मोंटे कार्लो पाई अनुमान की गलतफहमी

Question

मुझे पूरा यकीन है कि मैं समझता हूं कि मोंटे कार्लो एकीकरण कैसे काम करता है लेकिन मैं इस बात को नहीं समझ पा रहा हूं कि इसका उपयोग पाई का अनुमान लगाने के लिए कैसे किया जाता है। मैं इस प्रस्तुति की 5 वीं स्लाइड में उल्लिखित प्रक्रिया से जा रहा हूं। http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

मैं प्रारंभिक चरणों को समझता हूं। पाई यूनिट सर्कल के एक चौथाई के क्षेत्र के बराबर है। और (0,0) पर केन्द्रित इकाई वृत्त के शीर्ष-दाईं ओर का क्षेत्र वक्र के अभिन्न अंग के बराबर है जो कि इकाई चक्र का शीर्ष-दाईं ओर और । $0<x<1$$0<y<1$

मुझे समझ में नहीं आता कि यह कैसा अभिन्न है

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

जहां $P(x,y)$ को समान रूप से क्वार्टर सर्कल के चारों ओर यूनिट स्क्वायर में वितरित किया जाता है (अर्थात यह हमेशा 1 के बराबर होता है यदि $0<x<1$ और $0<y<1$ और 0 अन्यथा)। तो इसका मतलब यह होगा कि $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
वह कार्य है जो $0<x<1$ और 0 <y < पर इकाई सर्कल के शीर्ष-दाएं चतुर्थांश है। 1$0<y<1$ लेकिन मुझे समझ में नहीं आता कि यह कैसे सही है क्योंकि सूचक फ़ंक्शन केवल 1 या 0. हो सकता है। मैं समझता हूं कि यह संभवतः मोंटे कार्लो के नमूने को आसान बनाने के लिए इस तरह से लिखा गया है (यानी यह एक उम्मीद है तो बस पी (एक्स से नमूना) , y)$P(x,y)$ और I पर लागू नमूनों का औसत प्राप्त करें $I((x^2+y^2)<1)$), लेकिन यह मेरे लिए सहज ज्ञान युक्त नहीं है कि क्यों अभिन्न उस वक्र के तहत क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।

क्या कोई इसका सहज स्पष्टीकरण दे सकता है। शायद यह बताएं कि चरण-दर-चरण तरीके से उस अभिन्नता को कैसे प्राप्त किया गया था?

संपादित करें:

मैं एक क्षेत्र से अपेक्षा को संबंधित करके एक बेहतर समझ हासिल करने में सक्षम था। मैं इसे यहाँ समझाऊँगा अगर यह किसी की मदद करे। पहले यूनिट सर्कल के शीर्ष-दाएं चतुर्थांश के क्षेत्र से संबंधित पीआई से शुरू करें

$\pi=4\times A_{tr}$

फिर हम शीर्ष-दाएं चतुर्थांश को इकाई वर्ग में रखते हैं। और इकाई वर्ग पर एक समान वितरण के तहत, वृत्त चतुर्भुज का क्षेत्रफल इसके से एक नमूना प्राप्त करने की संभावना के लिए आनुपातिक है। यह इस प्रकार है कि निम्नलिखित समानता रखती है

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

और $A_{square}=1$ तो

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

और मूल समीकरण में प्रतिस्थापित

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

और यह भी सत्य है कि जो मूल दोहरे अभिन्न के बराबर है।$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

तो मैंने इसे एक संभावना के क्षेत्र से संबंधित करके समझा और फिर उस संभावना को उस अपेक्षा से संबंधित किया जो अभिन्न के बराबर है। अगर मैंने कोई गलती की है तो मुझे बताएं।

Answer 1

त्रिज्या वृत्त का क्षेत्रफल बराबर है । इसका अर्थ है कि वृत्त के एक चौथाई भाग में । इसका मतलब यह है कि रूप में वृत्त की त्रिज्या के साथ वर्ग ।$l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

इसका अर्थ है कि वृत्त के एक चौथाई क्षेत्र और वर्ग के क्षेत्रफल के बीच का अनुपात । $\pi/4$

एक बिंदु वर्ग में है यदि । और यह सर्कल के क्वार्टर में है यदि । $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

आपका अभिन्न तो यह ठीक उसी क्षेत्र है जिसे एक चौथाई वृत्त द्वारा वर्णित किया गया है$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

Comments

मुझे लगता है मैं सिर्फ एक कठिन समय अभिन्न और वक्र के अंदर शर्तों के बीच एक कनेक्शन ड्राइंग कर रहा हूँ। यदि आपने I और (x ^ 2 + y ^ 2 <1) I (0 <x <1) (0 <y <1) x और y के विभिन्न मूल्यों के लिए प्लॉट किया है, तो आपको वक्र नहीं मिलेगा। ऐसा क्यों है?

