आंकड़ों के संदर्भ में ऑर्थोगोनल का क्या अर्थ है?

Question

अन्य संदर्भों में, ऑर्थोगोनल का अर्थ है "समकोण पर" या "लंबवत"।

सांख्यिकीय संदर्भ में ऑर्थोगोनल का क्या अर्थ है?

किसी भी स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

Comments

सवाल के लिए धन्यवाद। मैंने एक और सामान्य से पूछा है: ऑर्थोगोनलिटी के सभी मामलों में इतना सामान्य क्या है। मुझे यह जानने में भी दिलचस्पी थी कि सांख्यिकीय स्वतंत्रता इस संपत्ति को कैसे संतुष्ट करती है? Phys.stackexchange.com/questions/67506

— Val

मुझे आश्चर्य है कि यहां कोई भी उत्तर नहीं बताता है कि आमतौर पर यह शब्द के गणितीय "रैखिक बीजगणित" अर्थ में होता है। उदाहरण के लिए, जब हम एक "चर के orthogonal सेट" की बात आम तौर पर यह मतलब है कि चर के सेट के साथ मैट्रिक्स के लिए । "ऑर्थोंनॉर्मल" का भी उपयोग किया जाता है। $X^{T}X=I$$X$

— probabilityislogic

@probability "ऑर्थोगोनल" का एक द्विघात रूप के साथ एक सदिश स्थान के लिए अर्थ है : दो वैक्टर और ऑर्थोगोनल हैं यदि और केवल यदि । "ओर्थोनॉमिक" का अर्थ है कि । इस प्रकार "ऑर्थोगोनल" और "ऑर्थोनामॉर्मल" पर्यायवाची नहीं हैं, न ही वे परिमित परिपक्वता तक सीमित हैं। ( उदाहरण के लिए , और इस तरह के स्थान के रूप में एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष के तत्वों, हो सकता है पर जटिल मान कार्यों शास्त्रीय क्वांटम यांत्रिकी में इस्तेमाल किया।)वी डब्ल्यू क्यू ( वी , डब्ल्यू ) = 0 क्यू ( वी , वी ) = 1 = क्यू ( डब्ल्यू , डब्ल्यू ) वी डब्ल्यू एल 2 आर$Q$$v$$w$$Q(v,w)=0$$Q(v,v)=1=Q(w,w)$$v$$w$$L^2$$\mathbb{R}^3$

— whuber

यह लिंक ऑर्थोगोनलिटी और सहसंबंध के (गैर) कनेक्शन को समझने में मदद कर सकता है। alecospapadopoulos.wordpress.com/2014/08/16/…

— RBirkelbach

विभिन्न (लेकिन सही) उत्तर के बढ़ते संग्रह से संकेत मिलता है कि यह एक अच्छा सीडब्ल्यू धागा है।

— whuber

Answer 1

इसका अर्थ है कि वे [यादृच्छिक चर X, Y] एक-दूसरे के लिए 'स्वतंत्र' हैं। स्वतंत्र यादृच्छिक चर को अक्सर एक दूसरे के लिए 'समकोण' माना जाता है, जहाँ 'समकोण' से अभिप्राय है कि दोनों का आंतरिक उत्पाद 0 है (रैखिक बीजगणित से समतुल्य स्थिति)।

उदाहरण के लिए XY समतल पर X और Y अक्ष को ऑर्थोगोनल कहा जाता है क्योंकि यदि किसी दिए गए बिंदु के x मान में परिवर्तन होता है, तो मान लें कि (2,3) से (5,3) तक जा रहा है, इसका y मान समान है (3) और इसके विपरीत। इसलिए दो चर 'स्वतंत्र' हैं।

स्वतंत्रता और रूढ़िवादिता के लिए विकिपीडिया की प्रविष्टियाँ भी देखें

Comments

क्योंकि सहसंबंध और निर्भरता की कमी के बीच का अंतर महत्वपूर्ण है, स्वतंत्रता के साथ रूढ़िवादिता की बराबरी करना अच्छी बात नहीं है।

