जेम्स-स्टीन अनुमानक असमान रूपांतरों के साथ

Question

जेम्स-स्टीन अनुमानक के हर बयान से मुझे लगता है कि रैंडम वैरिएबल का अनुमान एक ही (और यूनिट) विचरण है।

लेकिन इन सभी उदाहरणों में यह भी उल्लेख किया गया है कि जेएस अनुमानक का उपयोग मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जिनका एक दूसरे से कोई लेना-देना नहीं है। विकिपीडिया उदाहरण ताइवान में प्रकाश, चाय की खपत, और मोंटाना में हॉग वजन की गति है। लेकिन संभवतः इन तीन मात्राओं पर आपके मापों में भिन्न "सत्य" संस्करण होंगे। क्या यह एक समस्या पेश करता है?

: इस सवाल से संबंधित एक बड़ा वैचारिक समस्या यह है कि मुझे समझ नहीं आता में इस संबंध, जेम्स-स्टीन आकलनकर्ता: कैसे एफ्रोन और मॉरिस calculate किया उनके बेसबॉल उदाहरण के लिए संकोचन कारक में? $\sigma^2$हम सिकुड़न कारक गणना निम्नानुसार करते हैं:$c$

$$c = 1 - \frac{(k-3) \sigma^2} {\sum (y - \bar{y})^2}$$

Intuitively, मुझे लगता है कि होता है कि अवधि वास्तव में है σ 2 मैं - प्रत्येक मात्रा के लिए अलग होने का अनुमान किया जा रहा। लेकिन उस सवाल में चर्चा केवल जमा किए गए विचरण का उपयोग करने के बारे में बात करती है ...$\sigma^2$$\sigma^2_i$

मैं वास्तव में सराहना करता हूं अगर कोई भी इस भ्रम को साफ कर सकता है!

Comments

$D = \mbox{diag}(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2)$$D^{-1/2}$$D$$m_i$$D$$\hat D$$\hat D^{-1/2}$

— लड़का

@guy: यह एक समझदार सुझाव (+1) है, हालांकि इससे सभी चर के लिए एक ही सिकुड़न कारक होगा, जबकि कोई अपने चर / अनिश्चितता के आधार पर चर को अलग तरह से सिकोड़ना चाहेगा। जवाब देखिए जो मैंने अभी पोस्ट किया है।

— अमीबा

@ बेमेबा ज़रूर; मैं यह अनुमान नहीं लगा रहा था कि मेरा अनुमानक व्यावहारिक था, केवल यह सच है कि लोग ओपी द्वारा बताए गए चीजों को अपने दूसरे पैराग्राफ में क्यों कहते हैं।

— लड़का

Answer 1

यह प्रश्न स्पष्ट रूप से एफ़रोन और मॉरिस द्वारा 1970 के दशक में लिखे गए अनुभवजन्य बेस संदर्भ में जेम्स-स्टीन अनुमानक पर पत्रों की शास्त्रीय श्रृंखला में उत्तर दिया गया था। मैं मुख्य रूप से इसका उल्लेख कर रहा हूं:

1. एफ्रॉन और मॉरिस, 1973, स्टीन का अनुमान नियम और इसके प्रतियोगी - एक अनुभवजन्य बेयर्स दृष्टिकोण

2. एफ्रॉन और मॉरिस, 1975, स्टीन के अनुमानक और इसके सामान्यीकरण के साथ डेटा विश्लेषण

3. एफ्रॉन और मॉरिस, 1977, स्टीन के विरोधाभास सांख्यिकी में

$c$

हालांकि, वे एक और उदाहरण देने के लिए आगे बढ़ते हैं, जो अल सल्वाडोर के कई शहरों में टोक्सोप्लाज़मोसिज़ की दरों का अनुमान लगा रहा है। प्रत्येक शहर में अलग-अलग लोगों का सर्वेक्षण किया गया था, और इसलिए अलग-अलग टिप्पणियों (प्रत्येक शहर में टोक्सोप्लाज्मोसिस दर) के बारे में सोचा जा सकता है अलग-अलग संस्करण (सर्वेक्षण किए गए लोगों की संख्या जितनी कम होगी, उतना ही अधिक विचरण)। अंतर्ज्ञान निश्चित रूप से यह है कि कम विचरण (कम अनिश्चितता) वाले डेटा बिंदुओं को उच्च विचरण (उच्च अनिश्चितता) वाले डेटा बिंदुओं के रूप में दृढ़ता से सिकुड़ने की आवश्यकता नहीं है। उनके विश्लेषण का परिणाम निम्नलिखित आंकड़े पर दिखाया गया है, जहां यह वास्तव में देखा जा सकता है:

एक ही डेटा और विश्लेषण को अधिक तकनीकी रूप से 1975 के पेपर में प्रस्तुत किया गया है, बहुत अधिक सुरुचिपूर्ण आंकड़े में (दुर्भाग्य से हालांकि व्यक्तिगत संस्करण नहीं दिखाए जा रहे हैं), धारा 3 देखें:

$$X_i|\theta_i \sim \mathcal N(\theta_i, D_i)\\ \theta_i \sim \mathcal N(0, A)$$ $A$$D_i=1$$1/(1+A)$$(k-2)/\sum X_j ^2$$\theta_i$ $$\hat \theta_i = \left(1-\frac{1}{1+A}\right)X_i = \left(1-\frac{k-2}{\sum X_j^2}\right)X_i,$$

$D_i \ne 1$

$$\hat \theta_i = \left(1-\frac{D_i}{D_i+A}\right)X_i$$ $A$$\hat A$

$D_j$$\hat A_i$$k$

1973 के पेपर में संबंधित अनुभाग धारा 8 है, और यह थोड़ा कठिन है। दिलचस्प बात यह है कि उनके पास ऊपर टिप्पणी में @guy द्वारा किए गए सुझाव पर एक स्पष्ट टिप्पणी है:

$\tilde x_i = D_i^{-1/2} x_i, \tilde \theta_i = D_i^{-1/2} \theta_i$$\tilde x_i \sim \mathcal N(\tilde \theta_i, 1)$$\theta_i$

$$\hat \theta_i = \left(1-\frac{k-2}{\sum [X_j^2 / D_j]}\right)X_i.$$ $X_i$

$\hat A_i$