एम-अनुमानक के लिए सही मायनों में अभिसरण करने की शर्तें

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एक गाऊसी वितरण और M-अनुमानक, से iid नमूने दिए। , पर कौन से गुण संभावना में गारंटी देने के लिए पर्याप्त हैं ? क्या सख्ती से उत्तल हो रहा है और सख्ती से पर्याप्त बढ़ रहा है? $X_1,...,X_n \sim N(\mu,\sigma)$ $\mu_m = \underset{a}{\operatorname{argmin}} \sum\rho(|X_i-a|)$ $\rho$ $\mu_m \rightarrow \mu$ $\rho$

estimation

— कमला
स्रोत

चूँकि आप ले सकते हैं और तब नमूना माध्य होता है, इसका मतलब है कि यह कड़ाई से उत्तल भी नहीं हो सकता है, लेकिन सख्ती से हाँ बढ़ रही है, इस प्रकार ... मैं या तो सख्ती से उत्तल या कड़ाई से दोनों बढ़ाऊंगा। पर्याप्त लगता है, हालांकि अभी भी यह साबित करना है। सहज रूप से सख्त उत्तलता अद्वितीय वैश्विक न्यूनतम सुनिश्चित करती है, यह कड़ाई से बढ़ती है कि यह मायने रखता है कि गॉसिसिटी धारणा है।

ρ (x) = x

$\rho(x) = x$

μ_{m}

$\mu_m$

— पापेल सेलोव

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Hjort और पोलार्ड द्वारा उत्तल प्रक्रियाओं के न्यूनतम संधारित्रों के लिए पेपर एसिम्पोटिक्स यहाँ मदद कर सकता है, हालांकि यह गॉसियन वितरण के लिए विशेषज्ञ नहीं है, और यह इसके विपरीत फ़ंक्शन के अधिक सामान्य रूप को मानता है, अर्थात् , हालांकि उनका अंकन । की उत्तलता के अलावा में , वे का एक विस्तार की आवश्यकता होती है में के आसपास , एक निश्चित अर्थ है कि डेटा वितरण से संबंधित है में। इसलिए, सिर्फ़ यह कहना उतना आसान नहीं है जितना कि उत्तल या बढ़ रहा है, लेकिन शायद अगर आप गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन और लिए प्रमेय को प्रतिबंधित करते हैं $\rho(x,a)$ $g(y,t)$ $g$ $t$ $g$ $t$ $\theta_0$ $\rho$ $g$ आपके द्वारा निर्दिष्ट फ़ॉर्म के लिए, आप शर्तों का एक समान सेट प्राप्त कर सकते हैं। मैं उनकी प्रमेय को पुन: पूर्णता के लिए यहाँ लिखूंगा, थोड़ा सा विरोधाभास:

मान लीजिए हमारे पास है

$Y,Y_{1},Y_{2},\ldots$ वितरण से iid $F$
ब्याज के पैरामीटर $\theta_{0}=\theta(F)\in\cal{R}^{p}$
$\theta_{0}\in\arg\min_{t\in\cal{R}^{p}}\mathbb{E} g(Y,t)$ है, जहां उत्तल में है । $g(y,t)$ $t$
हमारे पास का एक "कमजोर विस्तार" है जो आसपास है : एक के लिए के तहत मतलब शून्य के साथ और एक सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स । $g(y,t)$ $t$ $\theta_{0}$ $g (y, θ_{0} + t) - g (y, θ_{0}) = D (y)^{T} t + R (y, t),$ $g(y,\theta_{0}+t)-g(y,\theta_{0})=D(y)^{T}t+R(y,t),$ $D(y)$ $F$ $E R (Y, t) = \frac{1}{2} t^{T} J t + o ({| t |}^{2}), as t \to 0$ $\mathbb{E} R(Y,t)=\frac{1}{2}t^{T}Jt+o(\left|t\right|^{2}),\mbox{ as }t\to0$ $J$
$\mbox{Var}[ R(Y,t) ]=o(\left|t\right|^{2})$ के रूप में । $t\to0$
$D(Y)$ में एक परिमित सहसंयोजक मैट्रिक्स । $K=\int D(y)D(y)^{T}\, dF(y)$

किसी भी अनुमानक की है -consistent के लिए , और asymptotically के साथ सामान्य $\hat{\theta}_{n}\in\arg\min_{\theta\in\cal{R}^{p}}\sum_{i=1}^{n}g(Y_{i},t)$ $\sqrt{n}$ $\theta_{0}$

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) \overset{d}{\to} N_{p} (0, J^{- 1} K J^{- 1}) .

