कोहेन के स्टेटिस्टिक का भिन्न

Question

कोहेन की सबसे आम तरीकों में से एक है जिसे हम एक प्रभाव के आकार को मापते हैं ( देखें विकिपीडिया )। यह केवल मानक मानक विचलन के संदर्भ में दो साधनों के बीच की दूरी को मापता है। हम कोहेन के अनुमान के गणितीय सूत्र को कैसे प्राप्त कर सकते हैं ? $d$$d$

दिसंबर 2015 संपादित करें: इस प्रश्न से संबंधित आसपास आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने का विचार है । यह लेख बताता है कि$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

जहाँ दो नमूने आकारों का योग है और दो नमूना आकारों का उत्पाद है।$n_{+}$$n_{\times}$

यह सूत्र कैसे प्राप्त होता है?

Comments

@ कल्लिनेटिस्ट: किसी अन्य व्यक्ति के प्रश्न को संपादित करने के लिए कुछ पदार्थ और अधिक प्रश्नों को संपादित करने के लिए यह कुछ हद तक विवादास्पद है (जैसा कि शब्दों में सुधार करने का विरोध किया गया है)। मैंने आपके संपादन को स्वीकृत करने के लिए स्वतंत्रता ली (यह देखते हुए कि आपने एक उदार इनाम रखा है और मुझे लगता है कि आपका संपादन प्रश्न को बेहतर बनाता है), लेकिन अन्य लोग वापस रोल करने का निर्णय ले सकते हैं।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@amoeba कोई समस्या नहीं। जब तक सूत्र (जो पहले नहीं था) और यह स्पष्ट है कि हम सूत्र के गणितीय व्युत्पत्ति की तलाश कर रहे हैं, यह ठीक है। $\sigma^2_d$

— क्लैरिनेटिस्ट

मुझे लगता है कि दूसरे अंश का भाजक होना चाहिए । नीचे मेरा जवाब देखें। $2(n_{+}-2)$

Answer 1

ध्यान दें कि प्रश्न में विचरण अभिव्यक्ति एक सन्निकटन है। हेजेज (1981) ने एक सामान्य सेटिंग (यानी कई प्रयोगों / अध्ययनों) में और सन्निकटन के बड़े नमूने के विचलन को व्युत्पन्न किया , और मेरा उत्तर कागज में व्युत्पत्तियों के माध्यम से बहुत चलता है।$d$

सबसे पहले, जिन मान्यताओं का हम उपयोग करेंगे वे निम्नलिखित हैं:

मान लेते हैं कि हमारे पास दो स्वतंत्र उपचार समूह हैं, (उपचार) और (नियंत्रण)। चलो और स्कोर / प्रतिक्रियाओं / विषय से जो कुछ भी हो समूह में और इस विषय समूह में , क्रमशः।सी वाई टी आई वाई सी जे आई टी जे $T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

हम मानते हैं कि प्रतिक्रियाएं आम तौर पर वितरित की जाती हैं और उपचार और नियंत्रण समूह एक साझा विचरण करते हैं, अर्थात

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

प्रत्येक अध्ययन में अनुमान लगाने के लिए हम जिस प्रभाव का आकार चाहते हैं, वह है । हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रभाव के आकार का अनुमानक जहां समूह लिए निष्पक्ष नमूना विचरण है । घ= ˉ वाई टी- ˉ वाई$\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$ S2k

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

आइए के बड़े-नमूना गुणों पर विचार करें । $d$

सबसे पहले, ध्यान दें कि: और (मेरी संकेतन के साथ ढीला): और

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

समीकरण (1) और (2) इस तथ्य की ओर ले जाते हैं कि (फिर से, मेरी संकेतन के साथ ढीली हो रही है):

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

अब, कुछ चतुर बीजगणित: जहां

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ $\theta \sim N(0,1)$, , और । इस प्रकार, है बार एक चर जिसके साथ एक गैर केंद्रीय टी वितरण इस प्रकार स्वतंत्रता और गैर केन्द्रीयता के पैरामीटर की डिग्री ।$V \sim \chi^2_{\nu}$$\nu = n_T+n_C-2$$d$$\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$$n_T + n_C - 2$$\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$

गैर-केंद्रीय वितरण$t$ के क्षण गुणों का उपयोग करते हुए , यह निम्नानुसार है: जहां

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

तो समीकरण (3) सटीक बड़े नमूना विचरण प्रदान करता है। ध्यान दें कि के लिए एक निष्पक्ष आकलनकर्ता है विचरण के साथ,:$\delta$$b d$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

स्वतंत्रता की बड़ी डिग्री के लिए (यानी बड़े ), एक गैर केंद्रीय के विचरण के साथ variate स्वतंत्रता और गैर केन्द्रीयता पैरामीटर की डिग्री इसका अनुमान लगाया जा सकता है ( जॉनसन, कोट्ज़, बालाकृष्णन, 1995 )। इस प्रकार, हमारे पास: $n_T+n_C-2$$t$$\nu$$p$$1 + \frac{p^2}{2\nu}$

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

लिए हमारे अनुमानक में प्लग करें और हम कर रहे हैं।$\delta$

Comments

बहुत, बहुत अच्छी व्युत्पत्ति। बस कुछ प्रश्न: 1) क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि नोटेशन अर्थ है (मुझे पता है कि यह अंतर के साथ कुछ करना है नमूना का मतलब है, लेकिन वे दोनों एक ही सूचकांक कैसे हो सकता है?)। 2) क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि कैसे लिए सन्निकटन किया जाता है (मुझे सभी विवरणों की आवश्यकता नहीं है, एक स्रोत ठीक है और शायद एक संक्षिप्त विवरण है)? अन्यथा, मैं इससे काफी प्रसन्न हूं। (+1) यह उस अवलोकन से भी सहमत है जो मैंने किया है कि एक सामान्य वितरण का पालन नहीं करता है, ओपी में लिंक किए गए लेख में स्पष्टीकरण के विपरीत है। ख$\bar{Y}^{T}_{i} - \bar{Y}^{C}_{i}$$b$$d$

— क्लैरिनेटिस्ट

@ कल्लिनेटिस्ट धन्यवाद! 1) उनके पास एक ही सूचकांक कैसे हो सकता है? टाइपो, यह कैसे है! : P वे उत्तर के मेरे पहले मसौदे की एक कलाकृति हैं। मैं ठीक कर दूँगा। 2) मैंने हेजेज पेपर से इसे खींचा - फिलहाल इसकी व्युत्पत्ति नहीं जानता, लेकिन इसके बारे में कुछ और सोचूंगा।

मैं व्युत्पत्ति में अब देख रहा हूँ, लेकिन FYI करें, का अंश होना चाहिए । Γ ( एन टी + एन सी - $b$$\Gamma\left(\dfrac{n_T+n_C-2}{2}\right)$

— शहनाई

संदर्भ के लिए प्रदान की गई व्युत्पत्ति: math.stackexchange.com/questions/1564587/… । पता चला है कि एक संकेत त्रुटि की संभावना है।

— शहनाई

@ माइक: बहुत प्रभावशाली जवाब। इसे हमारे साथ साझा करने के लिए समय निकालने के लिए धन्यवाद।

— डेनिस कूसिनू