एक 6 पक्षीय मरने की कुल जब तक रोल

Question

यहाँ सवाल है:

आप एक निष्पक्ष 6-पक्षीय पासा को तब तक रोल करते हैं जब तक कि पासा रोल का योग M से अधिक या बराबर नहीं हो जाता है। M = 300 होने पर ऋण शून्य M का माध्य और मानक विचलन क्या है?

क्या मुझे इस तरह के सवालों का जवाब देने के लिए एक कोड लिखना चाहिए?

कृपया मुझे उस पर कुछ संकेत दें। धन्यवाद!

Comments

कृपया [self-study]टैग जोड़ें और इसकी विकी पढ़ें । फिर हमें बताएं कि इस प्रकार आप क्या समझ रहे हैं, आपने क्या प्रयास किया है और आप कहां फंस गए हैं। हम आपको बिना रुके मदद करने के लिए संकेत प्रदान करेंगे।

— गंग -

मुझे संदेह है कि को "बहुत बड़े " के रूप में पढ़ा जा सकता है क्योंकि मेरा मानना ​​है कि या लगभग एक ही परिणाम देगा। मैं क्या करूँगा, जो कि ऋण शून्य का वितरण है । एम एम = 301 एम = 999 $M=300$$M$$M=301$$M=999$$M$

— हेनरी

Answer 1

आप निश्चित रूप से कोड का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन मैं अनुकरण नहीं करूंगा।

मैं "माइनस एम" भाग को अनदेखा करने जा रहा हूं (आप अंत में आसानी से ऐसा कर सकते हैं)।

आप पुनरावर्ती संभावनाओं की गणना बहुत आसानी से कर सकते हैं, लेकिन वास्तविक उत्तर (सटीकता के बहुत उच्च स्तर पर) को सरल अध्ययन से गणना की जा सकती है।

रोल । चलो एस टी = Σ टी मैं = 1 एक्स मैं ।$X_1, X_2, ...$$S_t=\sum_{i=1}^t X_i$

चलो छोटी से छोटी सूचकांक जहां होना एस τ ≥ एम ।$\tau$$S_\tau\geq M$

$P(S_\tau=M)=P(\text{got to }M-6\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }6) \\\qquad\qquad\qquad+ P(\text{got to }M-5\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }5)\\\qquad\qquad\qquad +\:\: \vdots\\\qquad\qquad\qquad+\:P(\text{got to }M-1\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }1)\\ \qquad\qquad\quad=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^6 P(S_{\tau-1}=M-j)$

उसी प्रकार

$P(S_\tau=M+1)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^5 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+2)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^4 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+3)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^3 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+4)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^2 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+5)=\frac{1}{6} P(S_{\tau-1}=M-1)$

ऊपर दिए गए पहले के समान समीकरण तब तक (कम से कम सिद्धांत रूप में) तब तक वापस चलाए जा सकते हैं जब तक कि आप प्रारंभिक स्थितियों और संभावित संभावनाओं के बीच एक बीजगणितीय संबंध प्राप्त करने के लिए किसी भी तरह की हिट न करें (जो कि थकाऊ होगा और विशेष रूप से ज्ञानवर्धक नहीं होगा) , या आप संबंधित आगे के समीकरणों का निर्माण कर सकते हैं और उन्हें प्रारंभिक स्थितियों से आगे चला सकते हैं, जो कि संख्यात्मक रूप से करना आसान है (और यह है कि मैंने अपना उत्तर कैसे चेक किया है)। हालाँकि, हम वह सब टाल सकते हैं।

अंकों की संभाव्यता पिछली संभावनाओं का भारित औसत चल रही है; ये (ज्यामितीय रूप से जल्दी) प्रारंभिक वितरण से संभाव्यता में किसी भी भिन्नता को सुचारू कर देंगे (हमारी समस्या के मामले में बिंदु शून्य पर सभी संभावना)।

