बाउंड डेटा सेट के लिए भिन्नता के गुणांक का अधिकतम मूल्य

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चर्चा में हाल ही में एक सवाल के बारे में कि क्या मानक विचलन मतलब से अधिक हो सकता है, एक प्रश्न को संक्षिप्त रूप से उठाया गया था लेकिन कभी भी पूरी तरह से उत्तर नहीं दिया गया। इसलिए मैं इसे यहां पूछ रहा हूं।

का एक सेट पर विचार करें $n$ गैर नकारात्मक संख्या $x_i$ जहां $0 \leq x_i \leq c$ के लिए $1 \leq i \leq n$ । यह आवश्यक नहीं है कि $x_i$ विशिष्ट हो, अर्थात सेट एक मल्टीसेट हो सकता है। मतलब और सेट के विचरण के रूप में परिभाषित कर रहे हैं

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, σ_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) - {\bar{x}}^{2}

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, ~~ \sigma_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \bar{x}^2$ और मानक विचलन है

σ_{x}

$\sigma_x$ । ध्यान दें कि संख्याओं का समूहजनसंख्या से एक नमूनानहींहै और हम किसी जनसंख्या माध्य या जनसंख्या विचरण का अनुमान नहीं लगा रहे हैं। सवाल यह है:

की अधिकतम मूल्य क्या है $\dfrac{\sigma_x}{\bar{x}}$ , भिन्नता का गुणांक, के सभी विकल्पों के ऊपर $x_i$ 'अंतराल में है $[0,c]$ ?

अधिकतम मूल्य है कि मैं के लिए मिल सकता है $\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ है $\sqrt{n-1}$ हासिल की है जो जब $n-1$ का $x_i$ मान होना $0$ और शेष (बाहरी) $x_i$ है मूल्य $c$ , दे रही है

\bar{x} = \frac{c}{n}, \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} = \frac{c^{2}}{n} \Rightarrow σ_{x} = \sqrt{\frac{c^{2}}{n} - \frac{c^{2}}{n^{2}}} = \frac{c}{n} \sqrt{n - 1} .

$\bar{x} = \frac{c}{n},~~ \frac{1}{n}\sum x_i^2 = \frac{c^2}{n} \Rightarrow \sigma_x = \sqrt{\frac{c^2}{n} - \frac{c^2}{n^2}} = \frac{c}{n}\sqrt{n-1}.$ लेकिन यह

c

$c$ पर बिल्कुलनिर्भर नहीं करता है, और मैं सोच रहा हूं कि क्या बड़े मूल्य, संभवतः

n

$n$ और

दोनों पर निर्भर हैं

c

$c$ , प्राप्त किया जा सकता है।

कोई विचार? मुझे यकीन है कि इस सवाल का सांख्यिकीय साहित्य में पहले भी अध्ययन किया गया है, और इसलिए संदर्भ, यदि वास्तविक परिणाम नहीं हैं, तो बहुत सराहना की जाएगी।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

मुझे लगता है कि आप इस बारे में सही हैं कि सबसे बड़ा संभव मूल्य है, और मुझे आश्चर्य भी है कि

c

$c$ कोई फर्क नहीं पड़ता। ठंडा।

— पीटर Flom - को पुनः स्थापित मोनिका

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c

$c$ के रूप में परिणाम प्रभावित नहीं होना चाहिए

\frac{σ_{x}}{\bar{x}}

$\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ यदि सभी मान किसी सकारात्मक स्थिरांक

गुणा किए जाते हैं तो

नहीं बदलता है

k

$k$ ।

— हेनरी

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ज्यामिति अंतर्दृष्टि प्रदान करती है और शास्त्रीय असमानताएं कठोरता तक आसान पहुंच प्रदान करती हैं।

ज्यामितीय समाधान

हम से पता है, कम से कम वर्गों की ज्यामिति , कि डेटा के वेक्टर के orthogonal प्रक्षेपण है पर रैखिक उपस्पेस लगातार वेक्टर द्वारा उत्पन्न और कहा कि $\mathbf{\bar{x}} = (\bar{x}, \bar{x}, \ldots, \bar{x})$ $\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $(1,1,\ldots,1)$ $\sigma_x$ सीधे के बीच (इयूक्लिडियन) सुदूर के लिए आनुपातिक है और $\mathbf{x}$ गैर-नकारात्मकता की बाधाएं रैखिक हैं और दूरी एक उत्तल कार्य है, जहां दूरी चरम सीमाओं को बाधाओं द्वारा निर्धारित शंकु के किनारों पर प्राप्त किया जाना चाहिए। इस शंकु में सकारात्मक orthant हैऔर जहां से इसे तुरंत इस प्रकार है कि के सभी लेकिन एक अपने किनारों, समन्वय कुल्हाड़ियों हैंशून्य अधिकतम दूरी पर होना चाहिए। डेटा के एक सेट के लिए, एक प्रत्यक्ष (सरल) गणना से पता चलता है $\mathbf{\bar{x}}.$ $\mathbb{R}^n$ $x_i$ $\sigma_x/\bar{x}=\sqrt{n}.$

शास्त्रीय असमानताओं के शोषण का समाधान

$\sigma_x/\bar{x}$ को एक साथ किसी भी मोनोटोनिक परिवर्तन के साथ अनुकूलित किया गया है। इसके प्रकाश में, आइए अधिकतम करें

\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} = \frac{1}{n} (\frac{n - 1}{n} {(\frac{σ_{x}}{\bar{x}})}^{2} + 1) = f (\frac{σ_{x}}{\bar{x}}) .

