क्या एक अविभाजित यादृच्छिक चर का अर्थ हमेशा अपने मात्रात्मक कार्य के अभिन्न के बराबर होता है?

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मैंने अभी देखा कि पी = 0 से पी = 1 तक एक अविभाजित रैंडम वैरिएबल के क्वांटाइल फंक्शन (उलटा cdf) को इंटीग्रेट करने से वेरिएबल का माध्य बनता है। मैंने अब से पहले इस संबंध के बारे में नहीं सुना है, इसलिए मैं सोच रहा हूं: क्या यह हमेशा मामला है? यदि हां, तो क्या इस संबंध को व्यापक रूप से जाना जाता है?

यहाँ अजगर में एक उदाहरण है:

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

mean pdf quantile-function

— टायलर स्ट्रीटर
स्रोत

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$F$ को रैंडम वेरिएबल का CDF होने दें $X$ , इसलिए उलटे CDF को लिखा जा सकता है $F^{-1}$ । अपने अभिन्न मेकअप प्रतिस्थापन में $p = F(x)$ , $dp = F'(x)dx = f(x)dx$ प्राप्त करने के लिए

\int_{0}^{1} F^{- 1} (p) d p = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x = E_{F} [X] .

$\int_0^1F^{-1}(p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \mathbb{E}_F[X].$

यह निरंतर वितरण के लिए मान्य है। अन्य वितरण के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए क्योंकि एक उलटा सीडीएफ एक अनूठी परिभाषा नहीं है।

संपादित करें

जब चर निरंतर नहीं होता है, तो इसका वितरण नहीं होता है जो कि लेब्सेग माप के संबंध में पूरी तरह से निरंतर है, उलटा सीडीएफ की परिभाषा में और अभिन्न कंप्यूटिंग में देखभाल की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, असतत वितरण का मामला। परिभाषा के अनुसार, यह एक जिसका CDF है $F$ आकार के चरणों के साथ एक कदम समारोह है $\Pr_F(x)$ पर प्रत्येक संभव मूल्य $x$ ।

आकृति 1

यह आंकड़ा दिखाता है एक Bernoulli की CDF वितरण द्वारा बढ़ाया । है यही कारण है, यादृच्छिक चर एक संभावना है के बराबर का और की संभावना के बराबर की । और पर कूदने की ऊंचाइयां उनकी संभावनाएं देती हैं। इस चर की उम्मीद जाहिर तौर पर 4/3 के बराबर है । $(2/3)$ $2$ $1/3$ $0$ $2/3$ $2$ $0$ $2$ $0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$

हम 'उलटी CDF "निर्धारित कर सकते हैं की आवश्यकता के द्वारा $F^{-1}$

F^{- 1} (p) = x if F (x) \geq p and F (x^{-}) < p .

$F^{-1}(p) = x \text{ if } F(x) \ge p \text{ and } F(x^{-}) \lt p.$

इसका मतलब यह है कि भी एक कदम समारोह है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मान के लिए, लंबाई अंतराल पर मान प्राप्त करेगा । इसलिए इसका अभिन्न मान के मान से प्राप्त होता है, जो कि केवल अपेक्षा है। $F^{-1}$ $x$ $F^{-1}$ $x$ $\Pr_F(x)$ $x\Pr_F(x)$

चित्र 2

यह पूर्ववर्ती उदाहरण के उलटा सीडीएफ का ग्राफ है। CDF में और की छलांग और बराबर ऊँचाई पर इन लंबाई की क्षैतिज रेखाएँ बन जाती हैं , वे जिनकी संभाव्यता के मान हैं। (उलटा सीडीएफ को अंतराल से परे परिभाषित नहीं किया गया है ।) इसका अभिन्न दो आयतों का योग है, एक की ऊंचाई और आधार , ऊँचाई का आधार और आधार , कुल , पहले की तरह। $1/3$ $2/3$ $0$ $2$ $[0,1]$ $0$ $1/3$ $2$ $2/3$ $4/3$

सामान्य तौर पर, एक सतत और एक असतत वितरण का एक मिश्रण के लिए, हम इस निर्माण समानांतर उलटा CDF परिभाषित करने की जरूरत: ऊंचाई से प्रत्येक असतत कूद पर हम लंबाई के एक क्षैतिज रेखा के रूप में करना चाहिए पूर्ववर्ती सूत्र द्वारा दिए गए के रूप में। $p$ $p$

— व्हीबर
स्रोत

आपने चर के परिवर्तन में गलती की। x कहाँ से आता है?

— मस्करपोन

3

@Mascarpone समीकरण से पहले पाठ पढ़ें। मुझे नहीं लगता कि चर के परिवर्तन में कोई गलती है :-), लेकिन अगर आपको लगता है कि यह स्पष्टीकरण को स्पष्ट करेगा, तो मुझे यह बताते हुए खुशी होगी कि जब , तो । मुझे नहीं लगा कि यह आवश्यक था।

p = F (x)

$p=F(x)$

x = F^{- 1} (p)

$x=F^{-1}(p)$

— व्हिबर

अब मैं समझ गया;),

— मस्कपोन

+1 व्हीबर: धन्यवाद! क्या आप दिए गए फॉर्मूले का उपयोग करने के लिए विस्तृत जानकारी दे सकते हैं, अन्य वितरणों की देखभाल कैसे करें जिनके व्युत्क्रम सीडीएफ में एक अनूठी परिभाषा नहीं है?