एक सन्निकटन (एक बहुत ही सटीक एक) करने के लिए हम कह सकते हैं कि के लिए एम - 1 लगभग समान समय में संभावित होना चाहिए τ - 1 (वास्तव में यह के पास), और इसलिए हम इसके बाद के संस्करण है कि संभावनाओं होगा लिख सकते हैं से सरल अनुपात में होने के बहुत करीब हो, और चूंकि उन्हें सामान्यीकृत किया जाना चाहिए, हम सिर्फ संभावनाओं को लिख सकते हैं।$M-6$$M-1$$\tau-1$

कौन सा कहने के लिए है, हम यह है कि अगर से शुरू की संभावनाओं को देख सकते हैं के लिए एम - 1 वास्तव में बराबर थे, वहाँ के लिए हो रही के 6 समान रूप से होने की संभावना तरीके हैं एम के लिए हो रही है, 5 एम + 1 इतना करने के लिए नीचे पर, और M + 5 तक पहुंचने का 1 रास्ता ।$M-6$$M-1$$M$$M+1$$M+5$

यही है, संभावनाएं 6: 5: 4: 3: 2: 1 और 1 के अनुपात में हैं, इसलिए वे नीचे लिखने के लिए तुच्छ हैं।

शून्य से आगे संभावना recursions चलाकर वास्तव में यह कम्प्यूटिंग (अप त्रुटियों बंद संख्यात्मक दौर संचित करने के लिए) (मैं इसे आर में किया था) के आदेश पर मतभेद देता है .Machine$double.eps( जो कहने के लिए है ऊपर सन्निकटन से मेरी मशीन पर) (सरल, उपरोक्त पंक्तियों के साथ तर्क करना प्रभावी रूप से सटीक उत्तर देता है, क्योंकि वे पुनरावृत्ति से गणना किए गए उत्तरों के करीब हैं क्योंकि हम उम्मीद करेंगे कि सटीक उत्तर होने चाहिए)।$\approx$2.22e-16

इसके लिए मेरा कोड यहाँ है (इसमें से अधिकांश केवल चर को इनिशियलाइज़ कर रहे हैं, काम एक लाइन में है)। पहले रोल के बाद कोड शुरू होता है (मुझे सेल 0 में डालने से बचाने के लिए, जो आर में निपटने के लिए एक छोटा उपद्रव है); प्रत्येक चरण में यह सबसे कम सेल लेता है जिस पर कब्जा किया जा सकता है और डाई रोल द्वारा आगे बढ़ सकता है (अगले 6 कोशिकाओं पर उस सेल की संभावना को फैलाता है):

 p = array(data = 0, dim = 305)
 d6 = rep(1/6,6)
 i6 = 1:6
 p[i6] = d6
 for (i in 1:299) p[i+i6] = p[i+i6] + p[i]*d6

(हम इसे अधिक कुशलता rollapplyसे zooकरने के लिए (से ) का उपयोग कर सकते हैं - या ऐसे अन्य कार्यों की संख्या - लेकिन अगर मैं स्पष्ट रखूं तो अनुवाद करना आसान होगा)

ध्यान दें कि d61 से 6 से अधिक असतत संभाव्यता फ़ंक्शन है, इसलिए अंतिम पंक्ति में लूप के अंदर कोड पहले के मानों के भारित औसत का निर्माण कर रहा है। यह ऐसा रिश्ता है जो संभावनाओं को सुचारू बनाता है (पिछले कुछ मूल्यों तक जब तक हम रुचि रखते हैं)।

तो यहां पहले 50-विषम मूल्य (पहले 25 मान हलकों के साथ चिह्नित) हैं। प्रत्येक पर, y- अक्ष पर मान इस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि हम इसे अगले 6 कोशिकाओं में आगे रोल करने से पहले hindmost सेल में संचित करते हैं।$t$

जैसा कि आप देखते हैं कि यह आसानी से समाप्त हो जाता है ( , प्रत्येक डाई रोल के चरणों की संख्या के माध्य का पारस्परिक रूप से) आप बहुत जल्दी और स्थिर रहते हैं।$1/\mu$

