एक निरंतरता के लिए संभाव्यता में अभिसरण अनुकरण

Question

कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा एसिम्प्टोटिक परिणाम साबित नहीं किए जा सकते हैं , क्योंकि वे अनन्तता की अवधारणा से जुड़े बयान हैं। लेकिन हमें यह समझने में सक्षम होना चाहिए कि चीजें वास्तव में उस तरह से मार्च करती हैं जो सिद्धांत हमें बताता है।

सैद्धांतिक परिणाम

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n|>\epsilon) = 0, \qquad \epsilon >0$$

जहां X_n n यादृच्छिक चर $X_n$का एक कार्य है , पहचान और स्वतंत्र रूप से वितरित कहते हैं। यह कहता है कि X_n संभावना को शून्य में परिवर्तित करता है। यहाँ मैं जो अनुमान लगाता हूँ, वह एक उदाहरण है जहाँ X_n नमूना माध्य है, जो नमूने के iidrv का सामान्य अपेक्षित मान घटाता है,$n$$X_n$$X_n$

$$X_n = \frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - E[Y_1]$$

प्रश्न: हम आवश्यक रूप से परिमित नमूनों से कंप्यूटर सिमुलेशन परिणामों का उपयोग करके किसी व्यक्ति को यह कैसे दिखा सकते हैं कि उपरोक्त संबंध "वास्तविक दुनिया में भौतिकताएं" हैं?

कृपया ध्यान दें कि मैंने विशेष रूप से एक अभिसरण के लिए अभिसरण चुना है ।

मैं एक उत्तर के रूप में अपने दृष्टिकोण के नीचे प्रदान करता हूं, और मैं बेहतर लोगों के लिए आशा करता हूं।

अद्यतन करें: मेरे सिर के पीछे कुछ मुझे परेशान कर दिया और-मुझे पता चला कि क्या। मैंने एक पुराने सवाल को खोदा, जिसमें टिप्पणियों में से एक के जवाब पर सबसे दिलचस्प चर्चा हुई । वहां, @Cardinal ने एक अनुमानक का उदाहरण दिया कि यह सुसंगत है लेकिन इसका विचरण गैर-शून्य और परिमित रूप से बना रहता है। तो मेरे प्रश्न का एक कठिन संस्करण बन जाता है: हम कैसे अनुकरण द्वारा दिखाते हैं कि एक आँकड़ा एक निरंतरता की संभावना में परिवर्तित होता है, जब यह आँकड़ा गैर-शून्य और परिमित रूप से विषमता बनाए रखता है?

Comments

@Glen_b आप से आ रहा है, यह एक बिल्ला के बराबर है। धन्यवाद।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

इस बारे में हर अब और फिर सोच रहा हूँ और सभी के साथ मैं 'अर्थ-तर्क के आसपास एकाग्रता; मुझे उम्मीद है कि यहां के कुछ चतुर लोगों के पास कुछ दिलचस्प लिखने का समय है! (निश्चित रूप से!)

— एकवैल

Answer 1

मैं वितरण समारोह (विशिष्ट मामले में एक पूरक रूप में बारे में सोचता हूं । चूँकि मैं कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग करना चाहता हूं ताकि चीजें यह प्रदर्शित करें कि जिस तरह से सैद्धांतिक परिणाम हमें बताता है, मुझे अनुभवजन्य वितरण समारोह का निर्माण करने की आवश्यकता है, या अनुभवजन्य सापेक्ष आवृत्ति वितरण, और फिर किसी भी तरह रूप में दिखाते हैं कि , के मान "अधिक से अधिक" शून्य पर ध्यान केंद्रित करें। $P()$$|X_n|$$n$$|X_n|$

अनुभवजन्य सापेक्ष आवृत्ति फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए, मुझे आकार में बढ़ते हुए एक से अधिक नमूने की आवश्यकता है (क्योंकि), जैसा कि नमूना आकार बढ़ता है, का वितरणप्रत्येक भिन्न लिए परिवर्तन । $|X_n|$$n$

इसलिए मुझे के के वितरण से उत्पन्न होने की आवश्यकता है , "नमूने" समानांतर में ", हजारों में लेकर, कुछ प्रारंभिक आकार के प्रत्येक , हजारों के दसियों में कहें । मुझे इसके बाद के मान की गणना करने की आवश्यकता है प्रत्येक नमूने से (और उसी ), अर्थात मानों का सेट प्राप्त करें |$Y_i$$m$$m$$n$$n$$|X_n|$$n$$\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$

इन मूल्यों का उपयोग अनुभवजन्य सापेक्ष आवृत्ति वितरण के निर्माण के लिए किया जा सकता है। सैद्धांतिक परिणाम में विश्वास रखने के बाद, मुझे उम्मीद है कि "a lot" के मूल्यों का"शून्य के करीब" बहुत निश्चित रूप से होगा, लेकिन सभी नहीं। $|X_n|$

तो यह दिखाने के लिए कि मानवास्तव में अधिक से अधिक संख्या में शून्य की ओर मार्च करते हैं, मुझे इस प्रक्रिया को दोहराना होगा, कहने के लिए नमूना आकार बढ़ाना होगा , और यह दिखाना होगा कि अब शून्य "एकाग्रता" बढ़ गया है। स्पष्ट रूप से यह दिखाने के लिए कि यह बढ़ गया है, किसी को लिए एक अनुभवजन्य मूल्य निर्दिष्ट करना चाहिए ।$|X_n|$$2n$$\epsilon$

