"फंडामेंटल थ्योरम ऑफ फैक्टर एनालिसिस" पीसीए पर कैसे लागू होता है, या पीसीए लोडिंग को कैसे परिभाषित किया जाता है?

मैं वर्तमान में एक स्लाइड सेट के माध्यम से जा रहा हूं जो मेरे पास "कारक विश्लेषण" के लिए है (पीसीए जहां तक मैं बता सकता हूं)।

इसमें, "कारक विश्लेषण का मौलिक सिद्धांत" व्युत्पन्न है जो दावा करता है कि विश्लेषण ( ) में जाने वाले डेटा के सहसंबंध मैट्रिक्स को कारक लोडिंग ( ) के मैट्रिक्स का उपयोग करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता है : $\bf R$ $\bf A$

R = A A^{⊤}

$\bf R = AA^\top$

हालांकि यह मुझे भ्रमित करता है। पीसीए में "फ़ैक्टर लोडिंग" का मैट्रिक्स डेटा के सहसंयोजक / सहसंबंध मैट्रिक्स के आइजनवेक्टरों के मैट्रिक्स द्वारा दिया जाता है (क्योंकि हम मान रहे हैं कि डेटा को मानकीकृत किया गया है, वे समान हैं), प्रत्येक स्वदेशी ट्रैक्टर के साथ स्केल किया गया है लंबाई एक। यह मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल है, इस प्रकार जो सामान्य रूप से बराबर नहीं है । $\bf AA^\top = I$ $\bf R$

— user2249626
स्रोत

@ अमीबा के जवाब के अलावा, मेरे जवाब में टर्मिनोलॉजिकल अस्पष्टता जोड़कर देखो। मैं Aस्पष्टता के कारणों के लिए eigenvectors मैट्रिक्स (जो लोडिंग हैं) को कॉल करने की अनुशंसा नहीं करता हूं । (दाईं ओर) eigenvector मैट्रिक्स आमतौर पर लेबल किया जाता है V(क्योंकि R=USV'svd द्वारा), नहीं A। Eigenvectors के लिए एक और समकक्ष नाम (बिप्लॉट शब्दावली से आने वाला) "मानक निर्देशांक" है, और लोडिंग के लिए "प्रमुख निर्देशांक" है।

— ttnphns

("मानक निर्देशांक" - क्योंकि जड़ता या

— आइजेनवेल्यूज़ का पैमाना

यह एक उचित प्रश्न (+1) है जो पारिभाषिक शब्दावली और भ्रम से उपजा है।

पीसीए के संदर्भ में, लोग अक्सर प्रिंसिपल एक्सिस (सहसंयोजक / सहसंबंध मैट्रिक्स के eigenvectors) "लोडिंग" कहते हैं। यह मैला शब्दावली है। पीसीए में "लोडिंग" को क्या कहा जाना चाहिए, संबंधित स्वदेशी के वर्गमूल से मुख्य अक्षों को बढ़ाया जाता है। फिर जिस प्रमेय का आप जिक्र कर रहे हैं वह होगा।

वास्तव में, यदि सहसंबंध मैट्रिक्स का ईजन-अपघटन है

आर = वी एस {वी}^{⊤}

$\mathbf R = \mathbf V \mathbf S \mathbf V^\top$ कहाँ पे

V

$\mathbf V$ eigenvectors (प्रमुख अक्ष) और हैं

S

$\mathbf S$ eigenvalues का विकर्ण मैट्रिक्स है, और यदि हम लोडिंग को परिभाषित करते हैं

ए = वी {एस}^{1 / 2},

$\mathbf A = \mathbf V \mathbf S^{1/2},$ तब कोई भी आसानी से देख सकता है

आर = ए ए^{⊤} ।

$\mathbf R = \mathbf A \mathbf A^\top.$ इसके अलावा, सबसे अच्छा रैंक-

r

$r$ सहसंबंध मैट्रिक्स के लिए सन्निकटन पहले द्वारा दिया गया है

r

$r$ पीसीए लोडिंग:

आर \approx ए_{आर} ए_{आर}^{⊤} ।

$\mathbf R \approx \mathbf A_r \mathbf A_r^\top.$

कारक विश्लेषण और पीसीए लोडिंग के साथ सहसंयोजक मैट्रिक्स के पुनर्निर्माण के बारे में अधिक जानने के लिए कृपया यहां मेरा जवाब देखें ।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका को बहाल करो
स्रोत