— whuber

चूंकि न तो ओपी और न ही उत्तरदाता एक साल से अधिक समय से सक्रिय हैं, इसलिए संभवत: यह कम से कम इसका स्पष्ट उत्तर देने के लिए इसे संपादित करने लायक है । मैंने प्रयास किया है कि

— असद अब्राहिम

आँकड़ों के भीतर इसका एक सामान्य प्रतिफल PCA बनाम ICA है, जिसमें PCA प्रवर्तनीयता और ICA स्वतंत्रता को अधिकतम करता है।

— जोना

मध्यस्थों के लिए: यह शर्म की बात है कि यह अच्छा है, और बहुत लोकप्रिय सवाल है, एक जवाब के साथ "अटक" है कि इतने सारे विचार बेहतर डिमोट किए जाएंगे (वर्तमान स्कोर -4)। चूंकि ओपी और उत्तरदाता दोनों एक वर्ष से अधिक समय तक सक्रिय नहीं रहे हैं, शायद "स्वीकार किए गए" चेक को हटाया जा सकता है और प्रश्न को "खुला" छोड़ा जा सकता है। नीचे दिए गए अधिक पूर्ण उत्तर स्वयं के लिए बोलते हैं।

— असद इब्राहिम

@Assad mods ओपी की स्वीकृति को नहीं हटा सकते। वह ओपी का प्रांत है।

— Glen_b

Answer 2

मैं एक टिप्पणी नहीं कर सकता क्योंकि मेरे पास पर्याप्त अंक नहीं हैं, इसलिए मुझे जवाब के रूप में अपने मन की बात कहने के लिए मजबूर किया जाता है, कृपया मुझे क्षमा करें। मुझे पता है कि छोटे से, मैं @crazyjoe द्वारा चयनित जवाब से असहमत हूं क्योंकि ऑर्थोगोनलिटी को परिभाषित किया गया है

$$E[XY^{\star}] = 0$$

इसलिए:

अगर सममित पीडीएफ के साथ वे अभी तक ऑर्थोगोनल निर्भर हैं। $Y=X^2$

यदि नकारात्मक मूल्यों के लिए लेकिन पीडीएफ शून्य है, तो वे निर्भर करते हैं लेकिन ऑर्थोगोनल नहीं।$Y=X^2$

इसलिए, ओर्थोगोनलिटी स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है।

Comments

में तारांकन चिह्न (तारा) क्या है ? $Y^{*}$

— 16

@ मुगैन, शायद जटिल संयुग्म का संकेत दे रहा है।

— A. डोरंडा

स्वयं पर ध्यान दें (और संभवतः दूसरों के लिए) - मेरा मानना ​​है कि (वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए हम जटिल संयुग्म (?) के साथ दूर कर सकते हैं) यादृच्छिक चर और का आंतरिक उत्पाद है , जिसे परिभाषित किया गया है? उनके pdf के उत्पाद की अपेक्षा:$E[XY]$$X$$Y$$\langle X,Y\rangle=E[XY]$

— एंटोनी परेलाडा

Answer 3

यदि X और Y स्वतंत्र हैं तो वे ऑर्थोगोनल हैं। लेकिन उपयोगकर्ता4949804 के चतुर उदाहरण के अनुसार संकेत सही नहीं है। सटीक परिभाषा के लिए देखें

ऑर्थोगोनल: जटिल-मूल्यवान यादृच्छिक चर और को ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि वे संतुष्ट करते हैं$C_1$$C_2$${\rm cov}(C_1,C_2)=0$

(पृष्ठ 376, संभावना और रैंडम प्रक्रियाएं जेफ्री ग्रिमेट और डेविड स्टिरज़ेकर द्वारा)

स्वतंत्र: यादृच्छिक चर और स्वतंत्र हैं और यदि केवल सभी$X$$Y$$F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$$x,y \in \mathbb{R}$

