और क्या अंतर है ?

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आमतौर पर, और क्या अंतर है ? $E(X|Y)$ $E(X|Y=y)$

पूर्व का कार्य और बाद का का कार्य है ? यह बहुत भ्रामक है .. $y$ $x$

conditional-expectation notation definition

— 신범준
स्रोत

हम्म् ... उत्तरार्द्ध x का एक फ़ंक्शन नहीं होना चाहिए लेकिन एक संख्या! क्या मै गलत हु?

— डेविड

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मोटे तौर पर, और बीच का अंतर यह है कि पूर्व एक यादृच्छिक चर है, जबकि बाद वाला (कुछ अर्थों में) ) का बोध है । उदाहरण के लिए, यदि तो यादृच्छिक चर है इसके विपरीत, एक बार मनाया जाता है, हम और अधिक होने की संभावना मात्रा में रुचि होगी जो एक अदिश राशि है। $E(X \mid Y)$ $E(X \mid Y = y)$ $E(X \mid Y)$

(X, Y) \sim N (0, (1 ρ ρ 1))

$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$

E(X∣Y) $E(X \mid Y)$

E (X ∣ Y) = ρ Y .

$E(X \mid Y) = \rho Y.$

Y=y $Y = y$

E(X∣Y=y)=ρy $E(X \mid Y = y) = \rho y$

शायद यह अनावश्यक जटिलता की तरह लगता है, लेकिन अपने आप में एक यादृच्छिक चर के रूप में $E(X \mid Y)$ में है जो टॉवर-कानून जैसी चीजों $E(X) = E[E(X \mid Y)]$ को समझ में आता है। - ब्रेसिज़ के अंदर की चीज़ यादृच्छिक है, इसलिए हम पूछ सकते हैं कि इसकी अपेक्षा क्या है, जबकि बारे में कुछ भी यादृच्छिक नहीं है $E(X \mid Y = y)$ । ज्यादातर मामलों में हम गणना करने की उम्मीद कर सकते हैं

E (X ∣ Y = y) = \int x f X ∣ Y (x ∣ y) d x

$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$

और फिर परिणामी अभिव्यक्ति में स्थान पर यादृच्छिक चर में "प्लगिंग" करके प्राप्त करें। जैसा कि पहले की टिप्पणी में संकेत दिया गया था, थोड़ी सूक्ष्मता है जो इस बात से चिंतित हो सकती है कि इन चीजों को कठोरता से कैसे परिभाषित किया जाए और उन्हें उचित तरीके से जोड़ा जाए। यह अंतर्निहित सिद्धांत के साथ कुछ तकनीकी मुद्दों के कारण सशर्त संभावना के साथ होता है। $E(X \mid Y)$ $Y$ $y$

— पुरुष
स्रोत

8

मान लीजिए कि और यादृच्छिक चर हैं। $X$ $Y$

बता दें कि एक निश्चित वास्तविक संख्या है, कहें । फिर, एक संख्या है : यह की सशर्त अपेक्षित मान है जो का मान । अब, कुछ अन्य निश्चित वास्तविक संख्या लिए ध्यान दें , , को दिए गए सशर्त अपेक्षित मान (वास्तविक कहेंगे। संख्या)। ऐसा मानने का कोई कारण नहीं है कि और $y_0$ $y_0 = 1$ $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ $X$ $Y$ $1$ $y_1$ $y_1=1.5$ $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ $X$ $Y = 1.5$ $E[X\mid Y = 1.5]$ $E[X\mid Y = 1]$ एक ही मूल्य है। इस प्रकार, हम भी मानते हैं कर सकते हैं एक होने के रूप में वास्तविक मूल्य समारोह कि वास्तविक संख्या नक्शे वास्तविक संख्या को । ध्यान दें कि ओ पी के सवाल है कि में बयान की एक समारोह है गलत है: की एक वास्तविक मूल्य समारोह है । $E[X\mid Y=y]$ $g(y)$ $y$ $E[X\mid Y = y]$ $E[X\mid Y = y]$ $x$ $E[X\mid Y = y]$ $y$

