सीडीएफ एक शक्ति के लिए उठाया?

यदि $F_Z$ एक CDF है, तो ऐसा लगता है कि $F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ ) एक CDF है।

प्रश्न: क्या यह एक मानक परिणाम है?

प्रश्न: वहाँ एक अच्छा तरीका है एक समारोह को खोजने के लिए है $g$ के साथ $X \equiv g(Z)$ सेंट $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ , जहां $x \equiv g(z)$

मूल रूप से, मेरे पास हाथ में एक और सीडीएफ है, $F_Z(z)^\alpha$ । कुछ कम रूप में समझ में आता है कि मैं यादृच्छिक चर कि CDF का उत्पादन करता हूं।

संपादित करें: अगर मैं विशेष मामले के लिए एक विश्लेषणात्मक परिणाम मिल सकता है मैं खुशी होगी $Z \sim N(0,1)$ । या कम से कम जानते हैं कि इस तरह का परिणाम अचूक है।

data-transformation cdf quantile-function

— lowndrul
स्रोत

हाँ, यह एक बहुत प्रसिद्ध परिणाम है और सामान्यीकरण करना आसान है। (कैसे?) आप

भी पा सकते हैं

g

$g$ , कम से कम निहित। यह अनिवार्य रूप से व्युत्क्रम का एक अनुप्रयोग है जो संभवतः तकनीक को रूपांतरित करता है जिसका उपयोग आमतौर पर एक मनमाने ढंग से वितरण के यादृच्छिक चर उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।

— कार्डिनल

@cardinal कृपया, जवाब दें। टीम बाद में शिकायत कर रही है कि हम कम जवाब अनुपात के साथ नहीं लड़ रहे हैं।

@mbq: आपकी टिप्पणियों के लिए धन्यवाद, जो मैं समझता हूं और बहुत सम्मान करता हूं। कृपया समझें कि कभी-कभी समय और / या स्थान के विचार मुझे उत्तर पोस्ट करने की अनुमति नहीं देते हैं, लेकिन एक त्वरित टिप्पणी की अनुमति देते हैं जो ओपी या अन्य प्रतिभागियों को एक शुरुआत से दूर कर सकती है। आश्वस्त रहें कि, आगे जाकर, यदि मैं उत्तर पोस्ट करने में सक्षम हूं, तो मैं ऐसा करूंगा। उम्मीद है कि टिप्पणियों के माध्यम से मेरी निरंतर भागीदारी ठीक भी होगी।

— कार्डिनल

@cardinal हम में से कुछ एक ही कारण के लिए, एक ही करने का दोषी भी कर रहे हैं ...

— whuber

@brianjd हां, यह एक प्रसिद्ध परिणाम है जिसका उपयोग औद्योगिक रूप से "सामान्यीकृत" वितरणों के लिए किया गया है, देखें । इस तरह के कई परिवर्तन मौजूद हैं और लोग उन्हें इस उद्देश्य के लिए उपयोग करते हैं: वे एक पैरामीट्रिक परिवर्तन पाते हैं, इसे एक वितरण और वायलैला पर लागू करते हैं, आपके पास सिर्फ इसके गुणों की गणना करके एक पेपर है। और निश्चित रूप से, सामान्य पहला 'शिकार' है।

जवाबों:

मुझे अन्य उत्तर पसंद हैं, लेकिन किसी ने अभी तक निम्नलिखित का उल्लेख नहीं किया है। घटना होता है यदि और केवल यदि , इसलिए यदि और स्वतंत्र और कर रहे हैं , तो $\{U \leq t,\ V\leq t \}$ $\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ $U$ $V$ $W = \mathrm{max}(U,V)$ तो के लिए एक सकारात्मक पूर्णांक (जैसे कि, ) ले जहां के हैं आईआईडी $F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ $\alpha$ $\alpha = n$ $X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$ $Z$

के लिए हम प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं switcheroo , इसलिए कि यादृच्छिक चर ऐसी है कि की अधिकतम होगा स्वतंत्र प्रतियां के रूप में ही वितरण है (और यह हमारे परिचित दोस्तों में से एक नहीं होगा , सामान्य रूप में)। $\alpha = 1/n$ $F_{Z} = F_{X}^n$ $X$ $n$ $Z$

का मामला एक सकारात्मक परिमेय संख्या (कहते हैं, ) पिछले के बाद से $\alpha$ $\alpha = m/n$

{(F_{Z})}^{m / n} = {(F_{Z}^{1 / n})}^{m} .

