क्या स्केवनेस और कर्टोसिस के लिए सामान्यीकृत समकक्ष हैं?

Question

Skewness के समान सामान्यीकृत क्या होगा जिसमें डेटा के समान इकाई होगी? इसी तरह, कुर्तोसिस के बराबर सामान्यीकृत क्या होगा? आदर्श रूप से, इन कार्यों को डेटा के संबंध में रैखिक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि यदि सभी टिप्पणियों को एक कारक से गुणा किया जाना है n, तो परिणामस्वरूप सामान्यीकृत तिरछापन और कुर्तोसिस को एक ही कारक से गुणा किया जाएगा n। इस तरह के सामान्यीकृत समकक्ष होने का लाभ उन्हें एक मानक बॉक्स और व्हिस्कर साजिश के शीर्ष पर ओवरले करने में सक्षम होगा।

Comments

क्या मजेदार सवाल है!

— एलेक्सिस

मुझे यकीन नहीं है कि ग्राफ पर इनका वर्णन करना कितना ज्ञानवर्धक होगा। मानक विचलन का वर्णन करने का कारण यह है कि वे डेटा के फैलाव का एक प्राकृतिक माप देते हैं (यदि यह सामान्य रूप से वितरित किया जाता है): 65% अवलोकन अंतराल के अंदर झूठ बोलते हैं। मुझे नहीं लगता कि तीसरे और चौथे क्षणों के लिए ऐसी प्राकृतिक दृश्य व्याख्याएं हैं।

— बेन कुह्न

आप अपने डेटा के बारे में क्या दिखाने की कोशिश कर रहे हैं? यदि यह वितरण का एक निश्चित गुणात्मक व्यवहार है, तो क्या वायलिन की साजिश बेहतर हो सकती है? लेकिन हां, वैसे भी, यह एक मजेदार सवाल है।

— बेन कुह्न

एक व्यक्ति के डेटासेट के वितरण को दर्शाने वाले हिस्टोग्राम को देखकर तिरछापन और कुर्तोसिस की भावना प्राप्त कर सकता है, लेकिन यह इन उपायों की बहुत व्यक्तिपरक धारणा देगा। मैं उन्हें दो रेखीय तराजू पर चित्रित करना चाहूंगा, एक तिरछी नज़र के लिए, बॉक्स-एंड-व्हिस्कर प्लॉट की धुरी के समानांतर, दूसरा ऑर्थोगोनल इसके लिए। इसे प्राथमिक बॉक्स के शीर्ष पर एक अलग बॉक्स के रूप में चित्रित किया जा सकता है। वह बॉक्स जितना लंबा होगा, डेटा उतना अधिक तिरछा होगा। व्यापक, अधिक नुकीला (उच्च कुर्तोसिस)।

— इस्माईल ग़ालिमी

और वायलन प्लॉट के लिंक के लिए धन्यवाद। यह वास्तव में चतुर है।

— इस्माईल ग़ालिमी

Answer 1

तिरछापन के उपाय जानबूझकर यूनिटलेस हैं ।

सामान्य क्षण-तिरछाता एक मानकीकृत तीसरा क्षण है, $E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$।

यदि आप केंद्र करते हैं लेकिन मानकीकरण नहीं करते हैं, तो आपके पास है $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$... जो स्पष्ट रूप से घनीभूत इकाइयों में है ।

यदि आप के रूप में एक ही इकाइयों में कुछ करना चाहता था $X$, आपको क्यूब-रूट लेना होगा, उसी तरह जैसे हम विचरण के वर्गमूल लेते हैं और मूल डेटा की समान इकाइयों में कुछ प्राप्त करते हैं। (हालांकि - सावधान रहें, क्योंकि कई पैकेज नकारात्मक संख्याओं की घन जड़ों को नहीं लेंगे, आपको इसे इस रूप में गणना करना पड़ सकता है:$\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$।)

मुझे यकीन नहीं है कि यह कितना उपयोगी होगा।

कुछ अन्य तिरछापन उपायों के लिए, दो पियर्सन तिरछापन उपायों की तरह, आप बस से गुणा करें $\sigma$।

नमूना तिरछा उपायों के लिए जहां $\sigma$ तथा $\mu$ आम तौर पर ज्ञात नहीं होते हैं, जैसा कि नमूना तिरछा के साथ होता है, आप आमतौर पर उन्हें अपने स्वयं के नमूना अनुमानों द्वारा प्रतिस्थापित करेंगे।

कर्टोसिस उसी पैटर्न का अनुसरण करता है - पल कर्टोसिस के लिए, आपको डेटा के साथ स्केल किए गए कुछ प्राप्त करने के लिए अस्वास्थ्यकर चौथे क्षण की चौथी जड़ें लेने की आवश्यकता होगी ।

कुर्तोसिस के कुछ अन्य उपायों के लिए, उन्हें केवल गुणा करने की आवश्यकता होगी $\sigma$।

Answer 2

तिरछापन और कुर्तोसिस आकार की विशेषताएं हैं। तो, अगर मैं आपको बता दूँ कि बात है, एक गेंद, है दौर इससे कोई फर्क नहीं करना चाहिए बात की परिधि क्या है। यह छोटी गेंद या बड़ी गेंद हो सकती है । दूसरी ओर, जब मैं छोटी गेंद या एक बड़ा घन कहता हूं, तो मैं ऑब्जेक्ट के आकार की बात कर रहा हूं, आकार की नहीं।

इस संबंध में, मानक विचलन वितरण का आकार है, यही कारण है कि तिरछा और कुर्तोसिस आकार द्वारा सामान्यीकृत होता है। आप यह भी कह सकते हैं कि मानक विचलन यांत्रिकी से संबंधित है, और ज्यामिति के लिए तिरछा और कर्टोसिस। इसलिए, नहीं, हमें उन्हें चर के माप की इकाइयों में रखने की आवश्यकता नहीं है। आकार और आकार अलग-अलग हैं। एक बड़ी और एक छोटी गेंद समान रूप से गोल होती है , अर्थात इस मामले में आकार कोई फर्क नहीं पड़ता :)

Answer 3

क्षेत्र में वितरित किए गए वैक्टरों को अस्वीकार करना $R$, मान लें कि शून्य और पहला क्षण पहले से सामान्यीकृत है। दूसरे क्षण के साथ गणना की जाती है$M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$, इसलिए अगर हम विकर्णीकरण पा सकते हैं $M_2 = P\Lambda^2 P^T$, तब हम परिभाषित कर पाएंगे

$$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$$ ताकि $M_2$ सामान्यीकृत है:

$$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$$ $$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$$ $$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$$

दूसरे क्षण का ज्यामितीय अर्थ "अभिविन्यास" है, जो इस तथ्य से उचित है कि विकर्णकरण दूसरे पल को सामान्य करता है। जब इस सामान्यीकरण के तहत तिरछा गणना की जाती है, तो इसे मर्डिया का तिरछापन कहा जाता है ।