रोल की एक अनंत श्रृंखला से एक चयनित मर का औसत मूल्य

Question

यदि मैं पासा की एक जोड़ी को अनंत बार रोल करता हूं, और हमेशा दो के उच्च मूल्य का चयन करता हूं, तो क्या उच्चतम मूल्यों का अनुमानित मतलब 3.5 से अधिक होगा?

ऐसा लगता है कि यह तब से होना चाहिए जब मैं एक लाख पासा लुढ़का, और हर बार सबसे अधिक मूल्य का चयन किया गया, इस पर जोर दिया गया कि प्रत्येक रोल में छक्के उपलब्ध होंगे। इस प्रकार, अपेक्षित साधन कुछ इस तरह होगा 5.999999999999 ...

हालाँकि, मुझे यह पता नहीं लग सकता है कि सिर्फ 2 पासा का उपयोग करके मेरे उदाहरण के साथ अपेक्षित मूल्य क्या होगा। क्या कोई मुझे एक नंबर पर पहुंचने में मदद कर सकता है? क्या यह बमुश्किल 3.5 से अधिक होगा? क्या यह भी ऐसी चीज है जिसकी गणना की जा सकती है?

Comments

आप नमूना स्थान की गणना कर सकते हैं? 2-पासा उदाहरण के लिए संभावनाओं को सूचीबद्ध करें।

— सोखले

Answer 1

प्रयोग भी अनुकरण किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण तब उपयोगी होता है जब एन्यूमरेशन कठिन होता है (जैसे कि 3 डाइस को रोल करना)।

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

Answer 2

इसके लिए सिमुलेशन का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, सामान्य मामले का विश्लेषण करना काफी आसान है। चलो पासों की संख्या हो सकता है और अधिकतम जब रोलिंग बना रोल हो पासा।$n$$X$$n$

यह इस प्रकार है कि और सामान्य रूप से 1 और 6. के बीच लिए इसलिए हम प्राप्त कर सकते हैं

$$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$$ $$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$$ $k$ $$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$$

इसलिए हम संभाव्यता वितरण को बंद रूप में लिख सकते हैं। लिए ऐसा करने से आपको अपेक्षित मूल्य 4.472222 प्राप्त होता है।$n = 2$

Comments

ध्यान दें कि, सीमा में, को , इसलिए यह सूत्र आपके प्रश्न से आपके अंतर्ज्ञान की भी पुष्टि करता है । $P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$$n \rightarrow \infty$

— मैथ्यू ड्र्यू

Answer 3

मेरा सुझाव है कि उत्तर देखने के लिए केवल तुच्छ मामले के माध्यम से काम करना।

दो पासा से संभावित परिणाम एक 6x6 मैट्रिक्स उत्पन्न करते हैं:

$$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

योग का अपेक्षित मूल्य है। 7. यह मामला है क्योंकि रोल समान स्वतंत्र चित्र हैं, इसलिए उन्हें अभिव्यक्त किया जा सकता है। एक निष्पक्ष शावक मरने की उम्मीद 3.5 है।

लेकिन आप अधिकतमकरण के बारे में पूछ रहे हैं। अब दो पासा पलटने से अधिकतमकरण की गणना करते हैं। फिर से, यह एक 6x6 मैट्रिक्स है:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

अपेक्षित मान की गणना करें, जैसे: ।

$$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$$

ध्यान दें कि रोलिंग पासा (एक संभाव्य अर्थ में) है जो एक रोल करने के बराबर है । तो पासा को रोल करने के लिए आप देख सकते हैं कि मैट्रिक्स कैसे बदलता है और परिणामी अपेक्षा कैसे बदलती है।n $n$$n$$n$

Answer 4

36 संयोजनों में से प्रत्येक को मानते हुए एक समान संभावना है, हमें बस 36 संयोजनों में से प्रत्येक के मूल्यों को जोड़ना होगा और औसत प्राप्त करने के लिए 36 से विभाजित करना होगा:

1. 1 संभावना: 11
2. 3 संभावनाएं: 12, 21, 22
3. 5 संभावनाएं: 13, 23, 31, 32, 33
4. 7 संभावनाएं: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
5. 9 संभावनाएं: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
6. 11 संभावनाएं: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(१ * १ + २ * ३ + ३ * ५ + ४ * * + ५ * ९ + ६ * ११) / ३६ = ४.४ +२२.२ ।।

Answer 5

ट्रोल पासा रोलर है पासा संभावनाओं को खोजने के लिए उपकरण। उनके पास कार्यान्वयन को स्पष्ट करने वाला एक पेपर है , लेकिन यह बहुत अकादमिक है।

max(2d6) पैदावार

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642