जो, सतत यादृच्छिक चर के लिए, उस आवश्यकता के बराबर है $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$

(पेज 99, जेफ्री ग्रिमेट और डेविड स्टिरज़ेकर द्वारा संभाव्यता और यादृच्छिक प्रक्रियाएं)

Answer 4

@Mien ने पहले से ही एक उत्तर दिया है, और, जैसा कि @whuber द्वारा बताया गया है, ऑर्थोगोनल का अर्थ है असंबंधित। हालांकि, मैं वास्तव में चाहता हूं कि लोग कुछ संदर्भ प्रदान करेंगे। आप निम्नलिखित लिंक को उपयोगी मान सकते हैं क्योंकि वे एक ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य से सहसंबंध की अवधारणा को समझाते हैं।

• वैक्टर की ज्यामिति (पृष्ठ 7 देखें)
• रैखिक स्वतंत्र, रूढ़िवादी, और असंबंधित चर
• वेक्टर अंतरिक्ष में दो आयामी सहसंबंध का चित्रमय प्रतिनिधित्व (आप के लिए स्वतंत्र नहीं हो सकता है)

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दूसरे लिंक में वह सब कुछ बताया गया जो मैं जानना चाहता था। धन्यवाद! :)

— लेनार होयट

वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर Xऔर Yकेवल और केवल अगर केंद्रीकृत चर हैं X-E(X)और Y-E(Y)ऑर्थोगोनल हैं तो असंबंधित हैं। [रेफ]

— knedlsepp

@Bernd पहले दो लिंक काम नहीं कर रहे हैं।

— अभिभूत

@ अधिभूत मैं यह अनुमान लगा रहा हूं कि यह लेख दूसरा लिंक इंगित कर रहा था।

— जोश ओ'ब्रायन

Answer 5

एक एनआईएसटी वेबसाइट (नीचे नीचे) ऑर्थोगोनल को इस प्रकार परिभाषित करती है, "एक प्रयोगात्मक डिजाइन ऑर्थोगोनल है अगर किसी भी कारक का प्रभाव अन्य कारकों के प्रभाव के बाहर (शून्य से शून्य) तक संतुलित रहता है।"

स्टैटिस्टिकल डिसिजन में, मैं ऑर्थोगोनल को "कॉफ़ाउंड नहीं" या "अलियास नहीं" का मतलब समझता हूं। यह महत्वपूर्ण है जब आप अपने प्रयोग को डिजाइन और विश्लेषण करते हैं यदि आप यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि आप विभिन्न कारकों / उपचारों को स्पष्ट रूप से पहचान सकते हैं। यदि आपका डिज़ाइन किया गया प्रयोग ओर्थोगोनल नहीं है, तो इसका मतलब है कि आप विभिन्न उपचारों के प्रभावों को पूरी तरह से अलग नहीं कर पाएंगे। इस प्रकार आपको प्रभाव को डिकंफाउंड करने के लिए एक अनुवर्ती प्रयोग करने की आवश्यकता होगी। इसे संवर्धित विसंवाद या तुलनात्मक डिजाइन कहा जाएगा।

स्वतंत्रता डिजाइन और विश्लेषण के कई अन्य पहलुओं में इसके उपयोग के बाद से एक खराब शब्द विकल्प लगती है।

NIST रेफरी http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section7/pri.bm

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एक प्रयोगात्मक डिजाइन संदर्भ शुरू करने के लिए +1। शब्द "ऑर्थोगोनल" का उपयोग करने के लिए योग्य है क्योंकि यह वास्तव में गणितीय अवधारणा के समान है: प्रयोग (स्तंभ) वैक्टर प्रयोग में कारकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसे यूक्लिडियन स्पेस के तत्वों के रूप में माना जाता है, वास्तव में ऑरेगोनोनल होगा (दाईं ओर) एक ऑर्थोगोनल डिजाइन में कोण (एक शून्य डॉट उत्पाद के साथ)।

— whuber

Answer 6

यह सबसे अधिक संभावना है कि उनका अर्थ 'असंबंधित' है यदि वे 'ऑर्थोगोनल' कहते हैं; यदि दो कारक ऑर्थोगोनल हैं (जैसे कारक विश्लेषण में), तो वे असंबंधित हैं, उनका सहसंबंध शून्य है।

Comments

सहसंबंध गुणांक एक कोण के कोसाइन (या स्वाभाविक रूप से व्याख्या करने योग्य) है। जब यह शून्य है, तो आपको क्या लगता है कि कोण क्या है? :-) Uncorrelated करता नहीं असंबंधित मतलब!

