"रोबस्ट स्टैटिस्टिक्स: द एप्रोच ऑन इन्फ्लुएंस फंक्शंस" पर आधारित 2.2a.16 अभ्यास का समाधान

रोबस्ट स्टैटिस्टिक्स के पेज 180 पर : इन्फ्लुएंस फंक्शंस पर आधारित दृष्टिकोण निम्नलिखित प्रश्न को खोजता है:

16: हमेशा के लिए स्थान-आक्रमणकारी अनुमानक दिखाएं $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ । परिमित-सैंपल ब्रेकडाउन बिंदु पर इसी ऊपरी बाउंड को खोजें $\varepsilon^*_n$ , दोनों मामले में जहां $n$ अजीब है या $n$ सम है।

दूसरा भाग (अवधि के बाद) वास्तव में तुच्छ है (पहला दिया गया है) लेकिन मुझे प्रश्न के पहले भाग (वाक्य) को साबित करने का कोई तरीका नहीं मिल रहा है।

इस प्रश्न से संबंधित पुस्तक के अनुभाग में कोई व्यक्ति (p98) पाता है:

परिभाषा 2: परिमित-नमूना विखंडन बिंदु $\varepsilon^*_n$ एक अनुमानक का $T_n$ नमूने पर $(x_l,\ldots, x_n)$ द्वारा दिया गया है:

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
जहाँ नमूना डेटा बिंदुओं की $(z_1,\ldots,z_n)$ जगह को मनमाने ढंग से मान $m$ $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ $y_1,\ldots,y_m.$

की औपचारिक परिभाषा $\varepsilon^*$ लगभग स्वयं एक पृष्ठ के लिए चलती है, लेकिन इसे के रूप में माना जा सकता है,

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$ हालांकि स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, एक। यह अनुमान लगा सकते हैं कि स्थान-अपरिवर्तनीय का अर्थ है कि

T_{n}

$T_n$ को

को संतुष्ट करना चाहिए

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

मैं (नीचे) नीचे टिप्पणी में व्हीबर के सवाल का जवाब देने की कोशिश करता हूं। पुस्तक अनुमानक को परिभाषित करती है कई पृष्ठ हैं, जो p82 से शुरू होते हैं, मैं मुख्य भागों को पुन: पेश करने की कोशिश करता हूं (मुझे लगता है कि यह व्ह्यूबर के प्रश्न का उत्तर देगा): $T_n$

मान लीजिए कि हमारे पास एक-आयामी अवलोकन जो स्वतंत्र और पहचान के साथ वितरित किए गए हैं (i)। अवलोकन कुछ नमूना अंतरिक्ष , जो वास्तविक लाइन का एक सबसेट है (अक्सर केवल बराबर होता है, इसलिए अवलोकन किसी भी मूल्य पर हो सकते हैं) )। एक पैरामीट्रिक मॉडल संभाव्यता वितरण के एक परिवार के होते हैं , नमूना अंतरिक्ष, जहां अज्ञात पैरामीटर पर कुछ पैरामीटर अंतरिक्ष के अंतर्गत आता है $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

हम नमूना को उसके अनुभवजन्य वितरण साथ , अवलोकनों के अनुक्रम को अनदेखा करते हैं (जैसा कि लगभग हमेशा किया जाता है)। औपचारिक रूप से, , द्वारा दिया जाता है, जहां , बिंदु में 1 मास है । अनुमानक के रूप में , हम वास्तविक मूल्यवान आँकड़ों । व्यापक अर्थों में, एक अनुमानक को आंकड़ों के अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है , प्रत्येक संभावित नमूना आकार । आदर्श रूप से, दृष्टांत पैरामीट्रिक मॉडल के एक सदस्य के अनुसार हैं $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , लेकिन वर्ग के सभी संभावित प्रायिकता वितरण पर बहुत बड़ा है। $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

हम उन पर विचार करते हैं जो कार्यात्मक हैं [यानी, सभी और ] के लिए या asymptotically फंक्शंस द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि हम मानते हैं कि एक कार्यात्मक जहाँ का डोमेन सभी वितरण जिसके लिए परिभाषित किया गया है] ऐसी है कि संभावना में जब टिप्पणियों सच वितरण के अनुसार आईआईडी कर रहे हैं में । हम कहते हैं कि $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ की asymptotic मूल्य है पर । $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

इस अध्याय में, हम हमेशा यह मानते हैं कि अध्ययन के अंतर्गत फिशर सुसंगत हैं (कल्लनपुर और राव, 1955): the the जिसका अर्थ है कि आकलनकर्ता मॉडल को मात्रा में मापता है। फिशर स्थिरता की धारणा सामान्य स्थिरता या स्पर्शोन्मुख निष्पक्षता की तुलना में कार्यात्मक के लिए अधिक उपयुक्त और सुरुचिपूर्ण है।
$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— user603
स्रोत

