कैसे कर सकते हैं मैं गणना

बंद फॉर्म में सामान्य सीडीएफ के वर्ग की अपेक्षा का मूल्यांकन कैसे किया जा सकता है?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

यहां, , वास्तविक संख्या हैं, , और और एक सामान्य सामान्य यादृच्छिक चर के घनत्व और वितरण कार्य हैं, क्रमशः। $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— आंद्रेई
स्रोत

अच्छा तुम कहाँ फंस गए? क्या आपने इसका मूल्यांकन करने की कोशिश की है? शायद इस तथ्य का उपयोग करें कि

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— रोक दिया गया

मैंने भागों और अन्य (सरल) तकनीकों द्वारा एकीकरण का उपयोग करते हुए, अभिन्न का मूल्यांकन करने की कोशिश की, लेकिन यह मुझे कहीं भी नहीं ले गया। इसके अलावा, मैंने वास्तव में यहां पहुंचने के लिए विचरण से शुरुआत की थी। मुझे एक समान प्रश्न ( आंकड़े.stackexchange.com/questions/61080/… ) मिला है, लेकिन स्क्वेर्ड CDF तक पहुंचाने में यह तुच्छ नहीं लगता है।

— आंद्रेई

क्या आपने ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करने पर विचार किया है?

— स्टैट्सस्टूडेंट

नहीं, मैंने कुछ विस्तार नहीं किया है?

— आंद्रेई

यदि

और

, तो

समान रूप से वितरित 0 और 1. के बीच इसके दूसरे पल तो है

। मैं आप सामान्य के लिए क्या पूछना तरह calculate कुछ करने की कोशिश कर याद करते हैं

और

है, लेकिन मैं कोई पूर्ण-सूत्र समाधान मिल गया।

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

जैसा कि ऊपर मेरी टिप्पणी में कहा गया है, गॉसियन कार्यों के अभिन्न की सूची के लिए विकिपीडिया की जाँच करें। अपने संकेतन का उपयोग करना, यह देता है जहांओवेन के टी समारोह से परिभाषित किया गया है

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

आप में प्लग तो आप मिल जाएगा $a=1,b=0$ रूप में टिप्पणियों से संकेत मिलता है कि आप चाहिए। $1 \over 3$

— soakley
स्रोत

बहुत बहुत धन्यवाद, यह वही है जो मैं देख रहा था।

— आंद्रेई