इस अनुमानक का प्रसरण क्या है

मैं एक फ़ंक्शन f, यानी का अनुमान लगाना चाहता हूं जहां और स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। मैं च के नमूने लेकिन नहीं आईआईडी: के लिए आईआईडी नमूने हैं और प्रत्येक के लिए देखते हैं से नमूने :

इ_{एक्स, Y} [च (एक्स, Y)]

$E_{X,Y}[f(X,Y)]$

X

$X$

Y

$Y$

Y_{1}, Y_{2}, \dots Y_{n}

$Y_1,Y_2,\dots Y_n$

Y_{i}

$Y_i$

n_{i}

$n_i$

X

$X$

X_{i, 1}, X_{i, 2}, \dots, X_{i, n_{i}}

$X_{i,1},X_{i,2},\dots, X_{i,n_i}$

तो कुल मिलाकर मेरे पास $f(X_{1,1},Y_1) \dots f(X_{1,n_1},Y_1 ) \dots f(X_{i,j},Y_i) \dots f(X_{n,n_n},Y_n)$

अनुमान लगाने के लिए मतलब मैं गणना स्पष्ट रूप सेतोएक निष्पक्ष अनुमानक है। अब मैं क्या सोच रहा हूँ, यानी आकलनकर्ता की भिन्नता है।

μ = Σ_{मैं = 1}^{n} 1 / n * Σ_{जे = 1}^{n_{मैं}} \frac{च ({एक्स}_{मैं, जे}, Y_{मैं})}{n_{मैं}}

$\mu=\sum_{i=1}^n 1/n * \sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$

इ_{एक्स, Y} [μ] = इ_{एक्स, Y} [च (एक्स, Y)]

$E_{X,Y}[\mu]=E_{X,Y}[f(X,Y)]$

μ

$\mu$

V a r (μ)

$Var(\mu)$

संपादित करें 2: क्या यह सही विचरण है? यह सीमा, यानी में काम करने लगता है, तो n = 1 और सभीविचरण सिर्फ साधन के विचरण हो जाता है। और यदिसूत्र अनुमानकों के विचरण के लिए मानक सूत्र बन जाता है। क्या ये सही है? मैं कैसे प्रमाण कर सकता हूं कि यह है?

वी ए आर (μ) = \frac{वी ए {आर}_{Y} (μ_{मैं})}{n} + Σ_{मैं = 1}^{n} \frac{वी ए {आर}_{एक्स} (च (एक्स, Y_{मैं})))}{n_{मैं} * n^{2}}

$Var(\mu)=\frac{Var_Y(\mu_i)}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{Var_X(f(X,Y_i)))}{n_i*n^2}$

n_{i} = \infty

$n_i=\infty$

n_{i} = 1

$n_i=1$

संपादित करें (इसे अनदेखा करें):

इसलिए मुझे लगता है कि मैंने कुछ प्रगति की है: आइए हम पहले को परिभाषित करें जो किनिष्पक्ष मूल्यांकनकर्ता है। $\mu_i=\sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$ $E_X[f(X,Y_i)]$

विचरण के लिए मानक सूत्र का उपयोग हम लिख सकते हैं:

वी ए आर (μ) = 1 / n^{2} Σ_{एल = 1}^{n} Σ_{क = 1}^{n} सी ओ v (μ_{एल}, μ_{क})

$Var(\mu)=1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=1}^n Cov(\mu_l,\mu_k)$

1 / n^{2} (Σ_{मैं = 1}^{n} वी ए आर (μ_{एल}) + 1 / n^{2} Σ_{एल = 1}^{n} Σ_{क = एल + 1}^{n} 2 * सी ओ v (μ_{एल}, μ_{क}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n Var(\mu_l)+ 1/n^2\sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

X_{i j}

$X_{ij}$

1 / n^{2} (Σ_{मैं = 1}^{n} 1 / n_{मैं} वी ए आर (च ({एक्स}_{मैं, जे}, Y_{मैं})) + 1 / n^{2} Σ_{एल = 1}^{n} Σ_{क = एल + 1}^{n} 2 * सी ओ v (μ_{एल}, μ_{क}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X_{i,j},Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

\begin{aligned} सी ओ v (μ_{एल}, μ_{क}) & = सी ओ v (Σ_{जे = 1}^{n_{एल}} \frac{च ({एक्स}_{जे, एल}, Y_{एल})}{n_{एल}}, Σ_{जे = 1}^{n_{क}} \frac{च ({एक्स}_{जे, क}, Y_{क})}{n_{क}}) \\ = \frac{1}{(n_{क} * n_{एल})} * सी ओ v (Σ_{जे = 1}^{n_{एल}} च ({एक्स}_{जे, एल}, Y_{एल}), Σ_{जे = 1}^{n_{क}} च ({एक्स}_{जे, क}, Y_{क})) \\ = \frac{1}{(n_{क} * n_{एल})} * Σ_{जे = 1}^{n_{एल}} Σ_{जे = 1}^{n_{क}} सी ओ v (च (एक्स, Y_{एल}), च (एक्स, Y_{क})) \\ = \frac{n_{क} * n_{एल}}{(n_{क} * n_{एल})} सी ओ v (च ({एक्स}_{मैं, एल}, Y_{एल}), च ({एक्स}_{मैं, क}, Y_{क})) \\ = सी ओ v (च (एक्स, Y_{एल}), च (एक्स, Y_{क})) \end{aligned}

$\begin{align} Cov(\mu_l,\mu_k)&=Cov(\sum_{j=1}^{n_l} \frac{f(X_{j,l},Y_l)}{n_{l}},\sum_{j=1}^{n_k} \frac{f(X_{j,k},Y_k)}{n_{k}})\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*Cov(\sum_{j=1}^{n_l} f(X_{j,l},Y_l),\sum_{j=1}^{n_k} f(X_{j,k},Y_k))\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*\sum_{j=1}^{n_l}\sum_{j=1}^{n_k}Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k))\\ &=\frac{n_k*n_l}{(n_k*n_l)}Cov( f(X_{i,l},Y_l), f(X_{i,k},Y_k))\\ &=Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k)) \end{align}$

1 / n^{2} (Σ_{मैं = 1}^{n} 1 / n_{मैं} वी ए आर (च (एक्स, Y_{मैं})) + 1 / n^{2} Σ_{एल = 1}^{n} Σ_{क = एल + 1}^{n} 2 * सी ओ v (च (एक्स, Y_{एल}), च (एक्स, Y_{क})))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X,Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$

क्या ऊपर की गणना सही है?
$Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$
अगर मैं n को अनंत तक जाने देता हूं, तो क्या विचरण 0 में परिवर्तित होता है?

variance unbiased-estimator estimators

— बेनेडिकट बुन्ज
स्रोत

$\ell$ $k$ $k=\ell$ $X_{12}, Y_1$ $X_{22}, Y_2$ $X$ $Y$

$k=\ell$ $Cov(f(X_{jk}, Y_k), f(X_{jk}, Y_k)) = Var(f(X_{jk}, Y_k))$ $Cov(\mu_k, \mu_k) = \frac{1}{n_k} Var(f(X_{jk}, Y_k))$

Q3: हाँ: इन संशोधनों के बाद, आपके पास बहुत ही अंतिम राशि में केवल एक रैखिक संख्या होगी, इसलिए हर का द्विघात शब्द जीतेगा।

— eric_kernfeld
स्रोत

"यदि मैं n को अनंतता में जाने देता हूं तो" क्या विचरण 0 में परिवर्तित होता है? हां है"।

— eric_kernfeld