कैसे समझें कि कलामन सहज रूप से प्राप्त करता है?

Question

Kalman फिल्टर एल्गोरिथ्म इस प्रकार काम करता है

प्रारंभिक और |पी 0 | $\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

प्रत्येक पुनरावृत्ति$k=1,\dots,n$

भविष्यवाणी

पूर्व निर्धारित (एक प्राथमिकता) राज्य का अनुमान पूर्वनिर्धारित (एक प्राथमिकता) अनुमान covariance अद्यतनPk| k-1=FkPk-1| के-1एफ

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

नवाचार या माप अवशिष्ट नवाचार (या अवशिष्ट) covariance Optimal Kalman gain अपडेट किया गया (का अनुमान किया हुआ) राज्य अनुमान Updated | (एक बादरी) का अनुमान है कि Sk=HkPk| k-1H T k +R

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

कलमैन लाभ त्रुटि के सापेक्ष महत्व का प्रतिनिधित्व करता है पूर्व अनुमान ।$K_k$$\tilde{\textbf{y}}_k$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

मुझे आश्चर्य है कि कैसे Kalman के लिए सूत्र को समझने के लिए intuitively ? इस मामले पर विचार करें जब राज्यों और आउटपुट को स्केलर किया जा रहा है, तो लाभ क्यों बड़ा है, कब$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$ बड़ा है

• $\textbf{H}_k$ बड़ा है

• $\textbf{S}_k$ छोटा है?

धन्यवाद एवं शुभकामनाएँ!

Comments

यह ठीक से जवाब देने के लिए एक कठिन सवाल है। मैंने कोशिश की, लेकिन अपने ही जवाब से आश्वस्त नहीं हुआ। मूल रूप से यह लाभ नियंत्रित करता है कि आप अनुमान से अधिक माप पर भरोसा करते हैं, लेकिन मैं यह नहीं बता सकता कि यह लाभ कैसे अनुरूप है।

— Jav_Rock 15

Answer 1

मैं Kalman लाभ की सहज सोच का एक अच्छा रास्ता मिल गया । यदि आप इस प्रकार लिखते हैं$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

आप महसूस करेंगे कि मैट्रिसेस ( ) और ( ) के सापेक्ष परिमाण फ़िल्टर स्थिति के अनुमानित अनुमान ( ) के उपयोग और माप ( ) के बीच के संबंध को नियंत्रित करते हैं ।$R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

माप अद्यतन समीकरण में पहली सीमा को प्रतिस्थापित करना

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

सुझाव देता है कि जब का परिमाण छोटा होता है, जिसका अर्थ है कि माप सटीक हैं, तो राज्य का अनुमान अधिकतर मापों पर निर्भर करता है।$R$

जब राज्य को सटीक रूप से जाना जाता है, तो की तुलना में छोटा होता है , और फिल्टर ज्यादातर पिछले राज्य ( ) से ली गई भविष्यवाणी पर निर्भर होने के बजाय माप को अनदेखा करता है ।$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

Comments

धन्यवाद! यदि मैं सही हूं, तो के संबंध में । $K_k$$H_k$

— टिम

Answer 2

कलमैन लाभ आपको बताता है कि मैं कितना माप देकर अपना अनुमान बदलना चाहता हूं।

${\bf S}_k$ मापन का अनुमानित सहसंयोजक मैट्रिक्स है । यह हमें हमारे माप में "परिवर्तनशीलता" बताता है। यदि यह बड़ा है, तो इसका मतलब है कि माप "बहुत कुछ" बदलते हैं। इसलिए इन मापों में आपका विश्वास कम है। दूसरी ओर, यदि छोटा है , तो परिवर्तनशीलता कम है, माप में हमारा आत्मविश्वास बढ़ता है। जब हम अपने माप के बारे में आश्वस्त होते हैं, तो आश्वस्त होते थे कि जो जानकारी हम प्राप्त कर रहे हैं, वह हमारे राज्य के अनुमानों को अपडेट / बदलने के लिए पर्याप्त है। तो कलमन लाभ अधिक है।${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$ अनुमानित राज्य सहसंयोजक मैट्रिक्स है। यह हमें राज्य की "परिवर्तनशीलता", । यदि बड़ा है , तो इसका मतलब है कि राज्य में बहुत कुछ बदलने का अनुमान है। इसलिए आपको नए मापों के साथ अपने अनुमानों को बदलने में सक्षम होना चाहिए। नतीजतन, कलमन लाभ अधिक है।${\bf x}_k$${\bf P}_k$

इसके विपरीत, यदि छोटा है, तो आप जानते हैं कि आपका राज्य बहुत अधिक नहीं बदलता है, इसलिए आप अपने अनुमानों को हर बार तत्काल बदलना नहीं चाहते हैं। @ Jav_Rock का उत्तर कहता है कि यदि , तो । दूसरे शब्दों में, उन्होंने कहा कि यदि आपको लगता है कि आपका राज्य अब अलग नहीं है, तो आप अपना अनुमान बदलने की कोशिश नहीं करते हैं।P k →0K→${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

Answer 3

Jav_Rock को बात मिली। वास्तव में अगर आप इस तरह से$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

अंश का अंश, मॉडल से प्रचारित अनिश्चितता के लिए खड़ा है, जबकि माप से अनिश्चितता के लिए खड़ा है। तो अंश का मान इस बात के लिए है कि हमें माप पर कितना भरोसा करना चाहिए, जैसा कि Jav_Rock द्वारा समझाया गया है।$\bf{R_k}$

जैसा कि , यह केवल अवलोकन को राज्य में वापस बदल देता है, क्योंकि यह वह स्थिति है जिसे हम अपडेट करना चाहते हैं, अवलोकन नहीं।$\bf{H_k^-}$

लपेटने के लिए, लाभ गणना करता है कि हमें अवलोकन से कितना सुधार करना चाहिए और अवलोकन के सुधार को वापस राज्य के सुधार में बदलना चाहिए, जो राज्य के अनुमान का अद्यतन करता है:$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

Answer 4

मैं कलमन फ़िल्टर (KF) एल्गोरिथ्म पर काम कर रहा हूं। मैंने देखा कि कलमन एल्गोरिदम को समय के साथ परिवर्तित करने से संबंधित है, अर्थात एल्गोरिथ्म कितनी तेजी से सही होता है और अवशिष्ट को कम करता है।

समीकरण में आने से एक प्रारंभिक कलमन लाभ का चयन होता है और यह निम्न से उच्च तक भिन्न होता है, जो आपको एक अनुमान लगा सकता है।