— user1893354

$\left\lbrace (x,y):(x^2+y^2<1), (0<x<1), (0<y<1) \right\rbrace$ सर्कल के क्वार्टर पर बिंदु हैं। मेरा सुझाव है कि आप इस बिन्दु की कोशिश करने के

— Donbeo

मैं इस से सहमत हूँ। लेकिन जब आप सूचक फ़ंक्शन I (।) को लागू करते हैं, तो वे सभी 1 या 0. में धकेल दिए जाते हैं

— user1893354

क्या मतलब?

— डॉनबीओ

एक अभिन्न अंग में सूचक कार्य वक्र को परिभाषित करने का एक और तरीका है जहां अभिन्न की गणना करना है। $\int_{quarter~ of~ circle} = \int 1(x^2+y^2<1)*1(0<x<1)*1(0<y<1)$

— Donbeo

Answer 2

सरलतम सहज स्पष्टीकरण इस बात पर निर्भर करता है कि । इस प्रकार, । एक बार जब आप महसूस करते हैं कि डबल पूर्णांक बस एक संभावना है, तो यह सहज ज्ञान युक्त होना चाहिए कि आप यूनिट स्क्वायर से और नमूना ले सकते हैं और ड्रॉ के अनुपात की गणना कर सकते हैं जिसके लिए । $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

शायद आपकी समझ से गायब अंतर्ज्ञान का दूसरा भाग क्षेत्र और संभाव्यता के बीच संबंध है। चूँकि संपूर्ण इकाई वर्ग का क्षेत्रफल 1 है और अंक को वर्ग के भीतर समान रूप से वितरित किया जाता है, इकाई वर्ग के भीतर किसी भी क्षेत्र क्षेत्र इस संभावना के अनुरूप होगा कि एक यादृच्छिक रूप से चुना गया बिंदु भीतर होगा ।$(x,y)$$A$$A$

Comments

यही तरीका है कि मैं इसे भी समझूं। लेकिन मुझे इसे सूत्रीकरण Pi = 4x (क्वार्टर सर्कल का क्षेत्र) से जोड़ने में परेशानी हो रही है। यह वास्तव में नमूने के लिए क्षेत्रों की तुलना करने के लिए सहज ज्ञान युक्त नहीं है। मुझे लगता है कि कनेक्शन यह है कि एक समान वितरण के तहत, नमूनों की संख्या क्षेत्र के लिए आनुपातिक है।

— user1893354

@ user1893354 उत्तर संशोधित। मुझे पता है कि अगर अपने अंतर्ज्ञान में मदद करता है।

— jsk

Answer 3

मैं इस सर्फिंग सीवी पर उतरा, और मैंने देखा कि मोंटे कार्लो का कोड ऑक्टेव में है। मुझे R में एक अनुकार होना है जो संख्या में pivariate समान वितरण के रूप में संख्या को प्राप्त करने का विचार बनाता है समतल में इंटीग्रल की बाधाओं के तहत बहुत सहज रूप से:$\pi$$[0,1]$

यह देखते हुए कि एक वृत्त का चतुर्थ भाग 1-इकाई वर्ग में संलग्न है, क्षेत्र । तो वर्ग में समान रूप से वितरित बिंदुओं को उत्पन्न करने से पूरे वर्ग को कालीन करना समाप्त हो जाएगा, और को पूरा करने वाले अंश की गणना करना को एकीकृत करने के लिए समान होगा। क्योंकि हम सिर्फ अंश का चयन कर रहे हैं इकाई वर्ग के संबंध में सर्कल के भीतर डॉट्स:$\pi/4$$(x,y)$$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

हम १०,००० ड्रॉ के बीच त्रिज्या के भीतर आने वाले मूल्यों की साजिश कर सकते हैं:

और हम, स्वाभाविक रूप से, अधिक बिंदुओं का चयन करके करीब और करीब सन्निकटन प्राप्त कर सकते हैं। 1 मिलियन अंकों के साथ हम प्राप्त करते हैं:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

एक बहुत ही अनुमानित परिणाम। यहाँ साजिश है: