टोपोलॉजी जिसके लिए संभाव्यता वितरण का पहनावा पूरा हो गया है

मैं संभावना गुणों के लगभग सभी टोपोलॉजी संभावनाओं वाले अजीब गुणों के साथ संभाव्यता वितरण की अपनी सहज समझ को समेटने के साथ काफी संघर्ष कर रहा हूं।

उदाहरण के लिए, एक मिश्रण यादृच्छिक चर पर विचार करें $X_n$ : विचरण 1 के साथ 0 पर केंद्रित एक गाऊसी चुनें, और संभावना के साथ $\frac{1}{n}$ , परिणाम के लिए जोड़ें । इस तरह के यादृच्छिक चर का एक क्रम एक कमजोर (कुल भिन्नता में) में परिवर्तित हो जाएगा, जो कि गौसियन १ में विचरण 1 के साथ केंद्रित है, लेकिन का अर्थ हमेशा और भिन्नताएं परिवर्तित हो जाती हैं । मुझे वास्तव में यह कहना पसंद नहीं है कि यह क्रम उसी के कारण परिवर्तित होता है। $n$ $X_n$ $1$ $+\infty$

मुझे टोपोलॉजी के बारे में भूल गए सब कुछ याद करने के लिए मुझे कुछ समय लगा, लेकिन मैंने आखिरकार यह पता लगा लिया कि इस तरह के उदाहरणों के बारे में मेरे लिए कितना असंतोषजनक है: अनुक्रम की सीमा एक पारंपरिक वितरण नहीं है। ऊपर के उदाहरण में, सीमा एक अजीब "मतलब 1 का गॉसियन और अनंत विचरण" है। टोपोलॉजिकल शब्दों में, संभावना वितरण का सेट कमजोर (और टीवी, और मेरे द्वारा देखे गए अन्य सभी टोपोलॉजी) के तहत पूरा नहीं होता है।

मैं फिर निम्नलिखित प्रश्न का सामना करता हूं:

क्या ऐसी कोई टोपोलॉजी मौजूद है जिससे संभावना वितरण का पहनावा पूरा हो गया है?
यदि नहीं, तो क्या यह अनुपस्थिति संभाव्यता वितरण के कलाकारों की टुकड़ी की एक दिलचस्प संपत्ति को दर्शाती है? या यह सिर्फ उबाऊ है?

नोट: मैंने "प्रायिकता वितरण" के बारे में अपना प्रश्न प्रतिपादित किया है। इन्हें बंद नहीं किया जा सकता है क्योंकि वे Diracs और उस जैसे सामान को कनवर्ट कर सकते हैं जिनके पास pdf नहीं है। लेकिन कमजोर टोपोलॉजी के तहत अभी भी उपाय बंद नहीं हुए हैं इसलिए मेरा सवाल बना हुआ है

क्रॉसओवर किया गया mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect-1#comment558738_226339

— गिलौम देहेने
स्रोत

आपको पता चला है कि सभी संभाव्यता वितरण का सेट कॉम्पैक्ट नहीं है । मुझे लगता है कि कॉम्पैक्टनेस वह शब्द है जिसकी आपको आवश्यकता है, पूर्णता नहीं। इस सेटिंग में कॉम्पैक्टनेस की प्रासंगिक अवधारणा को अक्सर जकड़न कहा जाता है । उदाहरण के लिए देखें stats.stackexchange.com/questions/180139/...

— Kjetil ख Halvorsen

@kjetilbhalvorsen मुझे लगता है कि यह है precompact Skorohod की प्रमेय के लिए कॉम्पैक्ट कारण के बजाय।

— हेनरी

उदाहरण के साथ समस्या क्या है? यह है कि (कमजोर, कहते हैं) अभिसरण क्षणों के अभिसरण नहीं करता है? क्यों करना चाहिए? और इसका पूर्णता के साथ क्या करना है (दिए गए उदाहरण में सीमा मौजूद है)?

— माइकल

एक अधिक संकीर्ण सांख्यिकीय कोण (सामान्य गणितीय टोपोलॉजिकल मुद्दा वैध है) से प्रश्न को देखते हुए, यह तथ्य कि क्षणों का क्रम सीमित वितरण के क्षणों में परिवर्तित नहीं हो सकता है, एक प्रसिद्ध घटना है। सिद्धांत रूप में, यह स्वचालित रूप से अनुक्रम के वितरण के एक अच्छी तरह से व्यवहार सीमित के अस्तित्व में संदेह नहीं करता है।

उपरोक्त अनुक्रम का सीमित वितरण $\{X_n + n Bern(1/n)\}$ एक अच्छा व्यवहार है $N(0,1)$ परिमित क्षणों के साथ वितरण। यह उन क्षणों का क्रम है जो परिवर्तित नहीं होते हैं। लेकिन यह एक अलग sequenc है ई, एक दृश्य के शामिल कार्यों हमारे यादृच्छिक चर (अभिन्न, घनत्व और इस तरह) की, नहीं यादृच्छिक चर के अनुक्रम खुद को जिसका वितरण हम पर रुचि कर रहे हैं सीमित है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

यह प्रश्न का उत्तर कैसे देता है?

— whuber

@whuber खैर, मेरा जवाब कहता है कि क्या ऐसी कोई टोपोलॉजी मौजूद है, जैसा कि ओपी पूछता है, या नहीं, सांख्यिकीय दृष्टिकोण से बहुत फर्क नहीं पड़ता है।

— एलेकोस पापादोपोलोस