दूसरी ओर, एक यादृच्छिक चर जो यादृच्छिक चर का एक कार्य होता है । अब, जब भी हम लिखते हैं , तो हमारा मतलब यह है कि जब भी यादृच्छिक चर का मान होता है , यादृच्छिक चर का मान । जब भी मूल्य पर ले जाता है , यादृच्छिक चर मूल्य । इस प्रकार, यादृच्छिक चर एक और नाम है $E[X\mid Y]$ $Z$ $Y$ $Z = h(Y)$ $Y$ $y$ $Z$ $h(y)$ $Y$ $y$ $Z = E[X\mid Y]$ $E[X\mid Y = y] = g(y)$ $E[X\mid Y]$ $Z = g(Y)$ । ध्यान दें कि की एक समारोह है (नहीं ओ पी के सवाल के बयान के रूप में)। $E[X\mid Y]$ $Y$ $y$

एक सरल उदाहरण के रूप में, मान लें कि और संयुक्त वितरण के साथ यादृच्छिक चर असतत हैं ध्यान दें कि और (निर्भर) कर रहे हैं Bernoulli मानकों के साथ यादृच्छिक परिवर्तनीय और क्रमशः, और इसलिए और । अब, ध्यान दें कि पर वातानुकूलित है , एक बर्नौली यादृच्छिक चर है जिसका पैरामीटर जबकि वातानुकूलित है $X$ $Y$

P (X = 0, Y = 0) P (X = 1, Y = 0) = 0.1, P (X = 0, Y = 1) = 0.2, = 0.3, P (X = 1, Y = 1) = 0.4.

$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$

X $X$

Y $Y$

0.7 $0.7$

0.6 $0.6$

E[X]=0.7 $E[X] = 0.7$

E[Y]=0.6 $E[Y] = 0.6$

Y=0 $Y=0$

X $X$

0.75 $0.75$ पर , पैरामीटर के साथ एक Bernoulli यादृच्छिक चर है । यदि आप यह नहीं देख पा रहे हैं कि ऐसा क्यों है, तो बस विवरण तैयार करें: उदाहरण के लिए और इसी तरह और । इसलिए, हमारे पास इस प्रकार, जहां गुणों का आनंद लेने वाला एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है:

Y=1 $Y = 1$

X $X$

23 $\frac 23$

P (X = 1 ∣ Y = 0) = P ( X = 1 , Y = 0 ) P ( Y = 0 ) = 0.3 0.4 = 3 4, P (X = 0 ∣ Y = 0) = P ( X = 0 , Y = 0 ) P ( Y = 0 ) = 0.1 0.4 = 1 4,

$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$

P(X=1∣Y=1) $P(X=1\mid Y=1)$

P(X=0∣Y=1) $P(X=0\mid Y = 1)$

E [X ∣ Y = 0] = 3 4, E [X ∣ Y = 1] = 2 3 .

$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$

E[X∣Y=y]=g(y) $E[X\mid Y = y] = g(y)$

g(y) $g(y)$

g (0) = 3 4, g (1) = 2 3 .

$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$

दूसरी ओर, एक यादृच्छिक चर है जो मानों पर और को संभावनाओं के साथ लेता है और क्रमशः। ध्यान दें कि एक है असतत यादृच्छिक चर लेकिन नहीं है एक Bernoulli यादृच्छिक चर। $E[X\mid Y] = g(Y)$ $\frac 34$ $\frac 23$ $0.4 = P(Y=0)$ $0.6 = P(Y=1)$ $E[X\mid Y]$

अंतिम स्पर्श के रूप में, ध्यान दें कि यही है, के इस फ़ंक्शन का अपेक्षित मूल्य , जिसे हमने केवल के सीमांत वितरण का उपयोग करके गणना की है , के समान ही संख्यात्मक मान है !! यह एक अधिक सामान्य परिणाम का एक उदाहरण है जो कई लोग मानते हैं कि एक LIE है:

E [Z] = E [E [X ∣ Y]] = E [g (Y)] = 0.4 \times 3 4 + 0.6 \times 2 3 = 0.7 = E [X] .

$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$

Y $Y$

E[X] $E[X]$

E [E [X ∣ Y]] = E [X] .

