आप IID वर्दी यादृच्छिक चर के नमूने के अधिकतम की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की गणना कैसे करते हैं?

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यादृच्छिक चर को देखते हुए

Y = max (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

$Y = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$

जहाँ IID समान चर हैं, मैं की PDF की गणना कैसे करूँ ? $X_i$ $Y$

pdf maximum

— mascarpone
स्रोत

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यदि यह होमवर्क है, तो कृपया FAQ पढ़ें और तदनुसार अपने प्रश्न को अपडेट करें।

— कार्डिनल

क्या 2 आदेशों के संयुक्त कार्य को दिखाने के लिए वैंडर्मोंडे की पहचान का उपयोग कर सकते हैं आंकड़े कहते हैं F_y (r) * G_y (r)?

— लैरी मिंटज़

ब्याज से बाहर, इस तरह की समस्या को किस पाठ्यक्रम में शामिल किया गया है? यह कुछ ऐसा नहीं है जो मुझे अपने इंजीनियरिंग संभावना पाठ्यक्रम में मिला।

— एलेक्स

@ एलेक्स एक ऐसे कोर्स कोर्स के बारे में है जो रिसमलिंग को कवर करता है?

— SOFe

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यह संभव है कि यह प्रश्न होमवर्क है, लेकिन मुझे लगा कि यह शास्त्रीय प्राथमिक संभावना प्रश्न अभी भी कई महीनों के बाद एक पूर्ण उत्तर की कमी थी, इसलिए मैं यहां एक दे दूंगा।

समस्या कथन से, हम वितरण चाहते हैं

Y = max {X_{1}, . . ., X_{n}}

$Y = \max \{ X_1, ..., X_n \}$

जहाँ iid । हम जानते हैं कि यदि और केवल यदि नमूना का प्रत्येक तत्व से कम है । इसके बाद, जैसा कि @ वार्टी के संकेत में संकेत दिया गया है, इस तथ्य के साथ संयुक्त है कि स्वतंत्र हैं, करने की अनुमति देता है $X_1, ..., X_n$ ${\rm Uniform}(a,b)$ $Y < x$ $x$ $X_i$

P (Y \leq x) = P (X_{1} \leq x, . . ., X_{n} \leq x) = \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} \leq x) = F_{X} (x)^{n}

$P(Y \leq x) = P(X_1 \leq x, ..., X_n \leq x) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \leq x) = F_{X}(x)^n$

जहां है समान वितरण की CDF । इसलिए का CDF $F_{X}(x)$ $Y$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = {\begin{cases} 0 & y \leq a \\ {[(y - a) / (b - a)]}^{n} & y \in (a, b) \\ 1 & y \geq b \end{cases}

$F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = \begin{cases} 0 & y \leq a \\ \phantom{} \left[ (y-a)/(b-a) \right]^n & y\in(a,b) \\ 1 & y \geq b \\ \end{cases}$

चूंकि का पूर्ण रूप से निरंतर वितरण है, इसलिए हम CDF को विभेदित करके इसके घनत्व को प्राप्त कर सकते हैं । इसलिए का घनत्व है $Y$ $Y$

p_{Y} (y) = \frac{n (y - a)^{n - 1}}{(b - a)^{n}}

$p_{Y}(y) = \frac{n(y-a)^{n-1}}{(b-a)^{n}}$

विशेष मामले में जहां में , हम उस राशि है, जो एक के घनत्व है बीटा वितरण के साथ और , चूंकि । $a=0,b=1$ $p_{Y}(y)=ny^{n-1}$ $\alpha=n$ $\beta=1$ ${\rm Beta}(n,1) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n)\Gamma(1)}=\frac{n!}{(n-1)!} = n$

एक नोट के रूप में, यदि आप बढ़ते क्रम में अपने नमूने को क्रमबद्ध करते हैं तो आपको जो क्रम मिलता है - - ऑर्डर आँकड़े कहलाते हैं । इस उत्तर का एक सामान्यीकरण यह है कि वितरित किए गए नमूने सभी ऑर्डर आँकड़ों में एक बीटा वितरण होता है , जैसा कि @ bnaul के उत्तर में दिया गया है। $X_{(1)}, ..., X_{(n)}$ ${\rm Uniform}(0,1)$

