विशेष मात्राओं से वितरण के योग की मात्रा का परिकलन करें

चलो मान लो $N$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर $X_1, ..., X_N$ जिसके लिए कुछ विशिष्ट स्तर पर मात्राएँ $\alpha$ डेटा से अनुमान के माध्यम से जाना जाता है: $\alpha = P(X_1 < q_1)$ ,, ... $\alpha = P(X_N < q_N)$ । अब रैंडम वेरिएबल को परिभाषित करते हैं $Z$ योग के रूप में $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ । क्या स्तर के योग के मान की गणना करने का एक तरीका है $\alpha$ , अर्थात्, $q_z$ में $\alpha = P(Z < q_Z)$ ?

मुझे लगता है कि विशेष मामलों में, जैसे कि $X_i$ एक गाऊसी वितरण के बाद $\forall i$ यह आसान है, लेकिन मैं उस मामले के लिए सुनिश्चित नहीं हूं जहां वितरण किया गया है $X_i$ अज्ञात है। कोई विचार?

quantiles

— albarji
स्रोत

क्या ये

q_{i}

$q_i$ डेटा से या सैद्धांतिक रूप से ज्ञात?

— चुस

के वितरण के बारे में विशिष्ट धारणाएं बनाए बिना यह संभव नहीं है

X_{i}

$X_i$ । क्या आपके मन में वितरण का परिवार है?

— whuber

@chuse

q_{i}

$q_i$ के वितरण के रूप में, डेटा से अनुमान लगाया जाता है

X_{i}

$X_i$ ज्ञात नहीं है, लेकिन नमूने उपलब्ध हैं। मैंने इस तथ्य के साथ प्रश्न को अद्यतन किया है।

— अलबरजी २ alb

@ जब मैं वितरण के परिवार के बारे में कोई पूर्व ज्ञान नहीं है

X_{i}

$X_i$ निम्नलिखित हो सकता है, हालांकि डेटा नमूने उपलब्ध हैं। वितरण के एक परिवार (गौसियन से अलग) को यह आसान बना देगा?

— अलबरजी २ alb'१५ को

$q_Z$ कुछ भी हो सकता है।

इस स्थिति को समझने के लिए, आइए हम एक प्रारंभिक सरलीकरण करें। के साथ काम करके $Y_i = X_i - q_i$ हम अधिक समान लक्षण वर्णन प्राप्त करते हैं

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

यही है, प्रत्येक नकारात्मक होने की समान संभावना है। चूंकि $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

लिए परिभाषित समीकरण के बराबर है $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

साथ । $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

के संभावित मूल्य क्या हैं ? उस मामले पर विचार करें जहां सभी का दो मूल्यों पर सभी संभाव्यता के साथ समान वितरण है, उनमें से एक नकारात्मक ( ) और दूसरा एक सकारात्मक ( ) है। संभावित मान लिए तक सीमित हैं । इनमें से प्रत्येक संभावना के साथ होता है $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

चरम सीमा तक पाया जा सकता है

और चुनना ताकि ; और इसे पूरा करेगा। यह गारंटी देता है कि तब नकारात्मक होगा जब सभी सकारात्मक हों। यह मौका बराबर है । यह अधिक है जब जिसका अर्थ है, की quantile सख्ती से नकारात्मक होना चाहिए। $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
और चुनना ताकि ; और इसे पूरा करेगा। यह गारंटी देता है कि तभी नकारात्मक होगा जब सभी नकारात्मक होंगे। यह मौका बराबर होता है । यह से कम है जब , के क्वांटाइल को लागू करना सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए। $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

इससे पता चलता है कि का क्वांटाइल नकारात्मक या सकारात्मक हो सकता है, लेकिन शून्य नहीं है। इसका आकार क्या हो सकता है? यह और कुछ अभिन्न रैखिक संयोजन के बराबर है । इन दोनों मानों को पूर्णांक बनाने से सभी संभावित मान अभिन्न हैं। मनमाने ढंग से धनात्मक संख्या द्वारा स्केलिंग करने पर , हम गारंटी दे सकते हैं कि और सभी अभिन्न रैखिक संयोजन अभिन्न गुणक हैं । चूंकि , यह कम से कम होना चाहिए आकार में । इसके फलस्वरूप, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ के संभावित मान (और की ) असीमित हैं, इससे $q_W$ $q_Z$ कोई फर्क नहीं पड़ता कि समान हो सकता है। $n\gt 1$

बारे में किसी भी जानकारी को प्राप्त करने का एकमात्र तरीका इस नकारात्मक परिणाम को प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले असंतुलित वितरण को रोकने और सीमित करने के लिए, के वितरण पर विशिष्ट और मजबूत बाधाएं बनाना होगा । $q_Z$ $X_i$

— व्हीबर
स्रोत

बहुत बहुत धन्यवाद @whuber, समझाने और उदाहरण के लिए। जवाब नकारात्मक होने के बावजूद, मैं यह नहीं कह सकता कि यह अप्रत्याशित था। फिर मैं यह पता लगाने की कोशिश करूंगा कि वितरण का कौन सा परिवार मेरे डेटा को सूट करता है और यह देखता है कि क्या मैं योग की मात्रा को काम कर सकता हूं।

— एल्बार्जी