कलस के सांख्यिकीय गुण गॉसियन शोर के तहत अनुमान लगाते हैं

Question

स्वतंत्र गाऊसी राज्य के साथ एक रैखिक राज्य-स्थान मॉडल और आउटपुट शोर और प्रारंभिक राज्य के लिए एकदम सही अनुमान के लिए, क्या कलमन अनुमानों में निम्नलिखित गुण हैं: कहाँ पे

$$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$$ $$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$$

• $x_k$ समय पर स्थिति है , जो यादृच्छिक है$k$

• $\hat{x}_{k|k}$ और कलमन एस्किटम हैं, यानी कलमन फ़िल्टर के आउटपुट।$P_{k|k}$

क्या इनका उल्लेख करने के संदर्भ हैं?

धन्यवाद!

Comments

Is का अनुमान किया हुआ समय का अनुमान सहप्रसरण मैट्रिक्स ? वहाँ वास्तव में एक मानक संकेतन का उपयोग नहीं किया गया है, इसलिए यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि आप "कलमन अनुमान" से क्या मतलब है। $P_{k|k}$$k$

— जेसन आर

@ जेसन: हाँ, यह है ...

— टिम

Answer 1

निम्नलिखित दो कथन कहने के बराबर हैं:

$$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$$

(१) अनुमान लगाने वाला निष्पक्ष है ; तथा

$$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$$

(२) अनुमानक सुसंगत है ।

फ़िल्टर के लिए इष्टतम होने के लिए ये दोनों स्थितियाँ आवश्यक हैं - अर्थात कुछ मानदंडों के संबंध में का सर्वोत्तम संभावित अनुमान ।$\mathbf{x}_{k|k}$

यदि (1) सत्य नहीं है, तो माध्य-वर्ग त्रुटि (MSE) पूर्वाग्रह से अधिक विचरण (स्केलर मामले में) होगी। स्पष्ट है, यह केवल विचरण से बड़ा है और इसलिए उप-रूपी है।

यदि (2) सत्य नहीं है (अर्थात फ़िल्टर-गणना की गई कोवरियन, सच्चे सह-समूह से भिन्न है) तो फ़िल्टर भी उप-प्रकार होगा। चूंकि कलमैन गेन गणना की गई राज्य सहसंयोजक पर आधारित है, इसलिए सहसंयोजक में त्रुटि के कारण त्रुटि होगी। लाभ में त्रुटि का अर्थ है माप का एक उप-भारित भार।

(जैसा कि ऐसा होता है, दोनों ही स्थितियां ठीक से तैयार किए गए फ़िल्टर के लिए सही होती हैं। मॉडलिंग में त्रुटियां, जैसे कि डायनेमिक मॉडल या नॉइज़ कॉवरिएंस भी फ़िल्टर सबॉप्टीमल प्रस्तुत करेंगे)।

स्रोत: बार-शालोम , विशेष रूप से पृष्ठ २४२-२३३ पर धारा ५.४।

Answer 2

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक यादृच्छिक चर नहीं है। यह प्रणाली की स्थिति है जो नियतात्मक है, जो सामान्य रूप से, चर में । जो कि बराबर है $x_k$$k$

$$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$$ $$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$$

इसके अलावा,

$$Var(x_k) = 0$$

तथा,

$$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$$ जो, जो कि निर्धारक है, को भी$x_k$$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

पृष्ठभूमि

$x_k$ प्रणाली की स्थिति है जो नियतात्मक है। यह सिस्टम के शोर के विपरीत है, जिसे अधिकांश साहित्य में वेरिएंट साथ रूप में दर्शाया गया है । इससे भी अधिक, कुछ साहित्य एक गुणांक मैट्रिक्स के साथ सिस्टम शोर को मॉडल करते हैं; जिस स्थिति में मैट्रिक्स को प्रसार अनुमान में द्वारा प्रतिस्थापित किया , जहां शोर कोफिसिन्ट मैट्रिक्स है। विस्तृत करने के लिए, सिस्टम प्रतिनिधित्व, इस मामले में, द्वारा दिया जाता है: $w$$Q$$Q$$GQG^T$$G$

$$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$$

एक संदर्भ के रूप में: कलमैन का पेपर खुद:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

Comments

जहां तक ​​मुझे पता है कि एक यादृच्छिक प्रक्रिया है। का विचरण प्रक्रिया के शोर द्वारा दिया जाता है। दिए गए अहसास के लिए निर्धारक है। $\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$$x_k$$x_k$

— रॉय

@ ड्रैगिक प्रक्रिया शोर को आमतौर पर वेरिएशन Q के साथ प्रतीक w दिया जाता है। xk सिस्टम स्थिति है, इसका कोई मतलब नहीं होगा कि राज्य यादृच्छिक हैं; दूसरे पर अनुमान, एक यादृच्छिक चर होने के नाते, समझ में आता है

— aiao

मैं भ्रमित हूं: यदि इसे बनाने के लिए (जो स्टोकेस्टिक है) जोड़ा जा रहा है तो कैसे नियतात्मक हो सकता है? एकमात्र तरीका निर्धारक हो सकता है यदि स्टोकेस्टिक घटक शून्य है, हाँ? $x_{k+1}$$Gw$$x_{k+1}$

— पीटर के.एच.

@PeterK। क्योंकि हर में एक निश्चित अहसास मानता है$w$$k$

— aiao

जबकि कलमैन ने खुद को कभी भी स्टेट वेक्टर को स्टोकेस्टिक वैरिएबल नहीं माना (मुझे लगता है कि मैं इसे डौकेट में विशेषता दे सकता हूं, लेकिन मैं गलत हो सकता हूं), कलमन फ़िल्टर बेयस नियम से प्राप्त किया जा सकता है। इस उदाहरण में, स्टेट वेक्टर । विकिपीडिया देखें । $\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$

— डेमियन