सजा क्यों आवश्यक है, या सजा के पीछे दर्शन क्या है?

Question

मैं डिजिटल इमेज रेस्टोरेशन फील्ड में काम कर रहा हूं। मैंने कनवल्शन के बारे में सभी बातें पढ़ी हैं, क्योंकि, LTI सिस्टम के लिए, यदि हम इसकी आवेग प्रतिक्रिया जानते हैं , तो हम इनपुट और आवेग प्रतिक्रिया के बीच कन्वेंशन का उपयोग करके इसका आउटपुट पा सकते हैं।

क्या कोई मुझे बता सकता है कि इसके पीछे मुख्य गणितीय दर्शन क्या है? आपका अनुभव मुझे इसके बारे में इंटरनेट सर्फिंग की तुलना में अधिक बताएगा।

Comments

वर्थ रीडिंग: dsp.stackexchange.com/questions/4723/… ; dsp.stackexchange.com/questions/8530/… ; dsp.stackexchange.com/questions/6451/…

— pichenettes

मैं इस सवाल को खारिज कर रहा हूं क्योंकि इसे (या इसके छोटे बदलाव) बार-बार इस साइट पर pichenettes की टिप्पणी के रूप में पूछा और उत्तर दिया गया है। आपको इसके बजाय इस साइट पर "इंटरनेट सर्फिंग" करना चाहिए।

— दिलीप सरवटे

Answer 1

बातचीत का विचार

विषय का मेरा पसंदीदा प्रदर्शनी फूरियर ट्रांसफॉर्म पर ब्रैड ओसगूड के व्याख्यान में से एक है । सजा की चर्चा लगभग 36:00 से शुरू होती है, लेकिन पूरे व्याख्यान में अतिरिक्त संदर्भ है जो देखने लायक है।

मूल विचार यह है कि, जब आप फूरियर ट्रांसफॉर्म जैसी किसी चीज को परिभाषित करते हैं, तो हर समय परिभाषा के साथ सीधे काम करने के बजाय, गणना को सरल बनाने वाले उच्च-स्तरीय गुणों को प्राप्त करना उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, इस तरह की एक संपत्ति यह है कि दो कार्यों के योग का रूपांतरण, परिवर्तन के योग के बराबर है, अर्थात

$$F\{f + g\} = F\{f\} + F\{g\}.$$

इसका मतलब है कि यदि आपके पास एक अज्ञात परिवर्तन के साथ एक फ़ंक्शन है, और इसे ज्ञात परिवर्तनों के साथ फ़ंक्शन के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, तो आपको मूल रूप से मुफ्त में जवाब मिलता है।

अब, चूंकि हमारे पास दो परिवर्तनों के योग के लिए एक पहचान है, इसलिए यह पूछना एक स्वाभाविक सवाल है कि दो परिवर्तनों के उत्पाद के लिए पहचान क्या है, अर्थात

$$F\{f\}F\{g\} = \space ?.$$

यह पता चला है कि जब आप उत्तर की गणना करते हैं, तो विश्वास प्रकट होता है। संपूर्ण व्युत्पत्ति वीडियो में दी गई है, और चूँकि आपका प्रश्न अधिकतर वैचारिक है, मैं इसे यहाँ पुनरावृत्ति नहीं करूँगा।

इस तरह से दृढ़ संकल्प के दृष्टिकोण का निहितार्थ यह है कि यह लैप्लस ट्रांसफ़र (जिसमें फूरियर ट्रानफॉर्म एक विशेष मामला है) का एक आंतरिक हिस्सा है, रैखिक निरंतर-गुणांक साधारण अंतर समीकरणों (LCCIE) को बीजीय समीकरणों में बदलता है। यह तथ्य कि एलसीसीओडीई के विश्लेषणात्मक रूप से सुव्यवस्थित बनाने के लिए इस तरह के एक परिवर्तन उपलब्ध है, इस कारण का एक बड़ा हिस्सा है कि वे सिग्नल प्रोसेसिंग में अध्ययन क्यों कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, ओपेनहेम और शेफर को उद्धृत करने के लिए :