— सभी

1

आक्रमणकारियों, छद्म हमलावरों और इस तरह के बारे में इस तरह की असहज विचारों को दरकिनार करने के लिए, और साथ ही साथ हर पल एक सामान्यीकरण के लिए, यहां देखें ।

— क्या

9

एक बराबर परिणाम अच्छी तरह से जाना जाता है अस्तित्व विश्लेषण : उम्मीद जीवनकाल है जहाँ उत्तरजीविता फ़ंक्शन जन्म से पर मापा जाता है। (यह आसानी से नकारात्मक मूल्यों को कवर करने के लिए बढ़ाया जा सकता ।)

\int_{t = 0}^{\infty} S (t) d t

$\int_{t=0}^\infty S(t) \; dt$

S (t) = Pr (T > t)

$S(t) = \Pr(T \gt t)$

t = 0

$t=0$

t

$t$

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

इसलिए हम इस पुनर्लेखन कर सकते हैं के रूप में लेकिन यह

\int_{t = 0}^{\infty} (1 - F (t)) d t

$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt$

जैसा कि क्षेत्र के विभिन्न प्रतिबिंबों में दिखाया गया है

\int_{q = 0}^{1} F^{- 1} (q) d q

$\int_{q=0}^1 F^{-1}(q) \; dq$

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— हेनरी
स्रोत

1

मुझे तस्वीरें पसंद हैं, और सहजता से लगता है कि यहाँ एक महान विचार है - मुझे यह विचार बहुत पसंद है -, लेकिन मैं इन विशेष को नहीं समझता। स्पष्टीकरण सहायक होगा। एक बात है कि मुझे मेरे पटरियों में बंद हो जाता है के अभिन्न विस्तार करने के लिए कोशिश कर रहा है के बारे में सोचा है

करने के लिए

: यह विचलित है।

(1 - F (t)) d t

$(1-F(t))dt$

- \infty

$-\infty$

— whuber

@whuber: आप नकारात्मक करने के लिए विस्तार करने के लिए चाहते हैं

, आप प्राप्त

t

$t$

। ध्यान दें कि यदि यह

, अर्थात

बारे में एक वितरण सममित के लिए अभिसरण करता है,तो यह देखना आसान है कि उम्मीद शून्य है। एक अंतर के बजाय एक राशि ले रहा है

\int_{t = 0}^{\infty} (1 - F (t)) d t - \int_{t = - \infty}^{0} F (t) d t

$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt - \int_{t=-\infty}^0 F(t) \; dt$

0

$0$

F (t) = 1 - F (- t)

$F(t)=1-F(-t)$

औसत

बारे में पूर्ण विचलन देता है।

\int_{t = 0}^{\infty} (1 - F (t)) d t + \int_{t = - \infty}^{0} F (t) d t

$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt + \int_{t=-\infty}^0 F(t) \; dt$

0

$0$

— हेनरी

यदि आप आरेख पसंद करते हैं, तो आपको ली द्वारा 1988 के इस पत्र में रुचि हो सकती है: गणित के नुकसान की अधिकता की कवरेज और पूर्वव्यापी रेटिंग-ए ग्राफिकल दृष्टिकोण ।

— अवराम

4

हम मूल्यांकन कर रहे हैं:

enter image description here

चलो चर के एक साधारण परिवर्तन के साथ प्रयास करें:

enter image description here

और हम देखते हैं कि पीडीएफ और सीडीएफ की परिभाषा से:

enter image description here

लगभग हर जगह। इस प्रकार हमारे पास अपेक्षित मूल्य की परिभाषा है:

enter image description here

— mascarpone
स्रोत

अंतिम पंक्ति में मैं अधिक स्पष्ट रूप से अपेक्षित मूल्य की परिभाषा समझाता हूं। लगभग हर जगह पिछले एक से ऊपर समीकरण को संदर्भित करता है। en.wikipedia.org/wiki/Almost_everywhere

— Mascarpone

1

संपादित, thanx :)

— मैस्कर्पोन

3

किसी भी वास्तविक मूल्य यादृच्छिक चर के लिए CDF साथ यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि की तुलना में एक ही कानून है जब पर एक समान है । इसलिए की अपेक्षा , जब भी यह मौजूद है, : की अपेक्षा के समान है $X$ $F$ $F^{-1}(U)$ $X$ $U$ $(0,1)$ $X$ $F^{-1}(U)$ प्रतिनिधित्वएक सामान्य CDF के लिए रखती है, लेने के बाएं निरंतर उलटा होने के लिएमामले में जबयह उलटी नहीं जा सकती।

E (X) = E (F^{- 1} (U)) = \int_{0}^{1} F^{- 1} (u) d u .

$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1 F^{-1}(u)\mathrm{d}u.$

X \sim F^{- 1} (U)

$X \sim F^{-1}(U)$

F

$F$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

F

$F$

— स्टीफन लॉरेंट
स्रोत

1

$F(x)$ $P(X\le x)$ $F^{-1}$

F^{- 1} (p) = min (x | F (x) \geq p) .

$\begin{equation} F^{-1}(p)=\min(x|F(x)\ge p). \end{equation}$

min

$\min$

U

$U$

[0, 1]

$[0, 1]$

F^{- 1} (U)

$F^{-1}(U)$

X

$X$

F

$F$

X

$X$

E (X) = E (F^{- 1} (U)) = \int_{0}^{1} F^{- 1} (p) d p

$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1F^{-1}(p)\mathop{dp}$

X

$X$

E | X | < \infty

$E|X|<\infty$

— WWang
स्रोत

मेरा भी यही जवाब है।

— स्टीफन लॉरेंट