— whuber

मैं यह नहीं कह रहा हूँ कि आप गलत हैं, लेकिन क्या आप मुझे उस चीज़ का उदाहरण दे सकते हैं जो असंबद्ध और संबंधित है; या ठीक इसके विपरीत? मुझे यकीन नहीं है कि मुझे अंतर समझ में आ रहा है।

— मियां

और हाँ, मुझे पता है कि कोण 90 ° होगा। एक सही कोण है ओर्थोगोनल।

— मियां

$X$$\{-1,0,1\}$$Y=X^2$$X$$Y$$\rho_{X,Y}=0$$Y$$X$

आह हाँ, धन्यवाद। लेकिन इसके विपरीत संभव नहीं है, क्या यह (यदि कोई तीसरा चर या कुछ समान नहीं है)?

— मियां

Answer 7

Http://terpconnect.umd.edu/~bmomen/BIOM621/LineardepCorrOrthogonal.pdf के अनुसार , लीनियर इंडिपेंडेंस ऑर्थोगोनलिटी या अनियोजितता के लिए एक आवश्यक शर्त है। लेकिन बारीक भेद हैं, विशेष रूप से, ओर्थोगोनलिटी असंबद्धता नहीं है।

Answer 8

$(X,Y)$$X\cdot Y=0$

$$Cov(X-E[X],Y-E[Y]) = E[X\cdot Y]= E[0]=0\implies \\Corr(X-E[X],Y-E[Y])=0$$

Answer 9

अर्थमिति में, ऑर्थोगोनलिटी धारणा का अर्थ है सभी त्रुटियों के योग का अपेक्षित मूल्य 0. है। एक रजिस्ट्रार के सभी चर अपनी वर्तमान त्रुटि शर्तों के लिए ऑर्थोगोनल हैं।

गणितीय रूप से, ऑर्थोगोनलिटी धारणा ।$E(x_{i}·ε_{i}) = 0$

सरल शब्दों में, इसका मतलब है कि एक प्रतिगामी त्रुटि शब्द के लिए "लंबवत" है।

Answer 10

दो या अधिक IV के एक दूसरे से असंबंधित (स्वतंत्र) लेकिन दोनों का DV पर प्रभाव है। प्रत्येक IV अलग से परिणाम के लिए एक अलग मूल्य का योगदान देता है, जबकि दोनों या सभी IV भी आय की भविष्यवाणी में एक additive फैशन में योगदान देते हैं (orthogonal = गैर-प्रतिच्छेद IV के प्रभाव DV)। IV एक दूसरे के बीच गैर-सहसंबंधी हैं और आमतौर पर एक समकोण में स्थित हैं * वेन आरेख देखें।

उदाहरण: प्रेरणा के बीच संबंध और आय पर शिक्षा के वर्ष।

IV = शिक्षा के वर्ष IV = प्रेरणा डीवी = आय

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat505/node/167

Answer 11

संबंधित यादृच्छिक चर का मतलब है कि चर का कहना है कि X और Y का कोई संबंध हो सकता है; रैखिक या गैर रेखीय हो सकता है। स्वतंत्रता और ऑर्थोगोनल गुण समान हैं यदि दो चर रैखिक रूप से संबंधित हैं।

Comments

यह पागलों द्वारा की गई गलती को समाप्त करता है: जब तक कि संयुक्त रूप से सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है, तब तक orthogonality स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है।

— whuber