डेल्टा-विधि का उपयोग कैसे करें जबकि प्रथम-क्रम व्युत्पन्न शून्य है?

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_method
विकिपीडिया लेख में, यह माना गया था कि का अस्तित्व होना चाहिए और यह कि g ′ ( θ ) गैर-शून्य मूल्यवान है। क्या यह संभव है के लिए asymptotic वितरण को खोजने के लिए $g'(\theta)$$g'(\theta)$
है जो दिए गएजी'(θ)शून्य और हो सकता है$\sqrt{n}(g(X_n)-g(\theta))$
$g'(\theta)$?$\sqrt{n}(X_n-\theta) \stackrel{d}{\rightarrow} N(0,\sigma^2)$

Answer 1

जब पहली व्युत्पन्न 0 है तो आप दूसरे क्रम के डेल्टा विधि का उपयोग कर सकते हैं।

शिथिल:

$g(X_n)=g(\theta+X_n-\theta)=g(\theta)+(X_n-\theta)g'(\theta)+(X_n-\theta)^2/2\cdot g''(\theta)+o_p(1)$

तो $g(X_n)-g(\theta)= \frac{g''(\theta)}{2} (X_n-\theta)^2 +o_p(1)$

लेकिन $n(X_n-\theta)^2/\sigma^2\stackrel{d}{\to} \chi^2_1$

... इत्यादि।