क्या हमें एक अनुप्रयुक्त सांख्यिकी पाठ्यक्रम में कुर्तोसिस सिखाना चाहिए? यदि हां, तो कैसे?

Question

केंद्रीय प्रवृत्ति, प्रसार और तिरछापन सभी को अपेक्षाकृत अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है, कम से कम एक सहज ज्ञान युक्त आधार पर; इन चीजों के मानक गणितीय उपाय भी हमारी सहज धारणाओं के अनुरूप हैं। लेकिन कुर्तोसिस अलग लगता है। यह बहुत भ्रामक है और यह वितरण आकार के बारे में किसी भी अंतर्ज्ञान के साथ अच्छी तरह से मेल नहीं खाता है।

एक लागू सेटिंग में कर्टोसिस का एक विशिष्ट विवरण Microsoft एक्सेल [ 1 ] का उपयोग करके व्यवसाय और प्रबंधन के लिए लागू आंकड़ों से यह उद्धरण होगा :$^{[1]}$

कर्टोसिस यह दर्शाता है कि वितरण कितना चरम पर है या इसके विपरीत कितना सपाट है। यदि पूंछ में अधिक डेटा मूल्य हैं, तो आप सामान्य वितरण से क्या अपेक्षा करते हैं, कुर्तोसिस सकारात्मक है। इसके विपरीत, यदि पूंछ में कम डेटा मान हैं, तो आप सामान्य वितरण में अपेक्षा करेंगे, तो कर्टोसिस नकारात्मक है। जब तक आपके पास कम से कम चार डेटा मान नहीं हैं, तब तक Excel इस आंकड़े की गणना नहीं कर सकता है।

"कर्टोसिस" और "अतिरिक्त कर्टोसिस" के बीच भ्रम की स्थिति से (जैसा कि इस पुस्तक में, यह शब्द पूर्व शब्द का उपयोग करने के लिए सामान्य है कि लेखक दूसरे को क्या कहता है), "चरमोत्कर्ष" या "सपाटता" के संदर्भ में व्याख्या। फिर डेटा के कितने आइटम टेल में हैं, इस पर ध्यान देने के लिए स्विच किया जाता है। "चोटी" और "पूंछ" दोनों को ध्यान में रखते हुए आवश्यक है - कपलान्स्की$^{[2]}$1945 में शिकायत की गई थी कि गलत तरीके से कर्टोसिस के समय की कई पाठ्यपुस्तकों को बिना किसी सामान्य वितरण की तुलना में वितरण के शिखर की तुलना में कितना ऊंचा होना था। लेकिन स्पष्ट रूप से शिखर पर और पूंछ दोनों में आकार पर विचार करने के लिए अंतर्ज्ञान को समझ पाना कठिन हो जाता है, एक बिंदु जो कि शिखर से ऊपर की ओर खींचा जाता है, शिखर से भारीपन तक पूंछ के आकार के रूप में होता है जैसे कि ये अवधारणाएं समान थीं।

इसके अलावा कर्टोसिस का यह शास्त्रीय "शिखर और पूंछ" स्पष्टीकरण केवल सममित और असमान वितरण के लिए अच्छी तरह से काम करता है (वास्तव में, उस पाठ में सचित्र उदाहरण सभी सममित हैं)। फिर भी कर्टोसिस की व्याख्या करने के लिए "सही" सामान्य तरीका, चाहे "चोटियों", "पूंछ" या "कंधों" के संदर्भ में, दशकों से विवादित रहा हो । $^{[2][3][4][5][6]}$