और एक बार जब हम से टकराते हैं, तो वे संभावनाएँ दूर हो जाती हैं (क्योंकि हम M के मानों के लिए संभाव्यता नहीं डाल रहे हैं और आगे से आगे हैं)$M$$M$

तो यह विचार कि से एम - 6 पर मान समान रूप से होने चाहिए क्योंकि प्रारंभिक स्थितियों से उतार-चढ़ाव को सुचारू रूप से प्राप्त किया जाएगा, यह स्पष्ट रूप से मामला है।$M-1$$M-6$

चूँकि तर्क कुछ भी निर्भर नहीं करता है, लेकिन वह काफी बड़ा होता है, जो प्रारंभिक स्थितियाँ धोता है, ताकि M - 1 से M - 6 लगभग समान रूप से संभावित हो depend - 1 , वितरण अनिवार्य रूप से किसी भी बड़े के लिए समान होगा एम , जैसा कि हेनरी ने टिप्पणियों में सुझाव दिया था।$M$$M-1$$M-6$$\tau-1$$M$

रेट्रोस्पेक्ट में, हेनरी के संकेत (जो आपके प्रश्न में भी है) के साथ काम करने के लिए माइनस एम थोड़ा प्रयास बचा होगा, लेकिन तर्क बहुत समान लाइनों का पालन करेगा। आप को दे सकते हैं और R 0 से संबंधित समान समीकरणों को पूर्ववर्ती मानों और इसी तरह लिख सकते हैं ।$R_t=S_t-M$$R_0$

प्रायिकता वितरण से, संभावनाओं का माध्य और विचरण सरल है।

संपादित करें: मुझे लगता है कि मुझे अंतिम स्थिति माइनस के एसिम्प्टोटिक माध्य और मानक विचलन देना चाहिए :$M$

स्पर्शोन्मुख माध्य 5 से अधिक है और मानक विचलन2$\frac{5}{3}$ । परएम=300इस से आप की संभावना हो के बारे में परवाह करने के लिए एक बहुत बड़ी हद तक सटीक है।$\frac{2\sqrt 5}{3}$$M=300$

Comments

+1 मैं इस उत्तर को पूरी तरह से समझ नहीं पाया था जब तक कि मैंने अपना खुद का विकास नहीं किया था, जो अब बहुत ही शानदार प्रतीत होता है। शायद कुछ पाठकों को चित्रण और सिमुलेशन परिणामों में मूल्य दिखाई देंगे, इसलिए मैं अपना उत्तर खुला रखूंगा।

— whuber

@whuber मेरा उत्तर मेरे द्वारा पसंद किए जाने से बहुत कम ठोस है क्योंकि मैं इस धारणा के तहत काम कर रहा था कि यह होमवर्क था (इसलिए मैंने व्युत्पत्ति के बहुत अधिक करने या किसी भी कोड को देने से परहेज किया - यह एक रूपरेखा के रूप में अधिक इरादा था)। मुझे इस समस्या पर स्पष्ट रूप से उत्तर लिखने में मुश्किल हुई (यह वह है जहां संक्षिप्तता सामान्य से अधिक मदद करती है)। चूँकि आपने एक उत्तर दिया है जिसमें वास्तविक संख्याएँ और कोड हैं (जो उत्तर मुझे लगता है कि निश्चित रूप से रहना चाहिए) मुझे ऐसा लगता है कि मैं कुछ ऐसे काम कर सकता हूँ जो उम्मीद है कि मेरे उत्तर को समझने में आसान हो जाएगा (अधिक स्पष्ट होना, अपना कोड देना) ।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मैंने इस तरह की समस्या के बारे में कुछ साल पहले कहीं बेहतर व्याख्या लिखी थी। अगर मुझे याद है / यह पता लगाना कि मैं कैसे गया, तो मैं इसमें से कुछ को शामिल करने की कोशिश करूँगा।