— मैक्रो
स्रोत

यह वास्तव में मेरे लिए एक होमवर्क प्रश्न था। स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

— पॉल पीएम

मुझे ऐसा लगता है कि मुझे यहाँ अपनी अंतर्दृष्टि लेने में सक्षम होना चाहिए और इस प्रश्न का उत्तर देना चाहिए , लेकिन मैं यह नहीं देख रहा हूं कि यह कैसे करना है। क्या तुम मेरी मदद कर सकते हो? क्या आप इस सामान्य मुद्दे पर बोलने वाली पाठ्यपुस्तक या अध्याय की सिफारिश कर सकते हैं?

@PaPPM ब्याज से, इस तरह की समस्या को किस पाठ्यक्रम में शामिल किया गया है? यह कुछ ऐसा नहीं है जो मुझे अपने इंजीनियरिंग संभावना पाठ्यक्रम में मिला।

— एलेक्स

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एक नमूना का अधिकतम क्रम आँकड़ों में से एक है, विशेष रूप से नमूना के वें क्रम सांख्यिकीय । सामान्य तौर पर, विकिपीडिया लेख द्वारा वर्णित क्रम आँकड़ों के वितरण की गणना मुश्किल है; कुछ विशेष वितरणों के लिए, ऑर्डर आँकड़े अच्छी तरह से ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए समान वितरण के लिए, जिसमें बीटा-वितरित ऑर्डर आँकड़े हैं)। $n$ $X_1,\dots,X_n$

संपादित करें: नमूना अधिकतम और न्यूनतम पर विकिपीडिया लेख भी आपकी समस्या के लिए सहायक और अधिक विशिष्ट है।

— bnaul
स्रोत

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घनत्व के साथ वितरण के लिए, एक विशेष क्रम के सीमांत वितरण की गणना करना काफी सीधा है। न्यूनतम और अधिकतम जैसे "विशेष" ऑर्डर के आंकड़ों के लिए यह और भी आसान है।

— कार्डिनल

मुझे लगता है कि यह इस बात पर निर्भर करता है कि मूल प्रश्न में "गणना" से क्या मतलब है। निश्चित रूप से संख्यात्मक रूप से ऐसा करना सीधा है; मैंने प्रश्न की व्याख्या करते हुए पूछा कि कैसे एक बंद फॉर्म समाधान खोजना है, जो सामान्य रूप से आसान नहीं है।

— बन्नुल

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@bnaul: एक मनमाना वितरण कार्य है और से एक आईआईडी नमूना हैं । चलो हो वें क्रम आंकड़ा। तबQED ।

F (x) = P (X \leq x)

$F(x) = \mathbb P(X \leq x)$

X_{1}, \dots, X_{n}

$X_1,\ldots,X_n$

F

$F$

X_{(k)}

$\newcommand{Xk}{X_{(k)}}\Xk$

k

$k$

P (X_{(k)} \leq x) = \sum_{m = k}^{n} P (| {i : X_{i} \leq x} | = m) = \sum_{m = k}^{n} (\binom{n}{m}) F (x)^{m} (1 - F (x))^{n - m} .

$\mathbb P(\Xk \leq x) = \sum_{m=k}^n \mathbb P( |\{i: X_i \leq x\}| = m) = \sum_{m=k}^n {n \choose m} F(x)^m (1-F(x))^{n-m} \>.$

— कार्डिनल

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शायद कार्डिनल्स के उत्तर को समझने का एक तरीका है (यह देखते हुए कि आप वर्दी के लिए ऑर्डर स्टेटिस्टिक समझते हैं) यह है कि क्योंकि cdfs एक यूनिफ़ॉर्म cdf के 1 से 1 तक के रूपांतरण हैं, हम हमेशा वर्दी के संदर्भ में घटना {X <a} को व्यक्त कर सकते हैं। यादृच्छिक चर (यही कारण है कि मोंटे कार्लो काम करता है)। तो एक समान वितरण पर आधारित कोई भी परिणाम आसानी से अन्य यादृच्छिक चर के लिए सामान्यीकरण कर देगा - बस परिवर्तन ।