क्या एक लागू सेटिंग में कर्टोसिस को पढ़ाने का एक सहज तरीका है जो अधिक कठोर दृष्टिकोण लेने पर विरोधाभासों या पलटवारों को हिट नहीं करेगा? क्या गणितीय डेटा कक्षाओं में विरोध के रूप में इस तरह के लागू डेटा विश्लेषण पाठ्यक्रमों के संदर्भ में कर्टोसिस भी एक उपयोगी अवधारणा है? यदि वितरण की "चरमता" एक सहज ज्ञान युक्त उपयोगी अवधारणा है, तो क्या हमें इसके बजाय L- क्षण माध्यम से इसे सिखाना चाहिए ?$^{[7]}$

$[1]$ हेरकेनहॉफ, एल। और फोगली, जे (२०१३)। Microsoft Excel का उपयोग करके व्यवसाय और प्रबंधन के लिए लागू आँकड़े । न्यूयॉर्क, एनवाई: स्प्रिंगर।

$[2]$ कपलान्स्की, आई (१ ९ ४५)। "कुर्टोसिस से संबंधित एक सामान्य त्रुटि"। जर्नल ऑफ़ द अमेरिकन स्टेटिस्टिकल एसोसिएशन , 40 (230): 259।

$[3]$ डार्लिंगटन, रिचर्ड बी (१ ९ ton०)। "क्या कर्टोसिस वास्तव में 'पीकडनेस' है?"। द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन 24 (2): 19–22

$[4]$ मूर, जे जे ए। (१ ९ osis६) "कर्टोसिस का अर्थ: डार्लिंगटन ने फिर से संगठित किया"। अमेरिकी सांख्यिकीविद् 40 (4): 283-284

$[5]$ बालंदा, केविन पी। और मैकगिलिव्रे, एचएल (१ ९),)। " कर्टोसिस: ए क्रिटिकल रिव्यू"। द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन 42 (2): 111–119

$[6]$ डेकार्लो, एलटी (१ ९९ ar)। " कर्टोसिस के अर्थ और उपयोग पर "। मनोवैज्ञानिक तरीके , 2 (3), 292. शिकागो

$[7]$ होकिंग, जेआरएम (१ ९९ २)। "क्षण या एल क्षण? एक उदाहरण वितरणीय आकार के दो उपायों की तुलना"। द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन 46 (3): 186–189

Comments

सामान्य पाठ्यक्रम से आपका क्या अभिप्राय है? यानी शिक्षा किस स्तर की है।

— गुमो

वास्तव में आप कर्टोसिस के बारे में क्या सिखा रहे हैं? यह सवाल बहुत अस्पष्ट है क्योंकि यह है। कृपया भरें कि यह आपके पाठ्यक्रम में कैसे फिट बैठता है और शायद मानक उपायों से कुछ सहज उदाहरण जो आप इससे सहमत हैं कि कर्टोसिस में विरोधाभास है।

— जॉन

मुझे नहीं लगता कि कर्टोसिस का क्षण माप वास्तव में उस संबंध में क्षण तिरछापन से बहुत अलग है। दोनों मामलों में वे वास्तव में यह नहीं दर्शाते हैं कि लोग क्या सोचते हैं, और वे दोनों उन कहानियों से कम सहज नहीं हैं जो लोग उनके बारे में बताते हैं। कुर्तोसिस के बारे में मेरे हर आश्चर्य का जवाब देने के लिए, मेरे पास तिरछा होने के बारे में एक और है। मैं उनमें से किसी को भी नहीं हटाऊंगा, लेकिन मैं पल के उपायों पर जोर कम करूँगा, मैं उन्हें बाद में ले जाऊंगा और उनके द्वारा सिखाए गए तरीके को बदल दूंगा, ताकि हम विभिन्न अवधारणाओं को स्वीकार न करें और हम न करें ऐसे दावे करें जो पकड़ में नहीं आते हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

उच्च तिरछापन तिरछापन की दिशा में एक भारी पूंछ का मतलब नहीं है। शून्य तिरछापन का अर्थ समरूपता नहीं है (सभी विषम क्षण शून्य समरूपता का अर्थ भी नहीं है)। समरूपता भी शून्य तिरछापन का मतलब नहीं है। क्या अंतर्ज्ञान बचे हैं?