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b ने समीकरणों को थोड़ा समझा। मैं एक नौसिखिया हूँ। इस तरह से सोचना कैसे शुरू करें? क्या आपके पास इस तरह के उद्देश्य के लिए कोई किताब है? आपका उत्तर बहुत मददगार होगा।

— सामान्य संदिग्ध

सामान्य संदेह - मैंने लंबे ट्रैक की तरह एक गेम बोर्ड की कल्पना करके समीकरणों को लिखा है और "क्या तरीके हैं जो मुझे इस स्थान पर मिल सकते हैं जो समस्या में परिस्थितियों को फिट करता है, और किन अवसरों के साथ?" मैंने इसे "एम" नामक स्थान के लिए किया था, फिर इसके बाद के स्थान के लिए, और इसी तरह। मैंने स्टार्ट सेल के पास होने की कल्पना करके और "अगर मैं यहां था, तो क्या मैं आगे रहूंगा, किस मौके के साथ?" समीकरण सभी उन सवालों के जवाब हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 2

$\Omega$$0$$n$$E_n$$n$

$$E_n = \{\omega\in\Omega\,|\, n \in \omega\}.$$

$X_M(\omega)$$\omega$$M$$X_M-M$$X_M$

$X_M(\omega) - M \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$X_M - M = k$$\omega$$p(i) = 1/6$$i$$i=1, 2, 3, 4, 5, 6$

$$\Pr(X_M - M = k) = \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}).$$

$M$

$$\Pr(E_i) \approx 2/7.$$ $(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2$$\omega$

$E_i$$E_{i-1}$$1$$E_{i-2}$$2$$E_{i-6}$$6$

$$\Pr(E_i) = \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}).$$

इस क्रम के प्रारंभिक मूल्य हैं

$$\Pr(E_0) = 1;\quad \Pr(E_{-i}) = 0, i = 1, 2, 3, \ldots .$$

$\Pr(E_i)$$i$$2/7$

$\Pr(E_i)$$i^\text{th}$

$$x^6 - p(1) x^5 - p(2) x^4 - p(3) x^3 \cdots - p(6) = x^6 - (x^5 + x^4+x^3+x^2+x+1)/6.$$

$\exp(-0.314368)$$\exp(-36.05)$$i \gg -36.05 / -0.314368 = 115$$2/7$

$M = 300 \gg 115$, for all practical purposes we may take $E_{M+k-j} = 2/7$, whence

$$\Pr(X_M - M = (0,1,2,3,4,5)) = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{1}{6}\right)(6,5,4,3,2,1).$$

इस वितरण के माध्य और विचरण की गणना करना सीधा और आसान है।

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Rइन निष्कर्षों की पुष्टि करने के लिए यहां एक सिमुलेशन है। यह लगभग 100,000 दृश्यों को उत्पन्न करता है$M+5 = 305$, के मूल्यों को सारणीबद्ध करता है $X_{300} - 300$, और लागू होता है $\chi^2$यह आकलन करने के लिए परीक्षण करें कि परिणाम पूर्वगामी के अनुरूप हैं या नहीं। पी-मूल्य (इस मामले में) का$0.1367$ यह इंगित करने के लिए पर्याप्त है कि वे सुसंगत हैं।

M <- 300
n.iter <- 1e5
set.seed(17)
n <- ceiling((2/7) * (M + 3*sqrt(M)))
dice <- matrix(ceiling(6*runif(n*n.iter)), n, n.iter)
omega <- apply(dice, 2, cumsum)
omega <- omega[, apply(omega, 2, max) >= M+5]
omega[omega < M] <- NA
x <- apply(omega, 2, min, na.rm=TRUE)
count <- tabulate(x)[0:5+M]
(cbind(count, expected=round((2/7) * (6:1)/6 * length(x), 1)))
chisq.test(count, p=(2/7) * (6:1)/6)