U = F_{X} (X)

$U=F_{X}(X)$

— probabilityislogic

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@probabilityislogic: अंतर्ज्ञान अच्छा है, हालांकि ऐसा लगता है कि आपकी टिप्पणी में आपके मन में निरंतर यादृच्छिक चर हैं। (ऊपर मेरी दूसरी टिप्पणी में परिणाम, जैसे, एक मनमाना वितरण समारोह के लिए काम करता है।)

— कार्डिनल

1

यदि का CDF है , तो तब आप iid संपत्ति का उपयोग कर सकते हैं और गणना करने के लिए एक समान का cdf । $F_{Y}(y)$ $Y$

F_{Y} (y) = Prob (y > X_{1}, y > X_{2}, . . ., y > X_{n})

$F_Y(y)=\text{Prob}(y>X_1,y>X_2,...,y>X_n)$

F_{Y} (y)

$F_Y(y)$

— varty
स्रोत

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जब सामान्य रूप से सामान्यीकृत IID यादृच्छिक चर का एक सेट का अधिकतम आम तौर पर तीन चरम मूल्य प्रकारों में से एक में परिवर्तित हो जाएगा। यह गेदेंको की प्रमेय है, चरम सीमाओं के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय की समानता। विशेष प्रकार जनसंख्या वितरण के पूंछ व्यवहार पर निर्भर करता है। यह जानकर आप अधिकतम के लिए वितरण को अनुमानित करने के लिए सीमित वितरण का उपयोग कर सकते हैं।

चूंकि [ए, बी] पर समान वितरण इस सवाल का विषय है, मैक्रो ने किसी भी n और बहुत ही अच्छे उत्तर के लिए सटीक वितरण दिया है। परिणाम बल्कि तुच्छ है। सामान्य वितरण के लिए एक अच्छा बंद फॉर्म संभव नहीं है लेकिन सामान्य रूप से Gumbel वितरण F (x) = exp (- e ) के लिए सामान्य अभिसरण के लिए अधिकतम सामान्यीकृत है । $^-$ $^x$

वर्दी के लिए सामान्यीकरण है (ba) -x / n और F (bax / n) = (1-x / [n (ba)]) $^n$ $^n$

जो e परिवर्तित हो जाता है । यहाँ ध्यान दें कि y = bax / n। और F (y) 1 के रूप में परिवर्तित होता है जैसे y बा में जाता है। यह सब 0 के लिए रखती है $^-$ $^x$ $^/$ $^($ $^b$ $^-$ $^a$ $^)$ $^n$

इस मामले में इसकी विषमता की सीमा के लिए सटीक मूल्य की तुलना करना आसान है।

— माइकल चेरिक
स्रोत

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इस जवाब साध्य होने के लिए, आप निर्धारित करना, विस्तार से, कैसे एक मूल्यों "उचित रूप से सामान्य हो" और तुम भी किसी तरह का अनुमान लगाने के लिए कैसे बड़े प्रदान करने की आवश्यकता की जरूरत है से पहले asymptotic सूत्र एक विश्वसनीय अनुमान हो जाता है होना चाहिए।

n

$n$

— whuber

@whuber कोई भी सामान्यीकरण देखने के लिए गेदेंको के प्रमेय को देख सकता है। समान रूप से महत्वपूर्ण पूंछ की विशेषताएं हैं जो निर्धारित करती हैं कि तीन प्रकारों में से कौन सा लागू होता है। प्रमेय स्थिर स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए सामान्यीकृत करता है। तो जो भी लोग नॉटी ग्रिटि के बारे में जानना चाहते हैं, वे लीडबेटर की किताब या मेरी पीएचडी थीसिस देख सकते हैं। जब n पर्याप्त बड़ा होता है तो किसी भी प्रकार के एसिम्पोटिक्स का उत्तर देना एक कठिन प्रश्न है। मुझे लगता है कि बेरी-एसेन प्रमेय केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए मदद करता है। मुझे नहीं पता कि चरम सीमाओं के लिए तुलनीय क्या है।

— माइकल चेरिक जूल