क्या नकारात्मक द्विपद घातीय परिवार में अभिव्यक्त नहीं है यदि 2 अज्ञात हैं?

मेरे पास नकारात्मक द्विपद वितरण को व्यक्त करने के लिए एक होमवर्क असाइनमेंट था क्योंकि वितरण का एक घातीय परिवार दिया गया था कि फैलाव पैरामीटर एक ज्ञात स्थिरांक था। यह काफी आसान था, लेकिन मुझे आश्चर्य था कि हमें उस पैरामीटर को निर्धारित करने की आवश्यकता क्यों होगी। मैंने पाया कि मैं इसे अज्ञात रूप से दो मापदंडों के साथ सही रूप में रखने का तरीका नहीं बता सकता।

ऑनलाइन खोज करने पर, मैंने दावा किया कि यह संभव नहीं है। हालांकि, मुझे इस बात का कोई सबूत नहीं मिला है कि यह सच है। मैं खुद के साथ भी नहीं आ सकता। क्या किसी के पास इसका प्रमाण है?

जैसा कि नीचे अनुरोध किया गया है, मैंने कुछ दावों को संलग्न किया है:

"निश्चित संख्या में विफलताओं (उर्फ स्टॉपिंग-टाइम पैरामीटर) आर के साथ नकारात्मक द्विपद वितरण का परिवार एक घातीय परिवार है। हालांकि, जब उपर्युक्त तय मापदंडों में से किसी को भी भिन्न होने की अनुमति दी जाती है, तो परिणामस्वरूप परिवार एक घातीय परिवार नहीं होता है। " http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

"दो-पैरामीटर नकारात्मक द्विपद वितरण घातीय परिवार का सदस्य नहीं है। लेकिन यदि हम फैलाव पैरामीटर को ज्ञात, स्थिर स्थिरांक के रूप में मानते हैं, तो यह एक सदस्य है।" http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

— लैरी
स्रोत

मैंने ऊपर कुछ दावे जोड़े।

— लैरी

यदि आप पूर्णांकों के सेट पर गिनती के माप के खिलाफ ऋणात्मक द्विपद वितरण के घनत्व को देखते हैं, तो भाग इस घनत्व में नहीं हो सकता के रूप में व्यक्त ।

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

— शीआन
स्रोत