एफएफटी का वास्तविक हिस्सा छवि को रोटेशन + मूल में क्यों परिवर्तित करता है?

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मैंने इस चित्र को पढ़ा है:

अपनी FFT (2D) को लिया और फिर छवि को वापस लाने के लिए FFT को उलटा कर दिया। संदर्भ के लिए कोड प्रदान किया गया है:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

लेकिन जब मैं फूरियर को बदल देता हूं और केवल वास्तविक भाग लेता हूं,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

मुझे इस तरह की एक छवि मिलती है ( ध्यान दें कि आकार परिवर्तन अप्रासंगिक है और केवल इसे माटलैब फिगर हैंडलर से बचाने के कारण ):

क्या कोई मुझे इसके पीछे सिद्धांत (गणित) समझा सकता है? धन्यवाद

image-processing fft fourier-transform

— असफल वैज्ञानिक
स्रोत

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$I(x,y)$

I^{f} (ω_{x}, ω_{y}) = \int_{x} \int_{y} I (x, y) e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y} d x d y

$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$

अब आप असली हिस्सा लेते हैं और उलटा प्रदर्शन करते हैं:

\begin{aligned} I_{m} (α, β) & = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {I^{f} (ω_{x}, ω_{y})} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} \\ = \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {\int_{x} \int_{y} I (x, y) e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y} d x d y} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} \\ = \int_{x} \int_{y} I (x, y) \int_{ω_{x}} \int_{ω_{y}} ℜ {e^{j ω_{x} x} e^{j ω_{y} y}} e^{j ω_{x} α} e^{j ω_{y} β} d ω_{x} d ω_{y} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$

\cos (ω_{x} x) \cos (ω_{y} y) + \sin (ω_{x} x) \sin (ω_{y} y)

$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$

\frac{1}{2} [δ (x - α) δ (y - β) + δ (x + α) δ (y + β)]

$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$

के परिणाम को प्रतिस्थापित करना $I_m$

I_{m} (x, y) = \frac{1}{2} [I (x, y) + I (- x, - y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$

$x,y>0$ $N$

I_{m} (x, y) = \frac{1}{2} [I (x, y) + I (N - x, M - y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$

N, M

$N,M$

— THP
स्रोत

अच्छा उत्तर! +1

— पीटर के.एच.

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I think you can see now why got that result.हाँ। हालाँकि, चूंकि यह प्रश्न HNQ सूची से टकराया था, शायद आप कम गणितीय इच्छुक साइटों से आने वाले लोगों के लिए अंतिम चरण को जोड़ने पर विचार करेंगे।

— मस्त

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$z$ $(x,y)$ $z^*$ $(-x,-y)$ उत्पत्ति के बारे में। ध्यान दें कि यहां की उत्पत्ति फूरियर-स्पेस का केंद्र होगी। यह सुधार किया जा सकता है, ज़ाहिर है, अगर डीसी घटक आपके एफएफटी कार्यान्वयन के केंद्र में नहीं है। और यह वही है जो आप अपनी छवि में देखते हैं: एक बिंदु-प्रतिबिंबित संस्करण असली छवि को ओवरले कर रहा है - क्योंकि आपने एक स्थान को वास्तविक मूल्य के लिए मजबूर किया है।

यह संपत्ति वास्तव में कुछ मामलों में चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग (एमआरआई) को तेज करने के लिए उपयोग की जा रही है: एमआरआई फूरियर-स्पेस में डेटा को सीधे प्राप्त करता है। चूंकि एक आदर्श एमआर छवि को वास्तविक मूल्यों द्वारा ही वर्णित किया जा सकता है (सभी उत्साहित मैग्नेटाइजेशन वैक्टर में चरण 0 है), आपको केवल आधे डेटा स्पेस का अधिग्रहण करना होगा, जो आपको इमेजिंग समय के आधे हिस्से को बचाता है। बेशक, एमआर छवियां वास्तविकता की सीमाओं के कारण पूरी तरह से मूल्यवान नहीं हैं ... लेकिन कुछ तरकीबों के साथ आप अभी भी इस तकनीक का लाभ उठा सकते हैं।

— M529
स्रोत

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मुझे वही जवाब देने का सरल तरीका पसंद आया जो ThP ने प्रदान किया था। और एमआरआई के बारे में जानकारी के लिए धन्यवाद। उस के बारे में पता नहीं था।

— फेल साइंटिस्ट