यह देखते हुए कि समान रूप से वितरित r.v की, सभी r rv की राशि से विभाजित एक rv के लिए PDF क्या है?

10

मैं निम्नलिखित प्रकार के मामले में दिलचस्पी रखता हूं: 'n' निरंतर यादृच्छिक चर हैं जिनका योग 1 होना चाहिए। किसी भी एक व्यक्ति के लिए पीडीएफ क्या होगा? इसलिए, यदि $n=3$ , तो मुझे के वितरण में दिलचस्पी है $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ , जहां $X_1, X_2$ और $X_3$ सभी समान रूप से वितरित किए जाते हैं। मतलब ज़ाहिर है, इस उदाहरण में, है $1/3$ , के रूप में मतलब सिर्फ $1/n$ , और हालांकि यह अनुसंधान में अनुकरण वितरण करने के लिए आसान है, मैं नहीं जानता कि क्या PDF या CDF के लिए वास्तविक समीकरण है।

यह स्थिति इरविन-हॉल वितरण ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ) से संबंधित है। केवल इरविन-हॉल n वर्दी यादृच्छिक चर के योग का वितरण है, जबकि मैं सभी n चर के योग द्वारा विभाजित n वर्दी rv में से एक के लिए वितरण चाहूंगा। धन्यवाद।

uniform

— user3593717
स्रोत

1

यदि

निरंतर वर्दी यादृच्छिक चर

बराबर है , तो

,

और इसलिए

का वितरण

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

के वितरण के रूप में ही है

, है ना?

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— दिलीप सरवटे

1

मुझे अपने आप को सही करना चाहिए: एन वर्दी वितरण 1 के लिए राशि नहीं है। मैं मान रहा हूं कि वे प्रत्येक 0 और 1 के बीच एक समान हैं, और इसलिए उनका योग 0 से एन तक कुछ भी हो सकता है। मैं प्रत्येक समान चर लेने और विभाजित करने के बारे में सोच रहा हूं। यह सभी N एकसमान चरों के योग से N यादृच्छिक चर का एक सेट प्राप्त करता है जो 1 तक होता है और जिसका मूल्य 1 / N होता है। नोट: मैंने अपने पहले वाक्य से 'वर्दी' शब्द हटा दिया था। जो वितरण मैं देख रहा हूं वह एक समान नहीं है, लेकिन किसी भी तरह से सभी एन वर्दी चर के योग से एन वर्दी चर में से एक को विभाजित करने से प्राप्त होता है। मुझे यकीन नहीं है कि कैसे।

— user3593717

कहाँ

तेजी से वितरित कर रहे हैं, सामान्यीकृत चर के वेक्टर एक Dirichlet फैलाव है। यह अपने आप में रुचि हो सकती है, लेकिन इस प्रकार की स्थिति के लिए रणनीति प्रदान करने पर भी ध्यान दिया जा सकता है।

X_{i}

$X_i$

— अनुमान

4

डोमेन में ब्रेकप्वाइंट कुछ गड़बड़ कर देते हैं। अंतिम परिणाम तक एक सरल लेकिन थकाऊ दृष्टिकोण का निर्माण करना है। के लिए जाने $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ औरफिर $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Breakpoints के लिए 1 पर हैं के लिए 1 और 2 2 और 3 के लिए और और के लिए मुझे पूरी पीडीऍफ़ मिली $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

Cdf को तब रूप में पाया जा सकता है

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— soakley
स्रोत

+1 अच्छा है। इसके अलावा, आपका घनत्व अनुकरण के साथ खूबसूरती से सहमत है ।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

2

चलो । हम CDF पा सकते हैं की गणना के द्वारा $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$ हम वांछित पीडीएफ प्राप्त करने के लिए इरविन-हॉल पीडीएफ को अलग करते हैं और स्थानापन्न करते हैं:

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

यहाँ से यह थोड़ा गड़बड़ हो जाता है, लेकिन आपको अभिन्न और योग को इंटरचेंज करने में सक्षम होना चाहिए और फिर एक प्रतिस्थापन करना चाहिए (जैसे,

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$

) अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए और इसलिए पीडीएफ के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त करें।

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— ब्रेंट केर्बी
स्रोत

1

यह मानते हुए

"एन वर्दी वितरण 1. करने के लिए राशि नहीं है"

यह मैंने कैसे शुरू किया (यह अधूरा है):

$Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

$U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

तब चर के परिवर्तन के बाद :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

$X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

$f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— rightskewed
स्रोत

0

$U(0,1)$ $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

$X$ $Y$

$Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

फिर

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

चूंकि साथ iid हैं इसलिए, $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

साथ संयुक्त वितरण है $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

अगला हम एकीकृत करते हैं और हम और का संयुक्त वितरण प्राप्त कर सकते हैं अर्थात और का संयुक्त वितरण $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

जैसा कि व्हीलर ने सुझाव दिया था कि अब मैंने सीमा बदल दी है

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

अब, हम के संयुक्त पीडीएफ पता यानी संयुक्त पीडीएफ और है । $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

इसके बाद का pdf ढूंढें $\frac{X}{Y}$

हमें एक और परिवर्तन की आवश्यकता है:

चलो $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

फिर $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

फिर

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

हम पहले से ही से ऊपर के चरणों के संयुक्त वितरण रेफरी (1) । $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

इसके बाद, हम एकीकृत बाहर हम की पीडीएफ मिल तो हम की पीडीएफ मिल $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

यह अर्थात $X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

हम अभी तक खत्म नहीं हुए हैं, फिर इन (2) क्या है ? $y_3$

हम जानते हैं कि पहले परिवर्तन से। $Y_3=X_1+X_2+X_3$

तो कम से कम हम जानते हैं कि में इरविन-हॉल वितरण है। $Y_3$

मुझे आश्चर्य है कि हम स्पष्ट सूत्र प्राप्त करने के लिए इरविन-हॉल को pdf से (2) के लिए प्लग कर सकते हैं ? या हम ग्लेन के सुझाव के अनुसार यहां से कुछ सिमुलेशन कर सकते हैं? $n=3$

— दीप उत्तर
स्रोत

2

सिमुलेशन उस पीडीएफ से सहमत नहीं लगता है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

तर्क और कदम सही लगते हैं, लेकिन मैं इस समाधान के बारे में असहज महसूस करता हूं।

— दीप उत्तर

2

जहाँ आपने एकीकृत किया है , आपको शर्तों के लिए खाते की आवश्यकता है और ।

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$

— व्हिबर