यह Moiré पैटर्न इस तरह क्यों दिखता है?

मैं मतलाब में मोबियस रूपांतरण के कुछ gif बना रहा था, और कुछ अजीब पैटर्न दिखाई देने लगे। मुझे यकीन नहीं है कि अगर इस घटना को समझने के लिए फिलाटाइप / एल्गोरिदम का गहरा ज्ञान आवश्यक है, लेकिन मैंने सोचा कि शायद एक विशुद्ध गणितीय व्याख्या हो सकती है। छवि को चेकरबोर्ड की तरह जटिल विमान को रंगकर प्राप्त किया जाता है, और फिर जटिल संयुग्म के पारस्परिक को निकालकर इसे निष्क्रिय कर दिया जाता है। यहाँ दिए गए ज़ूम साथ छवि के लिए गणित psuedocode है : $k$

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white} \\ checkerboard (z) := {\begin{cases} black & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ white & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ image = {z \in C : | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1} \\ color : image \to {black, white} \\ color (z) := checkerboard (k / \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

और यहाँ $k=1$ , $k=50$ , और $k=200$ । प्रत्येक चित्र का संकल्प $1000\times 1000$ । सिग्नल प्रोसेसिंग में मेरी कोई पृष्ठभूमि नहीं है, लेकिन मैं चीजों को सीखने के लिए उत्सुक हूं!

संपादित करें:

विशेष रूप से, कुछ बिंदुओं पर चित्र के रिज़ॉल्यूशन के साथ मोइरे पैटर्न 'सिंक' क्यों करता है?
क्या Moiré पैटर्न की भविष्यवाणी की जा सकती है?

image-processing aliasing pattern

— बिहार
स्रोत

आप जो देख रहे हैं वह अलियासिंग है। आप अपने मॉनिटर की अनुमति से उच्च आवृत्ति घटकों के साथ एक छवि को चित्रित करने की कोशिश कर रहे हैं, इसलिए आपको उपनाम मिलते हैं। en.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

MBaz, मैं एक गणितीय स्पष्टीकरण की तलाश कर रहा हूं कि अलियासिंग पैटर्न ऐसा क्यों दिखता है!

— BH

हां, Moiré पैटर्न की भविष्यवाणी की जा सकती है। क्या आप फूरियर ट्रांसफॉर्म से परिचित हैं?

— मार्कस मूलर

इस स्थिति में इसका उपयोग करने के लिए पर्याप्त नहीं है!

— BH

अब बिस्तर पर जाना है, उम्मीद है कि नीचे दी गई गणितीय व्याख्या आपको मदद करती है - इस अनुमान के आधार पर कि एक गिनती योग्य अनंत सेट की कार्डिनैलिटी कम या ज्यादा हो सकती है, बल्कि एक कार्यात्मक-विश्लेषणात्मक विवरण की तुलना में एक अमूर्त दृश्य में रुचि हो सकती है।

— मार्कस मुलर

आपको नमूना प्रमेय को समझने की आवश्यकता होगी । संक्षेप में, प्रत्येक सिग्नल में हम एक स्पेक्ट्रम which कहते हैं , जो सिग्नल का फूरियर रूपांतरण है क्योंकि यह समय क्षेत्र में आता है (यदि यह एक समय संकेत है), या स्थानिक डोमेन (यदि यह एक तस्वीर है)। एक विशेषण है, एक संकेत और इसका परिवर्तन समान हैं; वास्तव में, कोई अक्सर आधार के परिवर्तन के रूप में फूरियर ट्रांसफॉर्म की व्याख्या कर सकता है। हम कहते हैं कि "फ़्रीक्वेंसी डोमेन में रूपांतरण", क्योंकि फ़ॉयर ट्रांसफ़ॉर्म के मान निम्न निर्देश के लिए उन चीजों का वर्णन करते हैं जो धीरे-धीरे मूल (समय या स्थानिक) डोमेन सिग्नल में, जबकि उच्च आवृत्ति वाली सामग्री को उच्च स्थिति के साथ फूरियर ट्रांसफॉर्म वैल्यू द्वारा दर्शाया जाता है।

आम तौर पर, ऐसे स्पेक्ट्रा का एक निश्चित समर्थन हो सकता है ; समर्थन न्यूनतम अंतराल है जिसके बाहर स्पेक्ट्रम 0 है।

यदि आप अब एक अवलोकन प्रणाली का उपयोग करते हैं, जिसकी आवृत्तियों को पुन: उत्पन्न करने की क्षमता एक अंतराल तक सीमित है, जो कि समर्थन से छोटी है (जो अक्सर अनंत है, वैसे, और हमेशा उन संकेतों के लिए अनंत होता है जिनके समय या स्थान में परिमित विस्तार होता है), आप उस सिस्टम के साथ मूल सिग्नल का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता।

इस मामले में, आपकी तस्वीर का एक निश्चित रिज़ॉल्यूशन है - जो अंत में, यह तथ्य है कि आप एक निश्चित, गैर-असीम रिक्ति में असतत बिंदुओं पर अपने फ़ंक्शन के मूल्य का मूल्यांकन करते हैं। उस रिक्ति का विलोम (स्थानिक) नमूनाकरण दर है।

इस प्रकार, आपकी तस्वीर मूल संकेत का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती है - यह केवल गणितीय रूप से असंभव है कि पिक्सल को अंतर्निहित फ़ंक्शन की मैपिंग वास्तव में मूल फ़ंक्शन के बराबर है, क्योंकि हम जानते हैं कि इस मामले में, असतत बिंदुओं पर आपके मूल्यांकन द्वारा प्रतिनिधित्व की जाने वाली आवृत्तियों की कुल सीमा। ("नमूनाकरण") नमूनाकरण दर का आधा हिस्सा है, और इस प्रकार, आपके सिग्नल के स्पेक्ट्रम के हिस्से के साथ कुछ गलत होना चाहिए जो नमूना दर के आधे से ऊपर है।

क्या होता है, वास्तव में, स्पेक्ट्रम को एलियास मिलता है - प्रत्येक वर्णक्रमीय घटक एक आवृत्ति "शिफ्ट" हो जाता है " द्वारा। , ताकि । वास्तव में, यह "संरचना" की ओर जाता है जहाँ वहाँ (जैसा लगता है) कुछ नहीं होना चाहिए। $f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

अपनी तस्वीर से "बड़ी" संरचनाएं लें जिन्हें मैंने हरे रंग में रंगा है:

यह निश्चित रूप से ऐसा लगता है कि यहां कम-आवृत्ति वाली सामग्री है - लेकिन वास्तव में, यह आवृत्तियों पर उच्च-आवृत्ति वाली सामग्री है जो निम्न आवृत्तियों के लिए अलियासाइड हो गया, क्योंकि यह करीब था नमूना दर के कई पूर्णांक। $>\frac{f_\text{sample}}2$

तो, हाँ , आप कलाकृतियों की भविष्यवाणी कर सकते हैं जो नमूना दर द्वारा पेश किए गए बैंडविड्थ में इसके फूरियर रूपांतरण की तुलना करके 2 डी सिग्नल के लिए होती हैं।

¹ यह स्पेक्ट्रम से अलग हो सकता है जैसा कि रैखिक बीजगणित में इस्तेमाल किया जाता है ताकि ऑपरेटरों के ईजेन-गुणों का वर्णन किया जा सके।

— मार्कस मुलर
स्रोत

Neato !! इस विस्तृत उत्तर के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। ऐसा लगता है कि हरे रंग के बिट्स में से प्रत्येक का व्यवहार थोड़ा अलग है और मैं अनुमान लगा रहा हूं कि यह के मूल्य पर निर्भर करता है । मैं इस पूरे फूरियर रूपांतरण बात पर पढ़ा होगा!

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$n$

— BH