानते हैं कि किसी व्यक्ति द्वारा अपना लेबल खींचने पर स्क्रैच से लेबल की ड्राइंग शुरू होती है (प्रश्न के लिए मेरी टिप्पणी देखें)। अन्यथा, मुझे नहीं लगता कि सभी अपमान समान रूप से होने की संभावना है।

— जुहो कोक्कल

@ जुहो यह एक अच्छा सवाल है, आगे के विचार के योग्य है। मैंने ड्राइंग प्रक्रिया के निहित इरादे के आधार पर उत्तर दिया है , जो समान संभावना वाले सभी व्युत्पन्न बनाने के लिए होगा, लेकिन यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि क्या प्रक्रिया का पालन किया गया था या क्या यह एक समान वितरण के साथ व्युत्पन्नता उत्पन्न करेगा या (या क्या यह है) यहां तक कि एक अपमान पैदा करने में सफल होने की गारंटी!)।

— whuber

मैं @whuber जवाब में लालित्य से काफी प्रभावित था। ईमानदार होने के लिए मुझे अपने समाधान में कदमों का पालन करने के लिए नई अवधारणाओं के साथ खुद को परिचित करना पड़ा। उस पर बहुत समय बिताने के बाद, मुझे जो कुछ भी मिला है, उसे पोस्ट करने का फैसला किया है। तो जो इस प्रकार है वह उसकी पहले से ही स्वीकृत प्रतिक्रिया के लिए एक विशिष्ट नोट है। इस तरह से मौलिकता पर कोई प्रयास नहीं है, और मेरा एकमात्र उद्देश्य कुछ अतिरिक्त एंकरिंग बिंदुओं को शामिल करने के लिए प्रदान करना है।

तो यहाँ यह जाता है ...

$2n$

2. क्या हम अपमान के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं?

$n$

$d(n)=(n-1)[d(n-2) + d(n-1)]=$

$=n\,d(n-2)-d(n-2)+n\,d(n-1)-d(n-1)$

$d(n) - n\,d(n-1) = -[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)]$

अब इस समीकरण के LHS और कोष्ठक के भीतर RHS पर भाग के बीच समानता को देखते हुए हम पुनरावर्ती रूप से जारी रख सकते हैं:

$d(n) - n\,d(n-1)=-[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)] =$

$=(-1)^2\,[d(n-2)-(n-2)\,d(n-3)]=\cdots=(-1)^{n-2}\,d(2)-2\,d(1)$

$d(n) = n\,d(n-1)+(-1)^n$

पीछे की ओर काम करना:

$d(2)=1$

$d(3)= 3\,d(2)-1 =3*1\,-1$

$d(4)= 4\,d(3)+1 =4*3*1\,-4\,\,+1$

$d(5)= 5\,d(4)-1 =5*4*3*1\,-5*4\,+5\,\,-1$

$d(6)= 6\,d(5)+1 = 6*5*4*3*1\,-6*5*4\,+6*5\,-6\,+1=$

$=6!\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{3*2}+\frac{1}{4*3*2}-\frac{1}{5*4*3*2}+\frac{1}{6!}\right)=$

$=6!\left(\frac{1}{6!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{1!}+1\right)$

तो सामान्य तौर पर,

$d(n)=n!\left(1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$

$e^x$ $x=-1$

$d(n)\approx\frac{n!}{e}$

${a,b,c,d,e,f}$ ${b,d,a,c,f,e}$ a -> b -> d -> c after which it returns to ae -> f $(\text {a b d c})(\text{e f})$

$4$

$(2n)!$ $2n$ $2^n$ $n!$ $p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

के लिए Rसिमुलेशन:

1। paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0

x[x] $8$ Paul -> MariaMaria -> PaulMax -> JohnJohn -> MaxMax -> MariaMaria -> MaxPaul -> JohnJohn -> Paul

i $1$

2। good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

$x$ $(1,2,3,4,5,6,7,8)$

3.k.paired <- sum(i.good & i.paired) आरेख में ऊपर वाले की तरह युग्मित क्रमपरिवर्तन को बाहर करने के लिए है, जो अपमानजनक नहीं हैं:

v <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
w <- c(1,2,3,5,4,6,7,8)

(c("is v paired?" = paired(v), "is w paired?" = paired(w),
   "is v a derang?" = good(w), "is w a derang?" = good(w)))

# not all paired permutations are derangements.

— एंटोनी पारेलाडा
स्रोत

e

$e$

\approx

$\approx$

=

$=$

1

$1$

- 1

$-1$

@whuber धन्यवाद। मैं वास्तव में वहाँ से भाग गया। मैं दोहराव, अनुक्रमित कार्यों में अच्छा नहीं हूं ... मुझे पता था कि कुछ सही नहीं था। अब इसे ठीक किया जाना चाहिए।

— एंटोनी परेलाडा