$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} = \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right)^2+1\right) = f\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right).$

(The formula for $f$ may look mysterious until you realize it just records the steps one would take in algebraically manipulating $\sigma_x/\bar{x}$ to get it into a simple looking form, which is the left hand side.)

An easy way begins with Holder's Inequality,

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \leq (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) max ({x_{i}}) .

$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 \le \left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)\max(\{x_i\}).$

(This needs no special proof in this simple context: merely replace one factor of each term $x_i^2 = x_i \times x_i$ by the maximum component $\max(\{x_i\})$ : obviously the sum of squares will not decrease. Factoring out the common term $\max(\{x_i\})$ yields the right hand side of the inequality.)

Because the $x_i$ are not all $0$ (that would leave $\sigma_x/\bar{x}$ undefined), division by the square of their sum is valid and gives the equivalent inequality

\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} \leq \frac{max ({x_{i}})}{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}} .

$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} \le \frac{\max(\{x_i\})}{x_1+x_2+\ldots+x_n}.$

Because the denominator cannot be less than the numerator (which itself is just one of the terms in the denominator), the right hand side is dominated by the value $1$ , which is achieved only when all but one of the $x_i$ equal $0$ . Whence

\frac{σ_{x}}{\bar{x}} \leq f^{- 1} (1) = \sqrt{(1 \times (n - 1)) \frac{n}{n - 1}} = \sqrt{n} .

$\frac{\sigma_x}{\bar{x}} \le f^{-1}\left(1\right) = \sqrt{\left(1 \times (n - 1)\right)\frac{n}{n-1}}=\sqrt{n}.$

Alternative approach

Because the $x_i$ are nonnegative and cannot sum to $0$ , the values $p(i) = x_i/(x_1+x_2+\ldots+x_n)$ determine a probability distribution $F$ on $\{1,2,\ldots,n\}$ . Writing $s$ for the sum of the $x_i$ , we recognize

\begin{aligned} \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} & = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{s^{2}} \\ = (\frac{x_{1}}{s}) (\frac{x_{1}}{s}) + (\frac{x_{2}}{s}) (\frac{x_{2}}{s}) + \dots + (\frac{x_{n}}{s}) (\frac{x_{n}}{s}) \\ = p_{1} p_{1} + p_{2} p_{2} + \dots + p_{n} p_{n} \\ = E_{F} [p] . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} &= \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{s^2} \\ &= \left(\frac{x_1}{s}\right)\left(\frac{x_1}{s}\right)+\left(\frac{x_2}{s}\right)\left(\frac{x_2}{s}\right) + \ldots + \left(\frac{x_n}{s}\right)\left(\frac{x_n}{s}\right)\\ &= p_1 p_1 + p_2 p_2 + \ldots + p_n p_n\\ &= \mathbb{E}_F[p]. }$

The axiomatic fact that no probability can exceed $1$ implies this expectation cannot exceed $1$ , either, but it's easy to make it equal to $1$ by setting all but one of the $p_i$ equal to $0$ and therefore exactly one of the $x_i$ is nonzero. Compute the coefficient of variation as in the last line of the geometric solution above.

— whuber
स्रोत

Thanks for a detailed answer from which I have learned a lot! I assume that the difference between the

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ in your answer and the

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$ that I obtained (and Henry confirmed) is due to the fact that you are using

σ_{x} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$ as the definition of

σ_{x}

$\sigma_x$ while I used

σ_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} ?

$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}?$

— Dilip Sarwate

1

Yes Dilip, that's right. Sorry about the discrepancy with the question; I should have checked first and I should have defined

σ_{x}

$\sigma_x$ (which I intended to do but forgot).

— whuber

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Some references, as small candles on the cakes of others:

Katsnelson and Kotz (1957) proved that so long as all $x_i \ge 0$ , then the coeﬃcient of variation cannot exceed $\sqrt{n − 1}$ . This result was mentioned earlier by Longley (1952). Cramér (1946, p.357) proved a less sharp result, and Kirby (1974) proved a less general result.

Cramér, H. 1946. Mathematical methods of statistics. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Katsnelson, J., and S. Kotz. 1957. On the upper limits of some measures of variability. Archiv für Meteorologie, Geophysik und Bioklimatologie, Series B 8: 103–107.

Kirby, W. 1974. Algebraic boundedness of sample statistics. Water Resources Research 10: 220–222.

Longley, R. W. 1952. Measures of the variability of precipitation. Monthly Weather Review 80: 111–117.

I came across these papers in working on

Cox, N.J. 2010. The limits of sample skewness and kurtosis. Stata Journal 10: 482-495.

which discusses broadly similar bounds on moment-based skewness and kurtosis.

— Nick Cox
स्रोत

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With two numbers $x_i \ge x_j$ , some $\delta \gt 0$ and any $\mu$ :

(x_{i} + δ - μ)^{2} + (x_{j} - δ - μ)^{2} - (x_{i} - μ)^{2} - (x_{j} - μ)^{2} = 2 δ (x_{i} - x_{j} + δ) > 0.

$(x_i+\delta - \mu)^2 + (x_j - \delta - \mu)^2 - (x_i - \mu)^2 - (x_j - \mu)^2 = 2\delta(x_i - x_j +\delta) \gt 0.$

Applying this to $n$ non-negative datapoints, this means that unless all but one of the $n$ numbers are zero and so cannot be reduced further, it is possible to increase the variance and standard deviation by widening the gap between any pair of the data points while retaining the same mean, thus increasing the coefficient of variation. So the maximum coefficient of variation for the data set is as you suggest: $\sqrt{n-1}$ .

$c$ should not affect the result as $\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ does not change if all the values are multiplied by any positive constant $k$ (as I said in my comment).

— Henry
स्रोत