$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$

के लिए एक अपरिमेय, सकारात्मक परिमेय के अनुक्रम का चयन अभिसारी को ; फिर अनुक्रम (जहाँ हम प्रत्येक लिए हमारे उपरोक्त ट्रिक्स का उपयोग कर सकते हैं ) वितरण में वांछित होगा। $\alpha$ $a_{k}$ $\alpha$ $X_{k}$ $k$ $X$

उनकी यह खासियत आप देख रहे हैं नहीं हो सकता है, लेकिन यह कम से कम कैसे के बारे में सोचना के कुछ विचार देता है के लिए उपयुक्त रूप से अच्छा। दूसरी ओर, मुझे वास्तव में यह निश्चित नहीं है कि यह वास्तव में कितना अच्छा हो सकता है: आपके पास पहले से ही सीडीएफ है, इसलिए श्रृंखला नियम आपको पीडीएफ देता है, और आप सूर्य के अस्त होने तक के क्षणों की गणना कर सकते हैं ...? यह सच है सबसे कि की एक नहीं होगा उस के लिए परिचित है $F_{Z}^{\alpha}$ $\alpha$ $Z$ $X$ , लेकिन अगर मैं कुछ दिलचस्प देखने के लिए एक उदाहरण के साथ खेलना चाहता था तो मैं,साथ इकाई अंतराल पर समान रूप से वितरितकोशिश कर सकता हूं। $\alpha = \sqrt{2}$ $Z$ $F(z) = z$ $0<z<1$

संपादित करें: मैंने @JMS उत्तर में कुछ टिप्पणियां लिखी हैं, और मेरे अंकगणित के बारे में एक सवाल था, इसलिए मैं लिखूंगा कि मैं इस उम्मीद में क्या मतलब था कि यह अधिक स्पष्ट है।

@JMS उत्तर के लिए टिप्पणी में @cardinal ने लिखा है कि समस्या सरल है या अधिक सामान्यतः जब आवश्यक नहीं है , हम है

g^{- 1} (y) = Φ^{- 1} (Φ^{α} (y)),

$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$

Z

$Z$

N (0, 1)

$N(0,1)$

x = g^{- 1} (y) = F^{- 1} (F^{α} (y)) .

$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$ मेरा कहना था कि जब

का अच्छा उलटा कार्य होता है तो हम मूल बीजगणित के साथ केवल

फ़ंक्शन के लिए हल कर सकते हैं । मैंने टिप्पणी में लिखा है कि

को

F

$F$

y = g (x)

$y = g(x)$

g

$g$

y = g (x) = F^{- 1} (F^{1 / α} (x)) .

$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$

चलो एक विशेष मामला लेते हैं, चीजों को प्लग करते हैं और देखते हैं कि यह कैसे काम करता है। चलो CDF के साथ, एक ऍक्स्प (1) वितरण और उलटा CDF को खोजने के लिए सब कुछ प्लग करना आसान है ; हो जाने के बाद हम $X$

F (x) = (1 - e^{- x}), x > 0,

$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$

F^{- 1} (y) = - \ln (1 - y) .

$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$

g

$g$

तो, सारांश में, मेरा दावा है कि अगर

और अगर हम परिभाषित

तो

में एक CDF होगा जो

y = g (x) = - \ln (1 - (1 - e^{- x})^{1 / α})

$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$

X \sim E x p (1)

$X \sim \mathrm{Exp}(1)$

Y = - \ln (1 - (1 - e^{- X})^{1 / α}),

$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$

Y

$Y$

हम (कम से नज़र सीधे यह साबित कर सकते हैं

अभिव्यक्ति पाने के लिए और उपयोग बीजगणित, अंतिम चरण के बगल में हम रूपांतरण संभावना इंटीग्रल की जरूरत है)। बस (अक्सर दोहराया गया) मामले में कि मैं पागल हूं, मैंने कुछ सिमुलेशन चलाकर यह जांचने के लिए कि यह काम करता है, ... और यह करता है। निचे देखो। मैं दो तथ्यों का इस्तेमाल किया कोड आसान बनाने के लिए:

F_{Y} (y) = {(1 - e^{- y})}^{α} .

$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$

P (Y \leq y)

$P(Y \leq y)$

If X \sim F then U = F (X) \sim U n i f (0, 1) .

$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$

If U \sim U n i f (0, 1) then U^{1 / α} \sim B e t a (α, 1) .

