उच्च परिशुद्धता के लिए थोड़ा दोलन श्रृंखला की गणना?

मान लीजिए मैं निम्नलिखित दिलचस्प समारोह है: इसके कुछ अप्रिय गुण हैं, जैसे इसके व्युत्पन्न of के तर्कसंगत गुणकों पर। मुझे लगता है कि एक बंद रूप मौजूद नहीं है।

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

मैं इसे आंशिक रकमों की गणना करके और रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन का उपयोग करके गणना कर सकता हूं, लेकिन समस्या यह है कि फ़ंक्शन को दशमलव अंकों की अच्छी संख्या से गणना करना बहुत धीमा है (उदाहरण के लिए, 100 अच्छा होगा)।

क्या कोई विधि है जो इस फ़ंक्शन को बेहतर तरीके से संभाल सकती है?

यहाँ की एक साजिश है कुछ कलाकृतियों के साथ: $f'(\pi x)$

$फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— किरिल
स्रोत

शायद आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि

, जहां

एक चेबिशेव बहुपद है। फिर सम्मिश्रण तर्कसंगत बहुपद की श्रृंखला की तरह दिखाई देने लगता है। फिर यदि आप श्रृंखला को चेब्शेव में एक तर्कसंगत बहुपद में बदल सकते हैं, तो यह इसे योग करने के लिए एक बहुत ही कुशल तरीका होगा। यदि आप चेबिशेव पॉलिनॉमिअल्स और आधार से परिचित नहीं हैं, तो सी में न्यूमेरिकल रेसिपी में एक अच्छा प्राइमर है, साथ ही इसमें: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPPirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

एर, कि

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— जे लेमोन

@JayLemmon उस लिंक के लिए धन्यवाद। मैं देखूंगा और देखूंगा कि क्या यह मदद करता है।

— किरिल

मैं इस पार्टी में शामिल होने से कर रहा हूँ थोड़ी देर हो चुकी है, लेकिन आप Padé approximants उपयोग करने की कोशिश, यानी

-Algorithm बजाय रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन?

ε

$\varepsilon$

— पेड्रो

अत्यधिक दोलन अभिन्नों के मामले के अनुरूप, मुझे नहीं लगता कि आप थरथरानवाला और गैर-आर्थिक भागों के बीच अलगाव के कुछ ज्ञान के बिना एक अच्छा काम करने में सक्षम होंगे। यदि आपके पास इस तरह का अलगाव है, तो फूरियर श्रृंखला का उत्तर आपको आसान घातीय अभिसरण देता है।

— ज्योफ्री इरविंग

जवाबों:

यदि विश्लेषणात्मक तकनीकों को रोक दिया गया है, लेकिन आवधिक संरचना ज्ञात है, तो यहां एक दृष्टिकोण है। चलो

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ श्रृंखला के लिए मान और डेरिवेटिव

— जेफ्री इरविंग
स्रोत

धन्यवाद। समस्या यह है कि मैंने इस विशिष्ट फ़ंक्शन को एक और अधिक जटिल फ़ंक्शन के लिए एक मॉडल के रूप में चुना जिसे मैं वास्तव में मूल्यांकन करना चाहता था, जिसमें समान विशेषताएं थीं, लेकिन वास्तव में समान नहीं थीं। मुझे MSE पर इस प्रश्न से बंद फॉर्म के बारे में पता है । मेरा मतलब यह था कि एक अनंत श्रृंखला के बारे में एक सवाल जो संख्यात्मक रूप से बंद फॉर्म के बिना है।

— किरिल

शायद मेरा दूसरा जवाब बेहतर है?

— ज्योफ्री इरविंग

लेविन यू-ट्रांसफॉर्म के बारे में कैसे ? फोर्टन कोड के अलावा, जीएसएल में कई संस्करण हैं : `gsl_sum_levin_u * ' । मतलाब के मुपद और मेपल इस योजना का उपयोग करते हैं।

— horchler
स्रोत

मैंने इसे आजमाया, लेकिन मैंने रिचर्डसन को अधिक सटीक पाया।

— किरिल