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_{n}-\theta_{0}\right)\stackrel{d}{\rightarrow}\mathcal{N}_{p}(0,J^{-1} K J^{-1}).$

— DavidR
स्रोत

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यह एक उत्तर नहीं होगा, क्योंकि यह आपकी समस्या को एक और कम कर देगा, लेकिन मुझे लगता है कि यह उपयोगी हो सकता है। आपका प्रश्न मूल रूप से एम-आकलनकर्ता की स्थिरता के बारे में है। इसलिए पहले हम सामान्य परिणामों को देख सकते हैं। यहाँ वैन डेर वार्ट किताब (प्रमेय 5.7, पृष्ठ 45) से परिणाम है:

प्रमेय Let यादृच्छिक कार्यों हो सकता है और जाने की एक निश्चित समारोह हो ऐसी है कि के लिए हर $M_n$ $M$ $\theta$ $\varepsilon>0$

sup_{θ \in Θ} | M_{n} (θ) - M (θ) | \overset{P}{\to} 0,

$\sup_{\theta\in\Theta}|M_n(\theta)-M(\theta)|\xrightarrow{P}0,$

sup_{θ : d (θ, θ_{0}) \geq ε} M (θ) < M (θ_{0}) .

$\sup_{\theta:d(\theta,\theta_0)\ge\varepsilon} M(\theta)<M(\theta_0).$

तब आकलनकर्ता के किसी भी क्रम साथ संभावना में converges के लिए $\hat\theta_n$ $M_n(\hat\theta_n)\ge M_n(\theta_0)-o_P(1)$ $\theta_0$

आपके मामले में , और $\theta_0=\mu$ $M(\theta)=E\rho(|X-\theta|)$ $M_n(\theta)=\frac{1}{n}\sum \rho(|X_i-\theta|)$

यहाँ प्रमुख स्थिति एकसमान अभिसरण है। पेज 46 में वैन डेर वार्ट कहते हैं

औसत के लिए जो आपकी स्थिति है, यह स्थिति फ़ंक्शन के सेट के बराबर है ( आपके मामले में) Glivenko -Canteli । पर्याप्त स्थितियों का एक सरल सेट यह है कि कॉम्पैक्ट हो, कि फ़ंक्शन the थी लिए हर लिए निरंतर हो , और> कि वे एक पूर्णांक फ़ंक्शन द्वारा हावी हैं। $\{m_\theta, \theta\in\Theta\}$ $m_\theta=\rho(|x-\theta|)$ $\Theta$ $\theta\to m_\theta(x)$ $x$

में Wooldridge इस परिणाम तैयार की है के रूप में प्रमेय बड़ी संख्या में पेज 347 (प्रथम संस्करण), प्रमेय 12.1 की वर्दी कमजोर कानून कहा जाता है। यह केवल वैन डेर वर्ट राज्यों को मापने योग्य आवश्यकताओं को जोड़ता है।

आपके मामले में आप कुछ लिए सुरक्षित रूप से सकते हैं , इसलिए आपको यह दिखाने की आवश्यकता है कि वहां मौजूद फ़ंक्शन ऐसा है $\Theta=[\mu-C,\mu+C]$ $C$ $b$

| ρ (| x - θ |) | \leq b (x)

$|\rho(|x-\theta|)|\le b(x)$

सभी के लिए , जैसे कि । उत्तल फ़ंक्शन सिद्धांत यहां मदद का हो सकता है, क्योंकि आप आधारशिला ले सकते हैं $\theta\in\Theta$ $Eb(X)<\infty$

b (x) = sup_{θ \in Θ} | ρ (| x - θ |) | .

$b(x)=\sup_{\theta\in\Theta}|\rho(|x-\theta|)|.$

यदि इस फ़ंक्शन में अच्छे गुण हैं तो आप जाने के लिए अच्छे हैं।

— mpiktas
स्रोत