यह पुस्तक वास्तव में "अनुमानक" को कैसे परिभाषित करती है? मुझे ऐसा लगता है कि किसी भी घिरे आकलनकर्ता के टूटने बिंदु होना आवश्यक है है, तो निश्चित रूप से इस पर विशेष प्रतिबंध के कुछ प्रकार डाल रहा है ; और हमेशा बंधे हुए स्थान-अपरिवर्तनीय अनुमानक (वे स्थिरांक शामिल होंगे) मौजूद हैं।

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— whuber

विस्तारित सामग्री के लिए धन्यवाद। यह अभी भी लगता है कि बहुत सारे प्रतिपक्ष हैं। एक साधारण एक निरंतर अनुमानक है, जो प्रसरण के सामान्य वितरण के एक-पैरामीटर परिवार के लिए है । यह विचरण का स्थान-आक्रमणकारी अनुमानक है। इसका ब्रेकडाउन पॉइंट । यह फ़िशर सुसंगत (तुच्छ) है, लेकिन मुझे सावधानी से परिभाषा की व्याख्या करने की आवश्यकता है: " " " सभी मापदंडों के लिए आवश्यक रूप से संदर्भित नहीं कर सकता है , तब तक कोई भी स्थान-अपरिवर्तनीय अनुमानक संगत नहीं हो सकता है!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— whuber

@whuber: धन्यवाद, मैं आपके प्रति-उदाहरण को समझता हूं। मुझे लगता है कि मैं लेखक से संपर्क करूंगा और अधिक जानकारी

— मांगूंगा

पुराने आँकड़ों की पुस्तकों में "अपरिवर्तनीय" का उपयोग कुछ अलग तरीके से किया जा सकता है, जिसकी अपेक्षा की जा सकती है; अस्पष्ट शब्दावली बनी रहती है। एक अधिक आधुनिक समतुल्य है "इक्विवेरिएंट" (इस पोस्ट के अंत में संदर्भ देखें)। वर्तमान संदर्भ में इसका अर्थ है

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

सभी वास्तविक । $c$

प्रश्न को संबोधित करने के लिए, मान लीजिए कि पास वह संपत्ति है जो पर्याप्त रूप से बड़े , सभी वास्तविक , और सभी । $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

जब भी से भिन्न द्वारा अधिक से अधिक ज्यादा से ज्यादा में निर्देशांक। $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(यह ब्रेकडाउन बाउंड की परिभाषा में एक कमजोर स्थिति है। वास्तव में, हमें वास्तव में यह मानने की आवश्यकता है कि जब पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो अभिव्यक्ति " " कुछ मूल्य से कम होने की गारंटी है। आकार में।) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

विरोधाभास ही सबूत है। इसके अनुसार, मान लें कि यह भी समान है और मान लें कि । फिर पर्याप्त रूप से बड़े , एक पूर्णांक है जिसके लिए दोनों और । किसी भी वास्तविक संख्या के परिभाषित है $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

जहाँ 's और ' s हैं। या कम निर्देशांक बदलकर हम दोनों का निष्कर्ष निकालते हैं $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

तथा

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

के लिए त्रिकोण असमानता का दावा $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

पर्याप्त रूप से बड़े लिए, प्रायद्वीप रेखा पर सख्त असमानता का आश्वासन दिया गया है । विरोधाभास इसका तात्पर्य है, , साबित होता है $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

संदर्भ

ईएल लेहमैन, थ्योरी ऑफ़ पॉइंट एस्टीमेशन । जॉन विले 1983।

पाठ में (अध्याय 3, खंड 1) और एक साथ फुटहॉट लेहमैन लिखते हैं

एक अनुमानक संतोषजनक सभी के लिए समान कहा जाएगा ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

कुछ लेखक ऐसे अनुमानकों को "अपरिवर्तनीय" कहते हैं। चूंकि इससे पता चलता है कि अनुमानक तहत अपरिवर्तित रहता , इसलिए सभी लिए को संतुष्ट करने वाले कार्यों के लिए यह शब्द आरक्षित करना बेहतर लगता । $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— व्हीबर
स्रोत

हां मैंने कल पुस्तक के मुख्य लेखक से संपर्क किया था, जिसमें इस्तेमाल की जाने वाली अदर्शन की वास्तविक परिभाषा के बारे में एक ही सवाल था (मैंने सूचकांक में देखा और मुझे यह पुस्तक में स्पष्ट नहीं मिला)। मैंने उत्थान किया क्योंकि मुझे लगता है कि आपका उत्तर सही है, लेकिन इसे स्वीकार करने से पहले लेखक को कुछ दिन सुनिश्चित करने के लिए कहेंगे।

— user603

मुझे लेखक से जवाब नहीं मिला, लेकिन ऊपर दिए गए तर्कों (जवाब और टिप्पणी में) ने मुझे आश्वस्त किया कि यह वास्तव में समस्या की सही व्याख्या होनी चाहिए।

— user603