— Glen_b -Reinstate Monica

यहाँ कुछ चर्चा के साथ एक और उत्तर है जिसमें उदाहरणों का एक दिलचस्प वर्ग है। कुछ और भी हैं, लेकिन मैं उन्हें अभी नहीं देख रहा हूँ। कुछ व्हीबर के पोस्ट भी उपयोगी हैं।

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 1

कर्टोसिस वास्तव में बहुत सरल है ... और उपयोगी है। यह केवल आउटलेर, या पूंछ का एक उपाय है। इसका शिखर से कोई लेना-देना नहीं है - उस परिभाषा को छोड़ देना चाहिए।

यहाँ एक डेटा सेट है:
0, 3, 4, 1, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 999

गौर करें कि '999 ’एक बाहरी है।

यहाँ डेटा सेट से मान हैं:$z^4$

0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00,0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 360.98

ध्यान दें कि केवल बाहरी भाग देता है जो कि 0 से अलग है।$z^4$

इन मानों का औसत अनुभवजन्य वितरण का कुरूपता है (यदि आप चाहें तो 3 घटाएं, यह उस बिंदु के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता जो मैं बना रहा हूं): 18.05$z^4$

इस गणना से यह स्पष्ट होना चाहिए कि "शिखर" (गैर-बाह्य डेटा) के पास डेटा कर्टेन स्टेटिस्टिक में लगभग कुछ भी योगदान नहीं करता है।

कर्टोसिस आउटलेर्स के उपाय के रूप में उपयोगी है। प्राथमिक छात्रों के लिए आउटलेयर महत्वपूर्ण हैं और इसलिए कुर्तोसिस को पढ़ाया जाना चाहिए। लेकिन कुर्तोसिस का वस्तुतः शिखर से कोई लेना-देना नहीं है, चाहे वह नुकीला, सपाट, बिमोडल या अनंत हो। आप छोटे कर्टोसिस के साथ उपरोक्त सभी हो सकते हैं और बड़े कर्टोसिस के साथ उपरोक्त सभी। इसलिए इसे शिखर के साथ कुछ भी करने के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जाना चाहिए , क्योंकि यह गलत जानकारी सिखाएगा। यह सामग्री को अनावश्यक रूप से भ्रामक बनाता है, और कम उपयोगी लगता है।

सारांश:

1. कर्टोसिस पूंछ (आउटलेयर) के उपायों के रूप में उपयोगी है।
2. कर्टोसिस का शिखर से कोई लेना-देना नहीं है।
3. कर्टोसिस व्यावहारिक रूप से उपयोगी है और इसे सिखाया जाना चाहिए, लेकिन केवल आउटलेर के एक उपाय के रूप में। कर्टोसिस सिखाते समय चोटी का उल्लेख न करें।

यह लेख स्पष्ट रूप से बताता है कि "पीकडनेस" की परिभाषा अब आधिकारिक रूप से मृत क्यों है।

वेस्टफॉल, पीएच (2014)। " कर्टोसिस पेकडनेस के रूप में, 1905 - 2014. RIP " द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन , 68 (3), 191-195।

Comments

सीवी में आपका स्वागत है, मुझे आशा है कि आप भविष्य में और अधिक योगदान देंगे! मैंने आपकी पोस्ट को पेपर से लिंक करने के लिए संपादित किया है और कुछ गणित संकेतन में सुधार किया है, मुझे आशा है कि आपको कोई आपत्ति नहीं है। ( $जैसे गणित को गणित में रखकर L$z^4$ का उपयोग करना संभव है ।)$\LaTeX$

