मैं हाल ही में टोमोग्राफिक पुनर्निर्माण एल्गोरिदम के साथ खेल रहा हूं। मेरे पास पहले से ही FBP, ART, SIRT / SART- जैसी पुनरावृत्ति योजना का अच्छा कार्यान्वयन है और यहां तक कि सीधे रेखीय बीजगणित (धीमे!) का उपयोग करना है। यह प्रश्न उन तकनीकों में से किसी के बारे में नहीं है ; फॉर्म का उत्तर "कोई भी इस तरह से क्यों करेगा, यहां कुछ FBP कोड के बजाय" मैं वह नहीं हूं जो मैं देख रहा हूं।
अगली बात जो मैं इस कार्यक्रम के साथ करना चाहता था वह था " सेट पूरा करें " और तथाकथित " फूरियर पुनर्निर्माण विधि " को लागू करना। इस बारे में मेरी समझ मूल रूप से है कि आप 1D FFT को साइनोग्राम "एक्सपोज़र" पर लागू करते हैं, 2 डी फूरियर अंतरिक्ष में रेडियल "एक पहिया के प्रवक्ता" के रूप में व्यवस्थित करते हैं (कि यह केंद्रीय मसाला प्रमेय से सीधे अनुसरण करने के लिए एक उपयोगी चीज है) , उन बिंदुओं से उस 2 डी अंतरिक्ष में एक नियमित ग्रिड के लिए प्रक्षेपित करें, और फिर मूल स्कैन लक्ष्य को पुनर्प्राप्त करने के लिए फूरियर-परिवर्तन को उलटा करना संभव होना चाहिए।
सरल लगता है, लेकिन मुझे कोई भी पुनर्निर्माण प्राप्त करने का सौभाग्य नहीं मिला जो मूल लक्ष्य की तरह कुछ भी देखते हैं।
नीचे पायथन (numpy / SciPy / Matplotlib) कोड सबसे संक्षिप्त अभिव्यक्ति के बारे में है जो मैं करने की कोशिश कर रहा हूं। जब चलता है, तो यह निम्नलिखित प्रदर्शित करता है:
चित्र 1: लक्ष्य
चित्र 2: लक्ष्य का एक साइनोग्राम
चित्र 3: एफएफटी-एड साइनोग्राम पंक्तियाँ
चित्रा 4: शीर्ष पंक्ति फूरियर-डोमेन साइनोग्राम पंक्तियों से प्रक्षेपित 2 डी एफएफटी स्थान है; नीचे की पंक्ति लक्ष्य के प्रत्यक्ष 2 डी एफएफटी (तुलना उद्देश्यों के लिए) है। यह वह बिंदु है जिस पर मुझे संदेह होने लगा है; साइनोग्राम एफएफटी से प्रक्षेपित प्लॉट सीधे 2 डी-एफएफटी लक्ष्य द्वारा बनाए गए प्लॉट के समान दिखते हैं ... और फिर भी अलग।
चित्र 5: चित्र 4 का व्युत्क्रम-फूरियर रूपांतरण। मुझे आशा है कि यह वास्तव में होने वाले लक्ष्य की तुलना में थोड़ा अधिक पहचानने योग्य होगा।
किसी भी विचार मैं गलत क्या कर रहा हूँ? सुनिश्चित नहीं है कि अगर फूरियर विधि के पुनर्निर्माण की मेरी समझ मौलिक रूप से त्रुटिपूर्ण है, या मेरे कोड में कुछ बग है।
import math
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.interpolate
import scipy.fftpack
import scipy.ndimage.interpolation
S=256 # Size of target, and resolution of Fourier space
A=359 # Number of sinogram exposures
# Construct a simple test target
target=np.zeros((S,S))
target[S/3:2*S/3,S/3:2*S/3]=0.5
target[120:136,100:116]=1.0
plt.figure()
plt.title("Target")
plt.imshow(target)
# Project the sinogram
sinogram=np.array([
np.sum(
scipy.ndimage.interpolation.rotate(
target,a,order=1,reshape=False,mode='constant',cval=0.0
)
,axis=1
) for a in xrange(A)
])
plt.figure()
plt.title("Sinogram")
plt.imshow(sinogram)
# Fourier transform the rows of the sinogram
sinogram_fft_rows=scipy.fftpack.fftshift(
scipy.fftpack.fft(sinogram),
axes=1
)
plt.figure()
plt.subplot(121)
plt.title("Sinogram rows FFT (real)")
plt.imshow(np.real(np.real(sinogram_fft_rows)),vmin=-50,vmax=50)
plt.subplot(122)
plt.title("Sinogram rows FFT (imag)")
plt.imshow(np.real(np.imag(sinogram_fft_rows)),vmin=-50,vmax=50)
# Coordinates of sinogram FFT-ed rows' samples in 2D FFT space
a=(2.0*math.pi/A)*np.arange(A)
r=np.arange(S)-S/2
r,a=np.meshgrid(r,a)
r=r.flatten()
a=a.flatten()
srcx=(S/2)+r*np.cos(a)
srcy=(S/2)+r*np.sin(a)
# Coordinates of regular grid in 2D FFT space
dstx,dsty=np.meshgrid(np.arange(S),np.arange(S))
dstx=dstx.flatten()
dsty=dsty.flatten()
# Let the central slice theorem work its magic!
# Interpolate the 2D Fourier space grid from the transformed sinogram rows
fft2_real=scipy.interpolate.griddata(
(srcy,srcx),
np.real(sinogram_fft_rows).flatten(),
(dsty,dstx),
method='cubic',
fill_value=0.0
).reshape((S,S))
fft2_imag=scipy.interpolate.griddata(
(srcy,srcx),
np.imag(sinogram_fft_rows).flatten(),
(dsty,dstx),
method='cubic',
fill_value=0.0
).reshape((S,S))
plt.figure()
plt.suptitle("FFT2 space")
plt.subplot(221)
plt.title("Recon (real)")
plt.imshow(fft2_real,vmin=-10,vmax=10)
plt.subplot(222)
plt.title("Recon (imag)")
plt.imshow(fft2_imag,vmin=-10,vmax=10)
# Show 2D FFT of target, just for comparison
expected_fft2=scipy.fftpack.fftshift(scipy.fftpack.fft2(target))
plt.subplot(223)
plt.title("Expected (real)")
plt.imshow(np.real(expected_fft2),vmin=-10,vmax=10)
plt.subplot(224)
plt.title("Expected (imag)")
plt.imshow(np.imag(expected_fft2),vmin=-10,vmax=10)
# Transform from 2D Fourier space back to a reconstruction of the target
fft2=scipy.fftpack.ifftshift(fft2_real+1.0j*fft2_imag)
recon=np.real(scipy.fftpack.ifft2(fft2))
plt.figure()
plt.title("Reconstruction")
plt.imshow(recon,vmin=0.0,vmax=1.0)
plt.show()