क्योंकि वे गणितीय रूप से विशेषता के लिए अपेक्षाकृत आसान हैं और क्योंकि वे उपयोगी सिग्नल प्रोसेसिंग कार्यों को करने के लिए डिज़ाइन किए जा सकते हैं, रैखिक शिफ्ट-इनवेरिएंट सिस्टम के वर्ग का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया जाएगा।

तो सवाल का एक जवाब, यह है कि यदि आप एलटीआई सिस्टम का विश्लेषण और / या संश्लेषण करने के लिए ट्रांसफॉर्म विधियों का उपयोग कर रहे हैं, तो जल्दी या बाद में, कन्वर्सेशन (या तो स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से) उत्पन्न होगा। ध्यान दें कि सजा शुरू करने के लिए यह दृष्टिकोण अंतर समीकरणों के संदर्भ में बहुत मानक है। उदाहरण के लिए, आर्थर मटका द्वारा इस एमआईटी व्याख्यान को देखें । अधिकांश प्रस्तुतियाँ या तो बिना किसी टिप्पणी के अभिन्न अभिन्न पेश करती हैं, फिर इसके गुणों (यानी इसे एक टोपी से बाहर निकालें), या हेम और अभिन्न के अजीब रूप के बारे में, फ़्लिपिंग और ड्रैगिंग, टाइम-रिवर्सल, आदि के बारे में बात करें। ।

प्रो.ओसगूड के दृष्टिकोण को पसंद करने का कारण यह है कि यह उन सभी tsouris से बचता है, साथ ही प्रदान करता है, मेरी राय में, गणितज्ञों के बारे में गहन जानकारी कि पहली जगह में विचार कैसे आया। और मैं बोली:

मैंने कहा, "क्या टाइम डोमेन में F और G को मिलाने का एक तरीका है, ताकि फ़्रीक्वेंसी डोमेन में स्पेक्ट्रोम्स गुणा हो जाएं, फूरियर कई गुना बदल जाए?" और जवाब है, हाँ, इस जटिल अभिन्न द्वारा है। यह इतना स्पष्ट नहीं है। आप सुबह बिस्तर से बाहर नहीं निकलेंगे और इसे लिखेंगे, और उम्मीद करेंगे कि यह उस समस्या को हल करने वाला था। हम इसे कैसे प्राप्त करते हैं? आपने कहा, मान लीजिए कि समस्या हल हो गई है, देखें कि क्या होना है, और तब हमें पहचानना होगा कि कब जीत की घोषणा करनी है। और जीत की घोषणा करने का समय आ गया है।

अब, एक अप्रिय गणितज्ञ होने के नाते, आप अपने ट्रैक को कवर करते हैं और कहते हैं, "ठीक है, मैं बस इस सूत्र द्वारा दो कार्यों के दृढ़ संकल्प को परिभाषित करने जा रहा हूं।"

LTI सिस्टम

अधिकांश डीएसपी ग्रंथों में, आमतौर पर सजा को एक अलग तरीके से पेश किया जाता है (जो कि तरीकों को बदलने के लिए किसी भी संदर्भ से बचा जाता है)। स्केल किए गए और स्थानांतरित इकाई आवेगों के योग के रूप में एक मनमाना इनपुट सिग्नल व्यक्त करके ,$x(n)$

$$x(n) = \sum_{k=-\infty}^\infty{x(k)\delta(n - k)}, \tag{1}$$

कहाँ पे

$$\delta(n) = \begin{cases} 0, & n \ne 0 \\ 1, & n = 0, \end{cases} \tag{2}$$

के लाक्षणिक गुणों को रेखीय समय-अपरिवर्तनीय सिस्टम सीधे एक घुमाव के आवेग प्रतिक्रिया को शामिल राशि का नेतृत्व । यदि LTI ऑपरेटर L द्वारा परिभाषित प्रणालीको y ( n ) = L [ x ( n ) ] के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो रेपिटिव गुणों को लागू करके, अर्थात रैखिकता$h(n) = L[\space \delta(n) \space]$$L$$y(n) = L[\space x(n)\space]$

$$\overbrace{L[\space ax_1(n) + bx_2(n)\space ]}^\text{Transform of the sum of scaled inputs} = \overbrace{aL[\space x_1(n)\space ] + bL[\space x_2(n)\space ]}^\text{Sum of scaled transforms} , \tag{3}$$

और समय / पारी आक्रमण

$$L[\space x(n) \space] = y(n) \space \xrightarrow{\text{implies}} L[\space x(n-k) \space] = y(n-k), \tag{4}$$

सिस्टम को फिर से लिखा जा सकता है

$$y(n) = \overbrace{L\left[ \sum_{k=-\infty}^\infty{x(k)\delta(n - k)}\right]}^\text{Tranform of the sum of scaled inputs} = \overbrace{\sum_{k=-\infty}^\infty{x(k)L[\delta(n - k)]}}^\text{Sum of scaled transforms} = \overbrace{\sum_{k=-\infty}^\infty{x(k)h(n-k) }. }^\text{Convolution with the impulse response}$$

यह दृढ़ संकल्प प्रस्तुत करने का एक बहुत ही मानक तरीका है, और इसके बारे में पूरी तरह से सुरुचिपूर्ण और उपयोगी तरीका है। इसी तरह की व्युत्पत्ति ओपेनहेम और शेफर , प्रोकिस और मनोलकिस , राबिनर और गोल्ड में पाई जा सकती है , और मुझे यकीन है कि कई अन्य हैं। कुछ गहरी अंतर्दृष्टि [जो मानक परिचय से आगे जाती है] दिलीप द्वारा यहां उनके उत्कृष्ट उत्तर में दी गई है ।

हालाँकि, ध्यान दें कि यह व्युत्पत्ति जादू की चाल की है। एक और नज़र डालते हुए कि सिग्नल में कैसे विघटित होता है , हम देख सकते हैं कि यह पहले से ही एक कनवल्शन के रूप में है। अगर$\left(1\right)$

$$\overbrace{(f * g)(n)}^\text{f convolved with g} = \sum_{k=-\infty}^\infty{f(k)g(n-k)},$$

तो बस है एक्स * δ । क्योंकि डेल्टा फ़ंक्शन कनवल्शन के लिए पहचान तत्व है, यह कहते हुए कि किसी भी संकेत को उस रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यह कहना बहुत पसंद है कि किसी भी संख्या n को n + 0 या n × 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है । अब, संकेतों का वर्णन करने का तरीका इस तरह से शानदार है क्योंकि यह सीधे एक आवेग प्रतिक्रिया के विचार की ओर जाता है - यह सिर्फ इतना है कि संकेत के अपघटन के लिए पहले से ही सजा का विचार "बेक किया हुआ" है।$\left(1\right)$$x * \delta$$n$$n + 0$$n \times 1$

इस दृष्टिकोण से, दृढ़ विश्वास आंतरिक रूप से एक डेल्टा फ़ंक्शन के विचार से संबंधित है (यानी यह एक द्विआधारी ऑपरेशन है जिसमें डेल्टा फ़ंक्शन इसकी पहचान तत्व के रूप में है)। सजा के संबंध में विचार किए बिना भी, संकेत का विवरण डेल्टा फ़ंक्शन के विचार पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है। तो फिर सवाल यह हो जाता है कि हमें पहली बार डेल्टा कार्य के लिए विचार कहां से मिला? जहाँ तक मैं बता सकता हूँ, यह कम से कम फ़ॉयर के पेपर पर हीट के विश्लेषणात्मक सिद्धांत पर जाता है, जहाँ यह स्पष्ट रूप से प्रकट होता है। आगे की जानकारी के लिए एक स्रोत एलेजांद्रो डोमिनगेज़ द्वारा उत्पत्ति और इतिहास के रूपांतरण पर यह पत्र है ।

अब, वे रैखिक प्रणालियों के सिद्धांत के संदर्भ में विचार के मुख्य दृष्टिकोण के दो हैं। एक विश्लेषणात्मक अंतर्दृष्टि का पक्षधर है, और दूसरा संख्यात्मक समाधान का पक्षधर है। मुझे लगता है कि दोनों सजा के महत्व की पूरी तस्वीर के लिए उपयोगी हैं। हालांकि, असतत मामले में, रैखिक प्रणालियों की पूरी तरह से उपेक्षा करना, एक समझदारी है जिसमें दृढ़ विश्वास एक बहुत पुराना विचार है।

बहुपद गुणन

इस विचार की एक अच्छी प्रस्तुति कि असतत सजा सिर्फ बहुपद है, गिलबर्ट स्ट्रैंग द्वारा लगभग 5:46 से शुरू होने वाले इस व्याख्यान में दी गई है । उस दृष्टिकोण से, विचार सभी तरह से स्थितिगत संख्या प्रणालियों (जो बहुपद के रूप में निहित संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं) की शुरूआत के लिए जाता है। क्योंकि Z- ट्रांसफ़ॉर्मेशन z में बहुपद के रूप में संकेतों का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए कॉन्फिडेंस उस संदर्भ में भी उत्पन्न होगा - भले ही Z- रूपान्तरण को जटिल विश्लेषण और / या लाप्लास के विशेष मामले के रूप में बिना देरी ऑपरेटर के रूप में औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया हो। रूपांतरण ।

Comments

आपके अमूल्य मार्गदर्शन के लिए धन्यवाद महोदय, आपने मुझे सही रास्ता दिखाया है। आपकी इस मदद ने मुझे सिखाया है कि दूसरों के लिए एक अच्छा इंसान कैसे बनना है .... :)

— मयंक तिवारी

इस महान संयोग की व्याख्या कैसे की जाती है कि आपको उससे पूछे गए मामले में कनविक्शन करने की आवश्यकता है? मेरा मानना ​​है कि हर डोमेन में, एक ऑपरेशन होता है, जब आप समय डोमेन में तर्कों को वापस लाते हैं, तो कन्वेंशन में बदल जाता है। हो सकता है कि हमें प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए समय डोमेन में muiltiplication करने की आवश्यकता हो? हमें समय के स्वीप के बजाय आवृत्तियों को गुणा क्यों करना चाहिए?

— वैल

यह देखते हुए कि ओपी ने पहले से ही एलटीआई सिस्टम के संबंध में आवेगों की भूमिका के बारे में एक सवाल पूछा था , मैंने प्रश्न का उपयोग करते हुए उसे एक उदाहरण के रूप में कहा कि एक प्रश्न को प्रेरित करने के लिए एक उदाहरण के रूप में जहां से दोषीता आती है - जरूरी नहीं कि आवेग की गणना करने में इसकी भूमिका हो प्रति से प्रतिक्रिया। क्या आप यही पूछ रहे हैं?

— datageist

यह कहते हुए कि हमें सजा की आवश्यकता है क्योंकि यह फूरियर गुणन के समान है, मुझे लगता है कि हम नहीं जानते कि हमें फूरियर गुणन की आवश्यकता क्यों है। जब हमें आवेग प्रतिक्रिया दी जाती है, तो इसका मतलब फूरियर के आधार पर किसी काले जादू के बजाय समय डोमेन और दृढ़ संकल्प है। मुझे नहीं लगता कि उस प्रश्न के संदर्भ में यह स्पष्ट हो सकता है। किसी भी मामले में, सामान्य, मौलिक (अर्थात फिलासोफिकल) प्रश्नों के लिए "स्थानीयकृत उत्तर" देना अच्छा नहीं है। Q & A भविष्य के आगंतुकों के लिए उपयोगी होना चाहिए।

— वैल

ऊपर Val की टिप्पणी सही निशाने पर है। मुझे आश्चर्य है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म का आविष्कार / खोज करने से पहले रैखिक प्रणालियों ने कैसे काम किया। कैसे पृथ्वी पर एक गैर-संवेदी निर्जीव वस्तु ने इस तरह के एक जटिल सूत्र की खोज की?

— दिलीप सरवटे

Answer 2

मैंने एक बार विकिपीडिया कन्वेंशन चर्चा पृष्ठ में उत्तर दिया, जिसमें मूल रूप से एक ही सवाल पूछा गया था: समय उलटा क्यों? । दर्शन यह है कि आप अपने फ़िल्टर के लिए समय पर एक एकल नाड़ी लागू करते हैं और 0,1,2,3,4,… पर अपनी प्रतिक्रिया दर्ज करते हैं। मूल रूप से, प्रतिक्रिया एक फ़ंक्शन, एच (टी) की तरह दिखाई देगी। आप इसे प्लॉट कर सकते हैं। यदि पल्स एन गुना अधिक / अधिक था, प्रतिक्रिया दालों आनुपातिक रूप से लंबा होगा (यह इसलिए है क्योंकि रैखिक फिल्टर हमेशा माना जाता है)। अब, सभी डीएसपी (और न केवल डीएसपी) के बारे में है कि जब आप अपने सिग्नल पर फ़िल्टर लागू करते हैं तो क्या होता है? आप आवेग प्रतिक्रिया जानते हैं। आपका संकेत (विशेष रूप से डिजिटल) ऊंचाई x (t) की दालों की एक श्रृंखला से अधिक कुछ नहीं है। यह समय टी में ऊंचाई / मूल्य $x$$t$। रैखिक सिस्टम शांत हैं कि आप इनपुट फ़ंक्शन x (t) के लिए प्रतिसाद फ़ंक्शन y (t) प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऐसे इनपुट पल्स के लिए आउटपुट को योग कर सकते हैं। आप जानते हैं कि आउटपुट पल्स y (t = 10) तत्काल इनपुट x (10) पर निर्भर करता है, जो h (0) * x (10) में योगदान देता है। लेकिन वहाँ भी योगदान है, एक्स (9) * एच (1), पिछली पल्स, एक्स (9) से आउटपुट के लिए, और पहले के इनपुट मूल्यों से भी योगदान है। आप देखते हैं, जैसा कि आप पहले के इनपुट से योगदान जोड़ते हैं, एक समय तर्क कम हो जाता है जबकि दूसरा बढ़ता है। आप मैक सभी y में योगदान (10) = ज (0) * x (10) + h (1) * x (9) + h (2) * x (8) + ... है, जो एक घुमाव है।

आप फ़ंक्शंस y (t), h (t) और x (t) को वैक्टर मान सकते हैं। मैट्रीज रैखिक बीजगणित में ऑपरेटर हैं। वे इनपुट वेक्टर (संख्याओं की एक श्रृंखला) लेते हैं और आउटपुट वेक्टर (संख्याओं की एक अन्य श्रृंखला) का उत्पादन करते हैं। इस स्थिति में, y वेक्टर x के साथ कन्वेक्शन मैट्रिक्स का एक उत्पाद है,

$\vec y = \begin{bmatrix}y_0\\y_1\\y_2 \\ \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}h_0 & 0 & 0 & \cdots \\ h_1 & h_0 & 0 & \cdots \\ h_2 & h_1 & h_0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_0\\x_1\\x_2 \\ \vdots \end{bmatrix} = H \vec x$

अब, क्योंकि कन्वेन्शन एक टोप्लेट्ज़ मैट्रिक्स है , इसमें फूरियर इगनैबिसिस है और इसलिए, कन्वेंशन ऑपरेटर (रैखिक ऑपरेटरों को मेट्रिस द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन मैट्रिक्स भी आधार पर निर्भर करता है) फूरियर डोमेन में एक अच्छा विकर्ण मैट्रिक्स है,

$\vec Y = \begin{bmatrix}Y_0\\Y_1\\Y_2 \\ \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda_1 & 0 & \cdots \\0 & 0 & \lambda_2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_0\\X_1\\X_2 \\ \vdots \end{bmatrix} = diag(H)\vec X$

ध्यान दें, बहुत अधिक शून्य और, इस प्रकार, बहुत सरल गणना। इस परिणाम को "कन्वेक्शन प्रमेय" के रूप में जाना जाता है और, पहली प्रतिक्रिया के रूप में, यह फूरियर डोमेन में बहुत सरल है। लेकिन, यह "कनवल्शन प्रमेय", फूरियर बेस और रैखिक संचालकों के बजाय दृढ़ संकल्प के लिए सर्वव्यापी आवश्यकता के पीछे फिलासफी है।

आम तौर पर, आप कनविक्शन करते हैं क्योंकि आपके पास अपना इनपुट सिग्नल, आवेग प्रतिक्रिया और समय डोमेन में आउटपुट की आवश्यकता होती है। कम्प्यूटेशन का अनुकूलन करने के लिए आप फूरियर अंतरिक्ष में बदल सकते हैं। लेकिन, यह साधारण फिल्टर के लिए व्यावहारिक नहीं है, जैसा कि मैंने DSPGuide में देखा है । यदि आपका फ़िल्टर जैसा दिखता है$y[currentTime] = k_1 x[time-1] + k_2 x(time-2) + b * y[time-1]$, it makes no sense to fourier transform. You just do n multiplications, for computing every y. It is also natural for real-time. In real-time you compute only one y at a time. You may think of Fourier transform if you have your signal x recorded and you need to compute the whole vector y at once. This would need NxN MAC operations and Fourier can help to reduce them to N log(N).

Comments

A couple notes: how would you extend this description for the continuous-time case (which obviously came before the discrete-time case)? Also, there are many real-time applications that use Fourier-transform-based methods for fast convolution. Saying that outputs are always calculated one at a time for real-time applications just isn't true.

— जेसन आर

With that said, nice job pointing out the fact that the Toeplitz structure of the convolution matrix implies that it admits a diagonal representation under a Fourier basis.

— Jason R

Yes, may be you use fourier transfrom in the real-time. I am far from being DSP expert. I just expressed the idea (which I got from my scarce practice and reading DSPGuide). Anyway, I want to highlight that fourier has nothing to do with the phylosophy of convolution. Might be I need to remove all the fourier-related discussion, since it is distracting. Convolution is natural in the time domain and is needed without any Fourier, no matter how cool the Fourier is.

— Val

The fact that continous-time case came before historically, does not demand us that we should learn in the same order. I think that it is easier to understand the philosophy of many things, including convolution, starting with the discrete case (and we are in DSP.se to take this approach). In continous-case a series of MAC operations is turned into integration, as we make our pulses shorter and shorter. BTW, integration itself $\int f(x)dx$ is understood as a limit case of the discrete summation: $\int f(x)dx = \lim_{dx \to 0} (\sum f(x) dx)$. So, it cannot come before discrete summation.

— Val

@JasonR In the continuous setting, you'd replace the Toeplitz matrix by a shift-invariant operator. You then can show that the Fourier basis functions diagonalize this operator.

— lp251

Answer 3

Although the previous answers have been really good, I would like to add my viewpoint about convolution where I just make it easier to visualize due to the figures.

One wonders if there is any method through which an output signal of a system can be determined for a given input signal. Convolution is the answer to that question, provided that the system is linear and time-invariant (LTI).

Assume that we have an arbitrary signal $s[n]$. Then, $s[n]$ can be decomposed into a scaled sum of shifted unit impulses through the following reasoning. Multiply $s[n]$ with a unit impulse shifted by $m$ samples as $\delta[n-m]$. Since $\delta[n-m]$ is equal to 0 everywhere except at $n=m$, this would multiply all values of $s[n]$ by 0 when $n$ is not equal to $m$ and by 1 when $n$ is equal to $m$. So the resulting sequence will have an impulse at $n=m$ with its value equal to $s[m]$. This process is clearly illustrated in Figure below.

$\hspace{2cm}$

This can be mathematically written as

$$\begin{equation*} s[n] \delta [n-m] = s[m] \delta [n-m] \end{equation*}$$ Repeating the same procedure with a different delay $m'$ gives $$\begin{equation*} s[n] \delta [n-m'] = s[m'] \delta [n-m'] \end{equation*}$$

The value $s[m']$ is extracted at this instant. Therefore, if this multiplication is repeated over all possible delays $-\infty < m < \infty$, and all produced signals are summed together, the result will be the sequence $s[n]$ itself.

$$\begin{align} s[n]&= \cdots + s[-2]\delta[n+2] + s[-1]\delta[n+1] + \nonumber \\ &\quad\quad\quad\quad\quad s[0]\delta[n] + s[1]\delta[n-1] + s[2]\delta[n-2] + \cdots \nonumber \\ &= \sum \limits _{m = -\infty} ^{\infty} s[m] \delta[n-m] \label{eqIntroductionSeqImpulses} \end{align}$$

In summary, the above equation states that $s[n]$ can be written as a summation of scaled unit impulses, where each unit impulse $\delta[n-m]$ has an amplitude $s[m]$. An example of such a summation is shown in Figure below.

$\hspace{3cm}$

Consider what happens when it is given as an input to an LTI system with an impulse response $h[n]$.

This leads to an input-output sequence as

During the above procedure, we have worked out the famous convolution equation that describes the output $r[n]$ for an input $s[n]$ to an LTI system with impulse response $h[n]$.

Convolution is a very logical and simple process but many DSP learners can find it confusing due to the way it is explained. We will describe a conventional method and another more intuitive approach.

Conventional Method

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Most textbooks after defining the convolution equation suggest its implementation through the following steps. For every individual time shift $n$,

[Flip] Arranging the equation as $r[n] = \sum _{m = -\infty} ^{\infty} s[m] h[-m+n]$, consider the impulse response as a function of variable $m$, flip $h[m]$ about $m = 0$ to obtain $h[-m]$.

[Shift] To obtain $h[-m+n]$ for time shift $n$, shift $h[-m]$ by $n$ units to the right for positive $n$ and left for negative $n$.

[Multiply] Point-wise multiply the sequence $s[m]$ by sequence $h[-m+n]$ to obtain a product sequence $s[m]\cdot h[-m+n]$.

[Sum] Sum all the values of the above product sequence to obtain the convolution output at time $n$.

[Repeat] Repeat the above steps for every possible value of $n$.

An example of convolution between two signals $s[n] = [2\hspace{1mm}-\hspace{-1mm}1\hspace{2mm} 1]$ and $h[n] = [-1\hspace{2mm} 1\hspace{2mm} 2]$ is shown in Figure below, where the result $r[n]$ is shown for each $n$.

Note a change in signal representation above. The actual signals $s[n]$ and $h[n]$ are a function of time index $n$ but the convolution equation denotes both of these signals with time index $m$. On the other hand, $n$ is used to represent the time shift of $h[-m]$ before multiplying it with $s[m]$ point-wise. The output $r[n]$ is a function of time index $n$, which was that shift applied to $h[-m]$.

Next, we turn to the more intuitive method where flipping a signal is not required.

Intuitive Method

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There is another method to understand convolution. In fact, it is built on the derivation of convolution equation, i.e., find the output $r[n]$ as

$$\begin{align} r[n] ~ &= ~ \cdots + \nonumber \\ &\qquad\quad s[-2]\cdot h[n+2] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \quad\quad\quad s[-1]\cdot h[n+1] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \qquad\qquad\quad \quad\quad \quad s[0]\cdot h[n] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \quad \qquad\qquad\qquad \quad \quad\quad~ s[1]\cdot h[n-1] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \quad\quad\quad \quad~ s[2]\cdot h[n-2] ~+ \nonumber \\ &\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad \cdots \label{eqIntroductionConvolution3} \end{align}$$ Let us solve the same example as in the above Figure, where $s[n] = [2\hspace{1mm}-~\hspace{-2mm}1\hspace{2mm} 1]$ and $h[n] = [-1\hspace{2mm} 1\hspace{2mm} 2]$। यह नीचे तालिका में दिखाया गया है।

$\hspace{3cm}$

इस तरह की विधि नीचे चित्र में दी गई है। कार्यान्वयन के दृष्टिकोण से, दोनों विधियों में कोई अंतर नहीं है।

$\hspace{3cm}$

योग करने के लिए, सजा हमें बताती है कि एक विशेष इनपुट के जवाब में एलटीआई प्रणाली कैसे व्यवहार करती है और ऊपर की सहज विधि के लिए धन्यवाद, हम कह सकते हैं कि सजा भी समय डोमेन में गुणा है (और संकेत को फ़्लिप करना आवश्यक नहीं है), इस तथ्य को छोड़कर इस समय डोमेन गुणन में मेमोरी शामिल है। अधिक गहरे स्तर पर समझने के लिए कि फ़्लिपिंग कहाँ से आती है, और फ़्रीक्वेंसी डोमेन में क्या होता है, आप यहाँ मेरी पुस्तक से एक नमूना अनुभाग डाउनलोड कर सकते हैं ।