गाऊसी के लाप्लासियन में सिग्मा और गौसियंस के अंतर में दो सिग्मा के बीच क्या संबंध है?

Question

मैं समझता हूं कि एक लाप्लासियन-ऑफ-गॉसियन फ़िल्टर को अंतर-गॉसियन फ़िल्टर द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, और बाद के लिए दो सिगमाओं का अनुपात सबसे अच्छा सन्निकटन के लिए 1: 1.6 होना चाहिए। हालाँकि, मुझे यकीन नहीं है कि गौसियंस के अंतर में दो सिग्मा कैसे गाऊसी के लाप्लासियन के लिए सिग्मा से संबंधित हैं। क्या पूर्व में छोटा सिग्मा उत्तरार्द्ध के सिग्मा के बराबर है? क्या बड़ा सिग्मा है? या रिश्ता कुछ और है?

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> मैं समझता हूं कि एक लाप्लासियन-ऑफ-गॉसियन फ़िल्टर को एक अंतर-गॉसियन फ़िल्टर द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, और बाद के लिए दो सिगमाओं का अनुपात सबसे अच्छा सन्निकटन के लिए 1: 1.6 होना चाहिए। खेद है कि आप इसे किस संदर्भ में जानते हैं?

नमस्ते, मुझे लगता है कि यह सवाल यहाँ फिट होगा - area51.stackexchange.com/proposals/86832/… यह भी समुदाय का समर्थन करेगा। धन्यवाद।

— रॉय

Answer 1

मैं समझता हूं कि एक लाप्लासियन-ऑफ-गॉसियन फ़िल्टर को अंतर-गॉसियन फ़िल्टर द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, और बाद के लिए दो सिगमाओं का अनुपात सबसे अच्छा सन्निकटन के लिए 1: 1.6 होना चाहिए।

सिद्धांत रूप में, दो सिगमाओं के बीच का अनुपात जितना छोटा होगा, उतना ही बेहतर होगा। व्यवहार में, आपको कुछ बिंदुओं पर संख्यात्मक त्रुटियाँ मिलेंगी, लेकिन जब तक आप फ़्लोटिंग पॉइंट नंबरों का उपयोग कर रहे हैं, 1.6 से छोटे मान आपको एक बेहतर सन्निकटन देंगे।

वर्णन करने के लिए, मैंने Mathematica में k के कुछ मूल्यों के लिए LoG और DoG के क्रॉस-सेक्शन का प्लॉट किया है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, k = 1.6 एक आदर्श सन्निकटन नहीं है। उदाहरण के लिए, k = 1.1 बहुत अधिक निकट सन्निकटन देगा।

लेकिन आप आमतौर पर सिगमा की एक सीमा के लिए एलओजी की गणना करना चाहते हैं। (अन्यथा, DoG सन्निकटन से परेशान क्यों है? एक ही LoG फ़िल्टर की गई छवि की गणना करना एक DoG फ़िल्टर्ड छवि की गणना करने से अधिक महंगा नहीं है।) इसलिए k का मान आमतौर पर चुना जाता है ताकि आप फ़िल्टर किए गए गॉज़ियन श्रृंखला की गणना कर सकें। sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ... के साथ चित्र, और फिर आसन्न गौसियों के बीच के अंतरों की गणना करें। इसलिए यदि आप एक छोटा k चुनते हैं, तो आपको उसी सिग्मा-रेंज के लिए गॉसियंस की अधिक "परतों" की गणना करनी होगी। k = 1.6 एक करीबी सन्निकटन चाहने और बहुत से अलग-अलग गॉसियों की गणना नहीं करने के बीच एक व्यापार-बंद है।

हालाँकि, मुझे यकीन नहीं है कि गौसियंस के अंतर में दो सिग्मा कैसे गाऊसी के लाप्लासियन के लिए सिग्मा से संबंधित हैं। क्या पूर्व में छोटा सिग्मा उत्तरार्द्ध के सिग्मा के बराबर है?

विकी पृष्ठ @Libor से जुड़े फ़ार्मुलों से, आप उस को देख सकते हैं , इसलिए लगभग कुछ सिग्मा के लिए एक LoG, आपको sigmas sqm साथ दो गाऊसी चाहिए और (कम से कम सीमा )। या, कश्मीर के संदर्भ में:$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

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मुझे खेद है कि अगर मैं गलत हूं, लेकिन क्या यह नहीं है कि LoG की गणना वास्तव में DoG से अधिक महंगी है। चूंकि गॉसियन को 2 1 डी फिल्टर में विभाजित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद ओ (2 ^) के बजाय जटिलता रैखिक हे (2 एन) होगी

— user1916182

@ user1916182: सही है, एक LoG फ़िल्टर अलग नहीं है, प्रति से। लेकिन न तो एक DoG फ़िल्टर है। लेकिन वे दोनों कर रहे हैं रकम दो वियोज्य फिल्टर (कुत्ते के लिए अलग पैमाने के साथ दो Gaussians, लॉग के लिए दो 2nd आदेश गाऊसी व्युत्पन्न फिल्टर) की। आप DoG के साथ समय की बचत करते हैं यदि आप अगले पैमाने के स्तर के लिए दो गाऊसी के "बड़े" का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए आपको n LoG के लिए 2 * n गाऊसी व्युत्पन्न फिल्टर के विपरीत n + 1 के लिए n + 1 गाऊसी की गणना करनी होगी। ।

— निकी एस्टनर

Answer 2

हो सकता है कि यहां सूत्र आपकी मदद कर सकते हैं।

चूंकि स्केल स्पेस प्रतिनिधित्व प्रसार समीकरण को संतुष्ट करता है, एलओजी की गणना स्केल स्पेस के दो स्लाइस के बीच अंतर के रूप में की जा सकती है।

इसके अलावा, जब DoG फॉर्मूला निकाला जाता है, तो हम पहले LoG को परिमित रूप से अलग करते हैं। मुझे लगता है कि सिग्मा के लिए विशिष्ट अनुपात इस तथ्य से आता है कि पैमाने में एक इकाई कदम पहले स्थान पर अनुमानित एलओजी के लिए लिया जाता है।

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धन्यवाद, लेकिन मैंने पहले से ही उन लोगों को देखा। वे मुझे यह बताने के लिए प्रतीत नहीं होते हैं कि क्या सिग्मा या के * सिग्मा टी पैरामीटर के अनुरूप मूल्य है (जो गौसियन समीकरण के लाप्लासियन के लिए सिग्मा मान के समान है)।

— दृश्य-गतिज

यह बीच में कहीं है: s <t <k * s। चूंकि अंतर (y (a) - y (b)) / (ba) सन्निकट (जब b - a -> 0) व्युत्पन्न at (a + b) / 2 हालाँकि, जब से आप k-> 1 की सीमा नहीं ले रहे हैं, यह केवल एक सन्निकटन है और आप वास्तव में सर्वश्रेष्ठ सिग्मा को इंगित नहीं कर सकते हैं (जब तक कि आप एक विशिष्ट अनुकूलन मानदंड निश्चित नहीं करते हैं)।

— नीमरोड