क्या यह पर्याप्त होगा? क्या हम किसी तरह इस "एकाग्रता में वृद्धि" को औपचारिक रूप दे सकते हैं? इस प्रक्रिया को, यदि अधिक "नमूना-आकार में वृद्धि" चरणों में किया जाता है, और एक दूसरे के करीब होने के नाते, हमें अभिसरण की वास्तविक दर के बारे में कुछ अनुमान प्रदान करता है , यानी "अनुभवजन्य संभाव्यता द्रव्यमान" जैसा कि कुछ सीमा से नीचे चला जाता है। प्रत्येक स्टेप ", कहते हैं, एक हजार? $n$

या, थ्रेशोल्ड के मूल्य की जांच करें, जिसके लिए % संभावना नीचे बताई गई है, और देखें कि परिमाण में का यह मान कैसे कम हो जाता है?$90$$\epsilon$

एक उदाहरण

के होने पर विचार करें और इसी तरह$Y_i$$U(0,1)$

$$|X_n| = \left|\frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - \frac 12\right|$$

हम पहले आकार के प्रत्येक के नमूने उत्पन्न करते हैं। अनुभवजन्य सापेक्ष आवृत्ति वितरणकी तरह लगता है $m=1,000$$n=10,000$$|X_{10,000}|$

और हम ध्यान दें कि मानों का %छोटे हैं तो । $90.10$$|X_{10,000}|$$0.0046155$

अगला मैं नमूना आकार को तक बढ़ाता हूं । अब अनुभवजन्य सापेक्ष आवृत्ति वितरणजैसा दिखता है और हम ध्यान देते हैं कि % का मान से नीचे हैं । वैकल्पिक रूप से, अब % मूल्य नीचे ।$n=20,000$$|X_{20,000}|$$91.80$$|X_{20,000}|$$0.0037101$$98.00$$0.0045217$

क्या आप इस तरह के प्रदर्शन से सहमत होंगे?

Comments

नहीं, मैं इस तरह के किसी भी प्रदर्शन के लिए राजी नहीं होता, अगर वह सब पेश किया जाता। यह दावा किए गए परिणाम और एक परिणाम के बीच अंतर करने में असमर्थ है जिसमें एक गैर-अक्षीय वितरण से बहुत कम मात्रा में संदूषण होता है। किसी भी कंप्यूटर सिमुलेशन, वास्तव में प्रेरक होने के लिए, तर्क के साथ होना चाहिए जो इस तरह की घटनाओं को नियंत्रित करेगा। (मैं हाल ही में इस बात का एक नमूना आकार के लिए बाहर चला गया सिमुलेशन की एक श्रृंखला आयोजित -, लेकिन अभी भी परिणाम से राजी नहीं किया गया था, हालांकि वे बहुत विचारोत्तेजक थे लिखने में कोई त्रुटि नहीं है --that!)$10^{1000}$

— whuber

@ आप जो लिखते हैं वह बहुत दिलचस्प लगता है। क्या ये सिमुलेशन आप कुछ प्रारंभिक वास्तविक डेटा के आधार पर उल्लेख कर रहे हैं, जिसमें से वितरण जहां अनुमानित और फिर अतिरिक्त कृत्रिम डेटा उत्पन्न हुए थे? या यह शुरू से ही कृत्रिम था? यदि गोपनीयता कोई मुद्दा नहीं है, और समय की अनुमति है, तो मैं व्यक्तिगत रूप से आपका एक उत्तर देखना चाहूंगा कि ये सिमुलेशन कैसे विकसित हुए और क्यों संदेह बना रहा।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

यह कृत्रिम डेटा था। मैंने आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 104875/… पर एक टिप्पणी का समर्थन करने के लिए इन सिमुलेशन का प्रदर्शन किया । आप तुरंत देखेंगे कि इस तरह के एक बड़े सिमुलेशन को कैसे किया जा सकता है: बर्नौली वितरण से का एक नमूना उत्पन्न करने के लिए आप बस एक द्विपद वितरण से एक ही मूल्य खींचते हैं । जब पर्याप्त रूप से बड़ा होता है, तो आप सामान्य वितरण से एक मान निकाल सकते हैं । मुख्य चाल अंकों की सटीकता के साथ ऐसा कर रही है :-)। $N$$(1/2)$$(N,1/2)$$N$$(N/2, \sqrt{N}/2)$$1000$

— whuber

@Whuber धन्यवाद, मैं इस पर काम करूंगा। वैसे, आप जिस प्रश्न का उल्लेख करते हैं, उसमें दिए गए उत्तर और आपकी टिप्पणियों ने मुझे गैर-सामान्य नमूनों से नमूना विचरण के दोनों स्पर्शोन्मुख वितरण की गहराई से जांच करने के लिए निर्धारित किया है, साथ ही साथ स्लटस्की के प्रमेय की प्रयोज्यता भी है उत्तर में इस्तेमाल किया। मुझे उम्मीद है कि मुझे अंततः साझा करने के लिए कुछ परिणाम होंगे।

— एलेकोस पापाडोपोलोस