"वर्णक्रमीय क्षण" से क्या अभिप्राय है?

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मैंने Google और विकी के सर्वशक्तिमान oracles से परामर्श किया है, लेकिन मुझे "स्पेक्ट्रम के क्षण" वाक्यांश के लिए परिभाषा नहीं मिल सकती है।

एक विरासत कार्य पाठ जो मैं पढ़ रहा हूं वह निम्नलिखित तरीके से उपयोग करता है, प्रति यूनिट समय के अनुसार शून्य-क्रॉसिंग की संख्या को परिभाषित करता है:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{2}}{m_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

इसके बाद यह आगे दिए गए समय के अनुसार प्रति इकाई समय की संख्या को परिभाषित करता है:

N_{e} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{4}}{m_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

आखिरकार यह कहां जाता है, "कहां $m_i$ है $i$ स्पेक्ट्रम का क्षण। "

इससे पहले कोई मुठभेड़? एक स्पेक्ट्रम का "क्षण" क्या है? मैंने इससे पहले डीएसपी साहित्य में इसके बारे में कभी नहीं सुना।

frequency-spectrum

— स्पेसी
स्रोत

वर्णक्रमीय क्षणों के लिए यादृच्छिक प्रतिक्रिया आँकड़ों के निर्धारण के लिए वर्णक्रमीय क्षणों की कुशल संगणना का उल्लेख करना : "वर्णक्रमीय क्षणों की गणना एक तरफा PSD से की जाती है"

— लॉरेंट

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मुझे लगा कि फिल्म घोस्टबस्टर्स में क्या हुआ था! :-)

— पीटर के.एच.

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पूरे में कम-पास संकेतों को मान लें।

जबसे $X(f)$ पावर स्पेक्ट्रम का उपयोग करके आमतौर पर जटिल-मूल्यवान है $|X(f)|^2$ शायद एक बेहतर विचार है, खासकर यदि आप बाद में वर्गमूल आदि लेना चाहते हैं। इस प्रकार, $m_k$ की तरह परिभाषित किया गया है

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$ विशेष रूप से ध्यान दें कि

m_{0}

$m_0$ सिग्नल में शक्ति है, और

m_{1} = 0

$m_1 = 0$ अब, गाबोर बैंडविड्थ

G

$G$ द्वारा एक संकेत दिया जाता है

G = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$ इसे थोड़ा अलग परिप्रेक्ष्य में रखने के लिए,

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ एक nonnegative फ़ंक्शन है, और "वक्र के नीचे का क्षेत्र"

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ , ”अर्थात।

m_{0}

$m_0$ , संकेत में शक्ति है। इसलिए,

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$ प्रभावी रूप से शून्य-माध्य रैंडम वैरिएबल की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है जिसका विचरण होता है

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{2} \frac{| X (f) |^{2}}{m_{0}} d f = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f} = G^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$ ।

आवृत्ति का एक साइनसॉइड $G$ हर्ट्ज है $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ प्रति सेकंड शून्य क्रॉसिंग। चूँकि मोहम्मद एक विरासत की किताब पढ़ रहे हैं, इसलिए यह अच्छा हो सकता है $\omega$ , और इस प्रकार यदि $G$ प्रति सेकंड रेडियन में गैबर बैंडविड्थ है, हमें विभाजित करने की आवश्यकता है $2\pi$ दे रही है

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} zero crossings per second.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

एक्सट्रीमा की ओर मुड़ते, व्युत्पन्न की $x(t)$ फूरियर रूपांतरण है $j2\pi f X(f)$ और बिजली स्पेक्ट्रम $|2\pi f X(f)|^2$ । इसका गैबोर बैंडविड्थ है

\begin{aligned} G^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | 2 π f X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π f X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{4} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$ पहले के समान तर्कों का उपयोग करना (व्युत्पन्न प्रति अवधि के दो शून्य-क्रॉसिंग, प्रति अवधि दो एक्स्ट्रामा के समान है), रेडियन बनाम हर्ट्ज़ियन आवृत्ति, हम प्राप्त करते हैं

N_{e} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} extrema per second.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

महान जवाब दिलीप ... लेकिन, "गैबर बैंडविड्थ"? ... मैंने इसके बारे में पहले कभी नहीं सुना है, और मुझे वेब से इस पर कोई भी जानकारी नहीं मिल रही है - आपको इसका सूत्र कहां से मिला? और वास्तव में क्या मापना चाहिए?

