मैं @whuber जवाब में लालित्य से काफी प्रभावित था। ईमानदार होने के लिए मुझे अपने समाधान में कदमों का पालन करने के लिए नई अवधारणाओं के साथ खुद को परिचित करना पड़ा। उस पर बहुत समय बिताने के बाद, मुझे जो कुछ भी मिला है, उसे पोस्ट करने का फैसला किया है। तो जो इस प्रकार है वह उसकी पहले से ही स्वीकृत प्रतिक्रिया के लिए एक विशिष्ट नोट है। इस तरह से मौलिकता पर कोई प्रयास नहीं है, और मेरा एकमात्र उद्देश्य कुछ अतिरिक्त एंकरिंग बिंदुओं को शामिल करने के लिए प्रदान करना है।
तो यहाँ यह जाता है ...
2n
2. क्या हम अपमान के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं?
n
d(n)=(n−1)[d(n−2)+d(n−1)]=
=nd(n−2)−d(n−2)+nd(n−1)−d(n−1)
d(n)−nd(n−1)=−[d(n−1)−(n−1)d(n−2)]
अब इस समीकरण के LHS और कोष्ठक के भीतर RHS पर भाग के बीच समानता को देखते हुए हम पुनरावर्ती रूप से जारी रख सकते हैं:
d(n)−nd(n−1)=−[d(n−1)−(n−1)d(n−2)]=
=(−1)2[d(n−2)−(n−2)d(n−3)]=⋯=(−1)n−2d(2)−2d(1)
d(n)=nd(n−1)+(−1)n
पीछे की ओर काम करना:
d(2)=1
d(3)=3d(2)−1=3∗1−1
d(4)=4d(3)+1=4∗3∗1−4+1
d(5)=5d(4)−1=5∗4∗3∗1−5∗4+5−1
d(6)=6d(5)+1=6∗5∗4∗3∗1−6∗5∗4+6∗5−6+1=
=6!(12−13∗2+14∗3∗2−15∗4∗3∗2+16!)=
=6!(16!−15!+14!−13!+12!−11!+1)
तो सामान्य तौर पर,
d(n)=n!(1−1+12!−13!+14!+⋯+1n!)
exx=−1
d(n)≈n!e
a,b,c,d,e,fb,d,a,c,f,ea -> b -> d -> c after which it returns to a
e -> f
(a b d c)(e f)
4
(2n)!2n2nn!p(2n)=(2n)!2nn!
के लिए R
सिमुलेशन:
1। paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
x[x]
8Paul -> Maria
Maria -> Paul
Max -> John
John -> Max
Max -> Maria
Maria -> Max
Paul -> John
John -> Paul
i
1
2। good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0
x(1,2,3,4,5,6,7,8)
3.k.paired <- sum(i.good & i.paired)
आरेख में ऊपर वाले की तरह युग्मित क्रमपरिवर्तन को बाहर करने के लिए है, जो अपमानजनक नहीं हैं:
v <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
w <- c(1,2,3,5,4,6,7,8)
(c("is v paired?" = paired(v), "is w paired?" = paired(w),
"is v a derang?" = good(w), "is w a derang?" = good(w)))
# not all paired permutations are derangements.