संदर्भ: उलटा सीएफडी की पूंछ

मुझे लगभग यकीन है कि मैंने पहले ही आँकड़ों में निम्न परिणाम देखा है, लेकिन मुझे याद नहीं है कि मैं कहाँ हूँ।

यदि एक धनात्मक यादृच्छिक चर और तो जब , जहाँ है cdf । $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

यह ज्यामितीय रूप से का उपयोग करके और एकीकृत के वक्र के तहत क्षेत्र के पर क्षैतिज कटौती पर विचार करके आसान है । $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

क्या आप इस परिणाम के लिए एक संदर्भ जानते हैं और क्या इसका कोई नाम है?

— स्टीफन लॉरेंट
स्रोत

"अधिक सामान्यतः" भागों द्वारा एकीकरण का एक सीधा आवेदन है। उस कमी को एक संदर्भ की जरूरत है!

— whuber

@ जब भी मैं पहले परिणाम के बारे में एक संदर्भ के लिए पूछ रहा हूँ।

— स्टीफन लॉरेंट

आपने इसे जरूर देखा होगा, या कम से कम कुछ इसे बहुत पसंद किया जा सकता है, आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 18438 पर । यह परिणाम अभिन्न में एक प्रतिस्थापन के कारण है, जो फिर से इतना बुनियादी है कि यह उम्मीद नहीं करेगा कि इसे साहित्य में विशेष रूप से नोट किया गया है या कुछ विशेष नाम दिया गया है।

— whuber

@ जब भी मुझे आपके लिंक में दिखाई नहीं देता । इसके अलावा परिणाम मैं उल्लेख असतत भी सच है ( एक अनुक्रम लेने के लिए और अधिक सामान्य बयान में साथ जगह )। पहला परिणाम एक सामान्य लिए भी सही है , मुझे लगता है।

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— स्टीफन लॉरेंट

मेरा मानना है कि इसका उपयोग बिना किसी संदर्भ के किया जा सकता है बशर्ते इसे अधिक शास्त्रीय शब्दों में कहा गया हो। मोटे तौर पर, यह है:

के लिए

साथ

, का एक सीधा परिणाम:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

और वर्चस्व के अभिसरण। सामान्य मामले में जहां

चरण हो सकते हैं, उनकेलिए (बाएं निरंतर) उलटे

लिए विवरण प्राप्त करने के लिए थोड़ा काम करने की आवश्यकता होती है।

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— यवेस

टिप्पणी में यवेस द्वारा सुझाए गए "छोटे काम" को संभालने के लिए, ज्यामिति एक कठोर और पूरी तरह से सामान्य प्रमाण का सुझाव देती है।

यदि आप चाहें, तो आप सभी संदर्भों को अभिन्न क्षेत्रों द्वारा प्रतिस्थापित कर सकते हैं और सामान्य एप्सिलॉन-विलंबित तर्कों द्वारा "मनमाना" संदर्भ दे सकते हैं। अनुवाद आसान है।

चित्र को सेट करने के लिए, को उत्तरजीविता फ़ंक्शन होने दें $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

आकृति का एक भाग प्लॉट करती है । (। सूचना ग्राफ में कूद: इस विशेष वितरण लगातार नहीं है) एक बड़ी सीमा दिखाया गया है और एक छोटे से संभावना चयनित किया गया है (ताकि )। $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

हम जाने के लिए तैयार: मूल्य हम रुचि में, (एक हम शून्य करने के लिए और converges दिखाना चाहते हैं), सफेद के क्षेत्र है ऊंचाई के साथ आयत और आधार से करने के लिए । आइए इस क्षेत्र को की अपेक्षा से संबंधित करें , क्योंकि हमारे पास एकमात्र धारणा यह है कि यह अपेक्षा मौजूद है और परिमित है। $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

सकारात्मक भाग उम्मीद की (से अस्तित्व वक्र के तहत क्षेत्र है को ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

इ_{एफ} (एक्स) = इ_{+} - इ_{-} = \int_{0}^{\infty} जी (एक्स) घ एक्स - \int_{- \infty}^{0} एफ (एक्स) घ एक्स ।

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

क्योंकि परिमित होना चाहिए (अन्यथा उम्मीद ही मौजूद हैं और परिमित नहीं होगा के लिए), हम ले सकते हैं इतनी बड़ी है कि के तहत क्षेत्र के बीच और सभी के लिए खातों, या लगभग सभी, के । $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

सभी टुकड़े जगह में अब कर रहे हैं: का ग्राफ , सीमा , छोटे ऊंचाई , और दाएँ हाथ के अंत बिंदु के विच्छेदन का सुझाव क्षेत्रों हम विश्लेषण कर सके: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

के रूप में ऊपर से शून्य करने के लिए चला जाता है, आधार के साथ सफेद आयत का क्षेत्रफल सिकुड़ती शून्य करने के लिए है, क्योंकि लगातार बनी हुई है। ( यही कारण है कि पेश किया गया था; यह इस प्रदर्शन के लिए महत्वपूर्ण विचार है। ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
नीले क्षेत्र के करीब के रूप में बनाया जा सकता है , के रूप में आप की तरह हो सकता है एक उपयुक्त बड़े से प्रारंभ करते हुए और फिर छोटे चुनने । $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
नतीजतन, क्षेत्र में छोड़ दिया - जो स्पष्ट रूप से से आधार के साथ सफेद आयत से अधिक नहीं है करने के लिए मनमाने ढंग से छोटे बनाया जा --can। (दूसरे शब्दों में, बस लाल और सोने के क्षेत्रों की उपेक्षा करें।) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

हम जिससे हड्डी टूट गई है दो टुकड़े जिसका क्षेत्रों शून्य करने के लिए दोनों एकाग्र में। $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ इस प्रकार, , QED। $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— व्हीबर
स्रोत