— स्पेसी

पीडीएफ लिंक के लिए धन्यवाद - हालांकि मुझे विश्वास नहीं है कि वे काम कर रहे हैं। क्या आप सत्यापित कर सकते हैं?

— स्पेसी

अगर आपको सावधान रहना चाहिए

f

$f$ हज़ में है; इस मामले में सही वर्णक्रमीय क्षण है

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π f)^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

— जाँकोस

@jankos क्या आपके पास इस बात का संदर्भ है कि आप जो दावा करते हैं वह वर्णक्रमीय क्षण की सही परिभाषा है

m_{k}

$m_k$ ?

— दिलीप सरवटे

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मुझे नहीं पता है कि मैंने उस शब्द को पहले सुना है, लेकिन मैं "क्षण" शब्द की व्याख्या करता हूं, जो कि द्रव्यमान के केंद्र और क्षेत्र के पहले और दूसरे क्षणों की भौतिक अवधारणाओं के अनुरूप अर्थ है:

म_{क} = \int_{- \infty}^{\infty} च^{क} एक्स (च) घ च

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

यही है, स्पेक्ट्रम में हर आवृत्ति पर सामग्री को भारित किया जाता है $k$ आवृत्ति की-शक्ति और परिणाम पूरे स्पेक्ट्रम में अभिव्यक्त होता है। सुनिश्चित नहीं है कि यह वही है जो आप चाहते हैं, लेकिन यह एक स्पेक्ट्रम के लिए एक पल की अवधारणा है (या उस मामले के लिए एकल चर का कोई भी कार्य)।

— जेसन आर
स्रोत

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आपके द्वारा उल्लेखित अनुपात मानकीकृत क्षणों के उदाहरण हैं या $L$ -मौत । सिग्नल प्रोसेसिंग में क्षण भौतिकी के लिए क्षणों के समान हैं, और आंकड़ों में क्षण। भौतिकी में, क्षण की धारणा है:

एक दूरी और एक अन्य भौतिक मात्रा के उत्पाद को शामिल करने वाला एक अभिव्यक्ति, और इस तरह से यह निर्धारित करता है कि भौतिक मात्रा कैसे स्थित या व्यवस्थित है

इसे द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। माध्य, मानक विचलन, या तिरछापन और कुर्तोसिस व्युत्पन्न धारणाएं हैं, और उन्हें किसी भी डोमेन में गणना की जा सकती है, जैसे समय या आवृत्ति। मूल रूप से, $\alpha$ एक समारोह के -moment $g$ डोमेन पर $D$ , मूल्य के आसपास $c$ , द्वारा अभिन्न रूप में परिभाषित किया गया है:

म_{{जी}_{डी}} (α, सी) = \int_{डी} (टी - सी)^{α} जी (टी) घ टी

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$ या

म_{{जी}_{डी}} (α, सी) = \int_{डी} [टी - सी |^{α} जी (टी) घ टी

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$ जब जरूरत। वास्तविक संकेतों के लिए, शास्त्रीय रूप से

x

$x$ , समरूपता के कारण, फूरियर डोमेन के साथ

X (f)

$X(f)$ , वर्णक्रमीय क्षणों को शक्ति सामान्यीकृत ऊर्जा के संबंध में परिभाषित किया गया है (

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$ )

म_{α} = \int_{च \geq 0} च^{α} \frac{| एक्स (च) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | एक्स (ν) |^{2} घ ν} घ च

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

उदाहरण के लिए देखें: वर्णक्रमीय क्षणों के लिए यादृच्छिक प्रतिक्रिया के आंकड़ों के निर्धारण के लिए वर्णक्रमीय क्षणों की कुशल गणना : "वर्णक्रमीय क्षणों की गणना एकतरफा PSD से की जाती है"।

के अनुपात में बदल गया $L$ -मोमेंट्स, वे एक्स्ट्रेमा, जीरो-क्रॉसिंग या स्पार्सिटी ( सहित,) कार्य-व्यवहारों के स्केल-फ़्री, यूनिट-फ़्री इंडिकेटर्स बन सकते हैं (के साथ) $m_1/m_2$ उदाहरण के लिए) ।

— लॉरेंट डुवल
स्रोत