$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$

अनुकार परिणामों की साजिश इस प्रकार है।

ECDF and F to the alpha

प्लॉट (माइनस लेबल) उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाने वाला आर कोड है

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

फिट बहुत अच्छा लग रहा है, मुझे लगता है? शायद मैं पागल नहीं हूँ (इस बार)?

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim N(0,1)$

g (z) = Φ^{- 1} (Φ^{1 / α} (z))

$g(z) = \Phi^{-1}(\Phi^{1/\alpha}(z))$

अच्छा होगा कि आप अपने अंकगणित की दोबारा जाँच करें।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल इर्रर ... ओके, मैंने किया, ... और यह सही है? क्या आप कृपया त्रुटि को इंगित करेंगे?

(+1) माफी। मुझे यकीन नहीं है कि मेरा सिर तब था जब मैंने पहली बार इस पर ध्यान दिया था। यह स्पष्ट रूप से (ठीक है, होना चाहिए था!) सही है।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल, कोई नुकसान नहीं, कोई बेईमानी नहीं। मैं मानता हूँ, हालांकि, तुम सच में मुझे एक मिनट के लिए पसीना आ रहा था! :-)

बिना शब्दों के प्रमाण

enter image description here

नीली नीली वक्र है $F$ ऊपरी लाल वक्र है $F^\alpha$ (मामला टाइप कर रहा है $\alpha \lt 1$ ), और तीर दिखाते हैं कि कैसे जाना है $z$ सेवा $x = g(z)$ ।

— व्हीबर
स्रोत

अच्छा चित्र! क्यू: क्या उस में तैयार किया गया था? TikZ?

— lowndrul

@brianjd: यदि मुझे याद है, तो @whuber ने मैथमेटिका का उपयोग करते हुए अपने कई प्लॉट किए।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल तुम सही हो। वास्तव में, मैं जो भी काम करता हूं उसका उपयोग करता हूं और ऐसा लगता है कि यह जल्दी से अच्छा काम करेगा। Fwiw, यहाँ कोड है:

Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}],  Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]

— whuber

Q1) हाँ। यह उन चर उत्पन्न करने के लिए भी उपयोगी है जो स्टोचस्टली ऑर्डर किए गए हैं; आप इसे @ व्हीबर की सुंदर तस्वीर :) से देख सकते हैं। $\alpha>1$ स्टोकेस्टिक ऑर्डर स्वैप करता है।

यह एक मान्य cdf है जो अपेक्षित शर्तों को सत्यापित करने का एक मामला है: $F_z(z)^\alpha$ Cadlag , nondecreasing और सीमा तक होना चाहिए $1$ अनंत पर और $0$ नकारात्मक अनंत पर। $F_z$ इन गुणों की वजह से ये सभी दिखाना आसान है।

Q2) लगता है जैसे यह विश्लेषणात्मक रूप से बहुत मुश्किल होगा, जब तक कि $F_Z$ विशेष है

— JMS
स्रोत

@ जेएमएस: किस बारे में

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$ ?

— प्रात:

@brianjd: मुझे ऐसा नहीं लगता। चलो

g

$g$ एक निरंतर कड़ाई से मोनोटोनिक फ़ंक्शन हो (इसलिए, एक अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्क्रम है

g^{- 1}

$g^{-1}$ ) जो आपकी शर्तों को पूरा करता है। फिर, यह होना चाहिए

Φ^{α} (u) = P (g (Z) \leq u) = P (Z \leq g^{- 1} (u)) = Φ (g^{- 1} (u))

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Phi^{\alpha}(u) = \Pr(g(Z) \leq u) = \Pr( Z \leq g^{-1}(u)) = \Phi(g^{-1}(u))$ and so

g^{- 1} (u) = Φ^{- 1} (Φ^{α} (u))

$g^{-1}(u) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(u))$ . So the inverse is identified fairly explicitly, but not

g

$g$ itself. This is what I meant in my previous comment about

g

$g$ being found implicitly.

— cardinal

@brianjd - What @cardinal said :) I couldn't even think of a special case for

F_{Z}

$F_Z$ where you'd get a closed form (not to say there isn't one of course).

— JMS

@JMS:

Z \sim U [0, 1]

$Z \sim \mathcal{U}[0,1]$ would be one positive example.

— cardinal

@cardinal I never would have thought of such a rare distribution... but now that you mention it a

B e t a (a, 1)

$Beta(a, 1)$ should work in general, giving you back a

B e t a (a α, 1)

$Beta(a\alpha, 1)$ .

— JMS