— सिल्वरफ़िश

Answer 2

जबकि सवाल कुछ अस्पष्ट है, यह दिलचस्प है। कर्टोसिस किस स्तर पर सिखाया जाता है? मुझे याद है कि यह लीनर मॉडल में (मास्टर के स्तर) पाठ्यक्रम में उल्लेख किया जा रहा है (बहुत समय पहले, सेबर की किताब के पहले संस्करण के आधार पर)। यह एक महत्वपूर्ण विषय नहीं था, लेकिन यह समानता के अनुपात की समानता के परीक्षण (एफ-टेस्ट) की संभावना (अभाव) की मजबूती का अध्ययन करने जैसे विषयों में प्रवेश करता है, जहां (स्मृति से) सही स्तर पर समान रूप से एक ही कुर्तोसिस होने पर निर्भर करता है सामान्य वितरण, जो बहुत अधिक है! हमने ओजा द्वारा एक पेपर (लेकिन मैंने इसे विवरण के साथ कभी नहीं पढ़ा) http://www.jstor.org/stable/4615828?seq=1#page_scan_tab_contents ने देखा, जो यह पता लगाने की कोशिश करता है कि तिरछा, कर्टोसिस और इस तरह के वास्तव में क्या उपाय हैं।

मुझे यह दिलचस्प क्यों लगता है? क्योंकि मैं लैटिन अमेरिका में पढ़ा रहा हूं, जहां ऐसा लगता है कि तिरछा और कुर्तोसिस कई महत्वपूर्ण विषयों द्वारा पढ़ाया जाता है, और स्नातकोत्तर छात्रों (अर्थव्यवस्था से कई) को बताने की कोशिश कर रहा है कि कुर्तोसिस एक वितरण के रूप का एक बुरा उपाय है (मुख्य रूप से) क्योंकि चौथी शक्तियों की नमूना परिवर्तनशीलता केवल बड़ी है), मुश्किल था। मैं उन्हें QQplots का उपयोग करने के लिए मिल रहा था। तो, कुछ टिप्पणीकारों के लिए, हाँ, यह कुछ स्थानों को सिखाया जाता है , शायद बहुत कुछ करने के लिए!

वैसे, यह केवल मेरी राय नहीं है। निम्नलिखित ब्लॉग पोस्ट https://www.spcforexcel.com/knowledge/basic-statistics/are-skewness-and-kurtosis-useful-statistics में यह उद्धरण (डॉ व्हीलर के लिए जिम्मेदार) शामिल हैं:

संक्षेप में, तिरछापन और कुर्तोसिस व्यावहारिक रूप से बेकार हैं। शेवहार्ट ने अपनी पहली पुस्तक में यह अवलोकन किया। तिरछापन और कुर्तोसिस के आंकड़े केवल उस स्थान से अधिक उपयोगी जानकारी प्रदान नहीं करते हैं जो पहले से ही स्थान और फैलाव के उपायों द्वारा दिए गए हैं।

हमें वितरण के रूपों का अध्ययन करने के लिए बेहतर तकनीक सिखानी चाहिए! जैसे QQplots (या सापेक्ष वितरण भूखंड)। और, अगर किसी को अभी भी संख्यात्मक उपायों की आवश्यकता है, तो एल-क्षणों पर आधारित उपाय बेहतर हैं। मैं जेआरएम हॉकिंग द्वारा पेपर जेआर स्टेटिस्ट सोसाइट बी (1990) 52, नंबर 1, पीपी 105--124 के एक अंश का उद्धरण दूंगा: "एल-मोमेंट्स: एनालिसिस और लीनियर कॉम्बिनेशन ऑफ ऑर्डर स्टैटिस्टिक्स का उपयोग करके वितरण का अनुमान", पृष्ठ 109:

L- क्षणों की इन व्याख्याओं का एक वैकल्पिक औचित्य Oja (1981) के काम पर आधारित हो सकता है, Oja ने वास्तविक लाइन पर एक प्रायिकता वितरण के लिए सहज ज्ञान युक्त उचित मानदंड परिभाषित किया है जो आगे दाईं ओर स्थित है (अधिक फैलाव, अधिक तिरछा, अधिक क्रम कर्टोटिक) दूसरे की तुलना में। वितरण का एक वास्तविक-मूल्यवान कार्यात्मक जो इन मानदंडों द्वारा निहित वितरण के आंशिक आदेश को संरक्षित करता है, फिर यथोचित रूप से 'स्थान का माप (फैलाव, तिरछापन, कुर्टोसिस)' कहा जा सकता है। यह ओजा के काम से तुरंत बाद में आता है कि और $\lambda_1$$\lambda_2$$\mu(F)$$\frac12 \sigma_1(F)$$\tau_3$$\tau_4$

(फिलहाल, मैं इन उपायों की परिभाषाओं के लिए कागज को संदर्भित करता हूं, वे सभी एल-मोमेंट्स पर आधारित हैं।) दिलचस्प बात यह है कि, कुर्तोसिस का पारंपरिक उपाय, चौथे क्षणों के आधार पर, कर्टोसिस का एक उपाय नहीं है। ओजा के अर्थ में! (मैं उस दावे के संदर्भ में संपादित करूंगा जब मैं इसे पा सकता हूं)।

Comments

वितरण संबंधी गुणों को समझने के लिए ग्राफिकल और अन्य तकनीकों के उपयोग के साथ कोई समस्या नहीं है, लेकिन यह कथन कि "तिरछापन और कर्टोसिस व्यावहारिक रूप से बेकार हैं" हाइपरबोले है। सभी प्रकार के सांख्यिकीय निष्कर्ष पर दोनों का बहुत प्रभाव पड़ता है।

— पीटर वेस्टफॉल

@ पेटर शायद उस बयान में "अनुभवजन्य कर्टोसिस" था।

— kjetil b halvorsen

फिर भी, अनुभवजन्य कर्टोसिस आपको बताता है कि आपको अपने डेटा में कोई समस्या है। इसलिए मुझे अभी भी लगता है कि टिप्पणी "तिरछापन और कुर्तोसिस व्यावहारिक रूप से बेकार है" हाइपरबोले है। निश्चित रूप से, वे "जनसंख्या" मापदंडों के महान अनुमान नहीं हो सकते हैं, खासकर छोटे नमूना आकारों के साथ, लेकिन "व्यावहारिक रूप से बेकार" एक खिंचाव है। भले ही वे जनसंख्या मापदंडों का विशेष रूप से अच्छी तरह से अनुमान नहीं लगाते हैं, फिर भी वे मौजूदा डेटा सेट के बारे में उपयोगी वर्णनात्मक जानकारी प्रदान करते हैं। जानकारी, जो निश्चित रूप से, qq भूखंडों जैसे ग्राफिकल विचारों द्वारा पूरक होनी चाहिए।

— पीटर वेस्टफॉल

@ पेटर वेस्टफॉल: असली क्यू शायद है अगर अनुभवजन्य कुर्तोसिस सबसे अच्छा उपाय है जिससे बाहर की समस्याओं का पता लगाया जा सके, या अगर कुछ बेहतर है?

— kjetil b halvorsen 20

अनुभवजन्य कर्टोसिस एक डेटा सेट के बाहरी चरित्र को मापता है, न कि व्यक्तिगत आउटलेर को। मैं अब तक यह नहीं कहना चाहूंगा कि कर्टोसिस = 3 (सामान्य की तरह) का अर्थ है "कोई आउटलेयर नहीं है", लेकिन मैं कहूंगा कि इस तरह के मामले का मतलब है कि बाहरी चरित्र (औसत जेड-मूल्य द्वारा मापा जाता है, प्रत्येक को चौथे में लिया जाता है। शक्ति) एक सामान्य वितरण के समान है। दूसरी ओर, एक विशाल कुर्तोसिस निश्चित रूप से एक बाहरी समस्या का संकेत देता है। हां, सामान्य क्यूक प्लॉट अधिक परिष्कृत निदान के लिए बेहतर हैं। BTW, सामान्य qq भूखंड और अतिरिक्त कुर्तोसिस का एक फर्म गणितीय संबंध है।

— पीटर वेस्टफॉल

Answer 3

मेरी राय है, स्किवनेस गुणांक शब्दों को प्रेरित करने के लिए उपयोगी है: सकारात्मक रूप से तिरछा और नकारात्मक रूप से तिरछा। लेकिन, यह वह जगह है जहां यह रुक जाता है, अगर आपका लक्ष्य सामान्यता का आकलन करना है। तिरछापन और कुर्तोसिस के शास्त्रीय उपाय अक्सर विभिन्न प्रकार के विचलन को सामान्यता से दूर करने में विफल होते हैं। मैं आमतौर पर अपने छात्रों को ग्राफिकल तकनीकों का उपयोग करने की वकालत करता हूं ताकि यह आकलन किया जा सके कि सामान्यता का मूल्यांकन करना उचित है, जैसे कि qq- प्लॉट या सामान्य संभावना प्लॉट। पर्याप्त रूप से आकार के नमूने के साथ, एक हिस्टोग्राम भी इस्तेमाल किया जा सकता है। बॉक्सप्लेट आउटलेर्स या यहां तक ​​कि भारी पूंछ की पहचान करने के लिए भी उपयोगी हैं।

यह APA की 1999 की टास्क फोर्स की सिफारिशों के साथ इनलाइन है:

“ मान लिया। आपको यह आश्वासन देने का प्रयास करना चाहिए कि विश्लेषण के लिए आवश्यक अंतर्निहित मान्यताओं को डेटा दिया गया है। अवशेषों की सावधानीपूर्वक जांच करें। अपने अवशिष्ट के रेखांकन की जांच के लिए एक विकल्प के रूप में वितरण परीक्षणों और आकार के सांख्यिकीय अनुक्रमित (जैसे, तिरछा, कुर्तोसिस) का उपयोग न करें। मॉडल फिटिंग में समस्याओं के निदान के लिए एक सांख्यिकीय परीक्षण का उपयोग करने में कई कमियां हैं। पहले, सारांश आँकड़ों के आधार पर नैदानिक ​​महत्व परीक्षण (जैसे विचरण की समरूपता के लिए परीक्षण) अक्सर अव्यावहारिक रूप से संवेदनशील होते हैं; मॉडल के हमारे सांख्यिकीय परीक्षण अक्सर मान्यताओं के हमारे सांख्यिकीय परीक्षणों से अधिक मजबूत होते हैं। दूसरा, तिरछा और कुर्तोसिस जैसे आँकड़े अक्सर अवशिष्ट में वितरण संबंधी अनियमितताओं का पता लगाने में विफल होते हैं। तीसरा, सांख्यिकीय परीक्षण नमूना आकार पर निर्भर करता है, और जैसे ही नमूना आकार बढ़ता है, परीक्षण अक्सर अहानिकर मान्यताओं को अस्वीकार कर देंगे। सामान्य तौर पर, मान्यताओं के चित्रमय विश्लेषण के लिए कोई विकल्प नहीं है।"

संदर्भ: सांख्यिकीय निष्कर्ष पर विल्किंसन, एल।, और टास्क फोर्स। (1999)। मनोविज्ञान पत्रिकाओं में सांख्यिकीय तरीके: दिशानिर्देश और स्पष्टीकरण। अमेरिकी मनोवैज्ञानिक, 54, 594-604।

