मंझला एक "मीट्रिक" या एक "सामयिक" संपत्ति है?

Question

मैं शब्दावली के मामूली दुरुपयोग के लिए माफी माँगता हूँ; मुझे उम्मीद है कि यह स्पष्ट हो जाएगा कि मेरा क्या मतलब है।

एक यादृच्छिक चर पर विचार करें । माध्य और माध्यिका दोनों को एक इष्टतमता मानदंड द्वारा विशेषता दी जा सकती है: माध्य वह संख्या जो , और मध्यिका वह संख्या जो । इस परिप्रेक्ष्य में, माध्य और माध्य के बीच का अंतर विचलन, वर्ग या निरपेक्ष मान के मूल्यांकन के लिए "मीट्रिक" का विकल्प है।$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

दूसरी ओर, माध्यिका वह संख्या है जिसके लिए (पूर्ण निरंतरता मानकर), अर्थात यह परिभाषा केवल मानों को आदेश देने की क्षमता पर निर्भर करती है और स्वतंत्र है वे कितने अलग हैं। इसका एक परिणाम यह है कि प्रत्येक सख्ती से बढ़ते फ़ंक्शन , , का अर्थ है कि यह "टोपोलॉजिकल" है। "रबर की तरह" परिवर्तनों के तहत invariance।$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

अब मैंने गणित कर लिया है और मुझे पता है कि मानदंड से शुरू होकर मैं -quantile पर आ सकता हूं, इसलिए दोनों एक ही बात का वर्णन करते हैं। लेकिन फिर भी मैं भ्रमित हूं, क्योंकि मेरा अंतर्ज्ञान मुझे बताता है कि एक "मीट्रिक" पर निर्भर होने वाली चीज "सामयिक" संपत्ति का कारण नहीं बन सकती है।$\frac12$

क्या कोई मेरे लिए इस पहेली को हल कर सकता है?

Comments

अच्छा शीर्षक! :-)

— लुइस मेंडो

Answer 1

आपके तर्क में दोष यह है कि कुछ ऐसा जो मीट्रिक पर निर्भर करता है, एक सामयिक संपत्ति नहीं हो सकता है।

मीट्रिक रिक्त स्थान की कॉम्पैक्टीनेस लें। इसे मीट्रिक के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है: कॉम्पैक्टनेस का अर्थ है कि अंतरिक्ष पूर्ण है (मीट्रिक पर निर्भर करता है) और पूरी तरह से बाउंड (मीट्रिक पर निर्भर करता है)। हालांकि, यह पता चला है कि यह संपत्ति होमियोमॉर्फिज़्म के तहत एक अपरिवर्तनीय है, और वास्तव में, केवल टोपोलॉजी (किसी भी कवर के परिमित उप कवर, सामान्य तरीके) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

एक अन्य उदाहरण विभिन्न गृहविज्ञान सिद्धांत हैं। केवल एकवचन समरूपता वास्तव में अपनी परिभाषा में सामयिक है। अन्य सभी, सरल, सेलुलर, डी राम (सह-विज्ञान, लेकिन मुझे थोड़ा ढीलापन देते हैं), आदि, अतिरिक्त संरचना पर निर्भर करते हैं, लेकिन समतुल्य होने के लिए बाहर बारी (और साथ काम करना थोड़ा आसान है)।

यह गणित में बहुत ऊपर आता है, कभी-कभी कुछ को परिभाषित करने का सबसे आसान तरीका कुछ सहायक संरचना के संदर्भ में होता है, और फिर यह प्रदर्शित किया जाता है कि परिणामी इकाई वास्तव में सहायक संरचना की पसंद पर निर्भर नहीं करती है।

Comments

जवाब के लिए धन्यवाद! ऐसा प्रतीत होता है कि आप मेरी शब्दावली को अधिक गंभीरता से ले रहे हैं जितना मैंने सोचा था। मुझे यह स्वीकार करना होगा कि मेरे पास केवल टोपोलॉजिकल और मीट्रिक रिक्त स्थान का सबसे बुनियादी ज्ञान है, इसलिए यह एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न हो सकता है: मैं समझता हूं कि सहायक संरचना का उपयोग करना जीवन को आसान बनाता है हालांकि यह कड़ाई से आवश्यक नहीं है - ठीक है, शायद यह मामला है यहाँ भी।

— ए। डोंडा

लेकिन आप यह भी कहते हैं कि "परिणामस्वरूप निकाय वास्तव में सहायक संरचना की पसंद पर निर्भर नहीं करता है"। क्या मैं सही ढंग से समझता हूं कि एक ही समान टोपोलॉजी में आने के लिए विभिन्न सहायक संरचनाओं का उपयोग किया जा सकता है? यदि हाँ, तो यहाँ उपमा टूट जाती है, क्योंकि "वर्गाकार मीट्रिक" का उपयोग करते हुए मैं माध्यिका में नहीं पहुँचता, लेकिन इस बीच, जो कि मोनोटोनिक परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है।

— ए। डोंडा

अच्छी बात। मुझे लगता है कि मैं जो कह रहा हूं, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि जब किसी संरचना के संदर्भ में कुछ परिभाषित किया जा सकता है तो यह कमजोर संरचना के संदर्भ में निश्चित हो सकता है - और अक्सर जब ऐसा होता है तो आपको एक उपयोगी अवधारणा मिल गई है! आपके मामले में, आप अंकगणित और वास्तविक संख्याओं के एकीकरण के संदर्भ में माध्यिका को परिभाषित कर सकते हैं, जो बहुत सारी संरचना है, लेकिन वास्तव में, एक परिभाषा है जो क्रमबद्धता, एक कमजोर संरचना के लिए अंकगणित को ट्रेड करती है। मेरे मामले सबसे अधिक चरम पर थे, जहां कमजोर संरचना बिल्कुल भी नहीं है।

— मैथ्यू ड्र्यू

और दूसरी बात। आप कह सकते हैं कि कारण है कि monotonic परिवर्तनों मंझला की रक्षा है क्योंकि उन्हें संरचना के संदर्भ जिसके लिए monotonic परिवर्तनों हैं में परिभाषित करने के लिए एक तरीका है वहाँ morphisms । मोर्फिज़्म एक सामान्य अमूर्त बकवास शब्द है जिसका अर्थ है ऐसा कार्य जो किसी संरचना को संरक्षित करता है ।

— मैथ्यू ड्र्यू

ठीक है, मुझे सामान्य बिंदु मिलता है। लेकिन मुझे अभी भी लग रहा है कि कुछ अस्पष्ट है, विशेष रूप से ऊपर बताई गई बात। मैंने उत्थान किया, लेकिन इस कारण से मैं आपके उत्तर को स्वीकार नहीं करूंगा - हो सकता है कि कोई व्यक्ति कुछ अतिरिक्त जानकारी के साथ आए। एक बार फिर धन्यवाद!

— ए। डोंडा