$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$

क्षमा करें, यह सिर्फ एक छोटा सा मजाक है। LIE लॉ ऑफ इटरेटेड एक्सपेक्टेशन के लिए एक परिचित है जो कि पूरी तरह से वैध परिणाम है जो सभी का मानना है कि सच्चाई है।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

3

$E(X|Y)$ एक यादृच्छिक चर की उम्मीद है: पर सशर्त की अपेक्षा । दूसरी ओर, , एक विशेष मूल्य है: का अपेक्षित मूल्य जब । $X$ $Y$ $E(X|Y=y)$ $X$ $Y=y$

इसे इस तरह से सोचें: , कैलोरी सेवन का प्रतिनिधित्व करता है और ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करता है। तब कैलोरी सेवन, ऊंचाई पर सशर्त है - और इस मामले में, कैलोरी सेवन ( ) में हमारे सबसे अच्छे अनुमान का प्रतिनिधित्व करता है जब किसी व्यक्ति की निश्चित ऊंचाई , 180 सेंटीमीटर कहते हैं। $X$ $Y$ $E(X|Y)$ $E(X|Y=y)$ $X$ $Y = y$

— abaumann
स्रोत

4

मेरा मानना है कि आपका पहला वाक्य "वितरण" को "उम्मीद" (दो बार) से बदलना चाहिए।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

4

E(X∣Y) $E(X\mid Y)$ के वितरण नहीं है दिया ; यह सशर्त घनत्व या सशर्त वितरण फ़ंक्शन द्वारा अधिक सामान्यतः निरूपित किया जाएगा । दी गई की सशर्त अपेक्षा है , जो -measurable यादृच्छिक चर है। को यादृच्छिक चर के एहसास के रूप में माना जा सकता है जब मनाया जाता है (लेकिन रेंगने के लिए उपाय-सिद्धांत संबंधी सूक्ष्मता की संभावना है)।

X $X$

Y $Y$

fX∣Y(x∣y) $f_{X \mid Y} (x \mid y)$

E(X∣Y) $E(X \mid Y)$

X $X$

Y $Y$

E(X∣Y=y) $E(X \mid Y = y)$

E(X∣Y) $E(X \mid Y)$

Y=y $Y = y$

— लड़का

1

@guy आपका स्पष्टीकरण अभी तक प्रदान किया गया पहला सटीक उत्तर है (अब तक दिए गए तीन में से)। क्या आप इसे उत्तर के रूप में पोस्ट करने पर विचार करेंगे?

— whuber

@whuber मैं करूंगा लेकिन मुझे यकीन है कि इस सवाल का जवाब उपयुक्त रूप से ओ पी के लिए उपयोगी सटीकता और बनाने के बीच संतुलन कायम करने के लिए कैसे और मैं तकनीकी पर ऊपर फिसल होने के बारे में पागल हूँ :) नहीं कर रहा हूँ

— पुरुष

@ Guy मुझे लगता है कि आप पहले से ही तकनीकी के साथ एक अच्छा काम कर चुके हैं। चूंकि आप ओपी के साथ अच्छी तरह से संवाद करने के बारे में संवेदनशील हैं (जो महान है!), उदाहरण के लिए उदाहरण के लिए उदाहरण देने पर विचार करें - शायद बाइनरी मार्जिन के साथ एक संयुक्त वितरण।

— whuber

1

की उम्मीद है के मूल्यों के मूल्य के दिए गए मूल्यों की उम्मीद के मूल्य में है का मान दिया है $E(X|Y)$ $X$ $Y$ $E(X|Y=y)$ $X$ $Y$ $y$

आम तौर पर मूल्यों की संभावना है दिए गए मान , लेकिन आप और अधिक सटीक हो और कह सकते हैं , का मूल्य यानी संभावना सब से 'को देखते हुए एस वें' मान । अंतर यह है कि पहले मामले में यह "मूल्यों" के बारे में है और दूसरे में आप एक निश्चित मूल्य पर विचार करते हैं। $P(X|Y)$ $X$ $Y$ $P(X=x|Y=y)$ $x$ $X$ $y$ $Y$

आप नीचे दिए गए चित्र को मददगार पा सकते हैं।

Bayes theorem diagram form Wikipedia

— टिम
स्रोत

यह उत्तर संभावना पर चर्चा करता है, जबकि प्रश्न अपेक्षा के बारे में पूछता है। कनेक्शन क्या है?

— whuber