Answer 4

पाठ्यक्रम कैसे लागू किया जाता है इसके आधार पर, अनुमानों की सटीकता का सवाल उठ सकता है। विचरण अनुमान की सटीकता कर्टोसिस पर दृढ़ता से निर्भर करती है। ऐसा होने का कारण यह है कि उच्च कर्टोसिस के साथ, वितरण दुर्लभ, अत्यधिक संभावित अवलोकन डेटा की अनुमति देता है। इस प्रकार डेटा-जनरेटिंग प्रक्रिया कुछ नमूनों में बहुत चरम मान उत्पन्न करेगी, और दूसरों में इतना चरम मूल्य नहीं होगा। पूर्व मामले में, आपको एक बहुत बड़ा विचरण अनुमान मिलता है, और बाद में, एक छोटा विचरण अनुमान।

यदि पुरानी और गलत "शिखरता" व्याख्या को समाप्त कर दिया गया था, और इसके बजाय आउटलेर्स (यानी, दुर्लभ, चरम वेधशालाओं) पर पूरी तरह से ध्यान दिया गया है, तो परिचयात्मक पाठ्यक्रमों में कुर्तोसिस सिखाना आसान होगा। लेकिन लोग खुद को "चरमता" का औचित्य साबित करने के लिए समुद्री मील में घुमाते हैं क्योंकि यह (गलत तरीके से) अपनी पाठ्यपुस्तकों में उस तरह से कहा गया है, और वे कर्टोसिस के वास्तविक अनुप्रयोगों को याद करते हैं। ये अनुप्रयोग ज्यादातर आउटलेयर से संबंधित हैं, और निश्चित रूप से आउटलेर्स अनुप्रयुक्त सांख्यिकी पाठ्यक्रमों में महत्वपूर्ण हैं।

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क्या आप वही पीटर वेस्टफॉल हैं जो इस धागे में सबसे उत्कीर्ण उत्तर के लेखक हैं? यदि हां, तो आप अपने प्रोफाइल को एक साथ मिला सकते हैं और फिर दूसरे उत्तर को पोस्ट करने के बजाय सीधे अपने पुराने उत्तर को संपादित कर सकते हैं।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

हां, नेटिकेट गायब होने पर खेद है।

— पीटर वेस्टफॉल

Answer 5

$$\operatorname{Kurt}[X] = \operatorname{E}\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^4\right] = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \frac{\operatorname{E}[(X-\mu)^4]}{(\operatorname{E}[(X-\mu)^2])^2},$$

आप उम्मीद आधारित ऑपरेटर को योग आधारित अनुमानकर्ताओं बदल सकते हैं$\frac 1 n \sum_{i=1}^n$$\mu,\sigma^2,\mu_4$$\mu$$\sigma^2$$\ne$

Comments

समस्या यह है कि, एक बार जब आप कुर्तोसिस प्राप्त करते हैं, तो यह बहुत ही अनपेक्षित है कि क्या (यदि कुछ भी) इसका मतलब है। यह वितरण के उपयोगी गुणों से मेल नहीं खाता है।

— पीटर Flom - को पुनः स्थापित मोनिका

हां, कर्टोसिस एक वितरण की बहुत उपयोगी गुणवत्ता के साथ मेल खाता है - यह टेलवेट (आउटलेयर) का एक उपाय है। गणितीय प्रमेयों का समर्थन करना, जिसके लिए कोई प्रतिपक्ष नहीं है: (i) कुर्तोसिस E (Z ^ * * I (! Z |> 1)) और E (Z ^ 4 * I (! | Z |> 1)) + 1 के बीच है। , सभी वितरणों के लिए परिमित 4 वें पल। (ii) निरंतर वितरण के उपवर्ग के लिए जहां Z ^ 2 का घनत्व (0,1) पर घट रहा है, कर्टोसिस E (Z ^ 4 * I (! Z |> 1)) और E (Z ^ 4 * के बीच है) I (| Z |> 1)) + .5, और (iii) किसी भी क्रम के वितरण के लिए कुपोषण के साथ अनन्तता के लिए प्रवृत्त, E (Z ^ 4 * I (| Z |> b)) / kurtosis -> 1, के लिए हर असली बी।

— पीटर वेस्टफॉल