कठोर ODE प्रणाली की परिभाषा

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ODE सिस्टम , लिए एक IVP पर विचार करें । आमतौर पर इस समस्या को तब कड़ा माना जाता है जब जैकोबी मैट्रिक्स दोनों के पास बहुत बड़े नकारात्मक वास्तविक भाग के साथ eigenvalues और बहुत छोटे नकारात्मक वास्तविक भाग के साथ eigenvalues होते हैं (मैं केवल स्थिर मानता हूं मामला)। $y'=f(x,y)$ $y(x_0)=y_0$ $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

दूसरी ओर, केवल एक समीकरण के मामले में, उदाहरण के लिए प्रोथेरो-रॉबिन्सन समीकरण $y'=\lambda y + g'+\lambda g$ , इसे कहते समय कठोर कहा जाता है $\lambda\ll -1$ ।

तो दो प्रश्न हैं:

क्यों छोटे eigenvalues ODE सिस्टम के लिए कठोरता की परिभाषा में शामिल हैं? मेरा मानना है कि सिस्टम के सख्त होने के लिए केवल बहुत बड़े नकारात्मक वास्तविक भागों की उपस्थिति काफी है, क्योंकि इससे हम स्पष्ट तरीकों के लिए छोटे टाइमस्टेप का उपयोग करते हैं।
हां, मुझे पता है कि सबसे आम कठोर समस्याएं (जैसे कि परवलयिक पीडीई से उत्पन्न) में बड़े और छोटे दोनों प्रकार के आइजेनवल होते हैं। तो दूसरा सवाल: क्या बहुत छोटे eigenvalues के बिना बड़े कठोर सिस्टम का एक अच्छा प्राकृतिक उदाहरण है (या वैकल्पिक रूप से हल्के अनुपात $\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ ) के साथ?

ठीक है, चलिए प्रश्न को संशोधित करते हैं। दो दो आयामी रैखिक ओडीई प्रणालियों पर विचार करें: पहला eigenvalues {-1000000, -0.00000001} और दूसरा {-1000000, -999999} के साथ। मेरे लिए, वे दोनों कठोर हैं। लेकिन अगर हम कठोरता अनुपात परिभाषा पर विचार करते हैं, तो दूसरी प्रणाली नहीं है। मुख्य प्रश्न: कठोरता अनुपात को आखिर क्यों माना जाता है?

और सवाल का दूसरा हिस्सा अभी भी महत्वपूर्ण है, इसे विरोधाभास करने देता है: मैं एक "प्राकृतिक" बड़े ओजेनवल सिस्टम के साथ "ओडीडी" प्रणाली की तलाश कर रहा हूं और हल्के कठोरता अनुपात (इससे बड़ा नहीं, कहते हैं, 100)।

ode stiffness

— faleichik
स्रोत

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Scicomp.se में आपका स्वागत है। आपके प्रश्नों का उत्तर विकिपीडिया पर पूरी तरह से दिया गया है: en.m.wikipedia.org/wiki/Stiff_equation

— डेविड केचेसन

मुझे लगता है कि @DavidKetcheson की टिप्पणी और मेरे द्वारा उद्धृत कई स्रोतों के बीच, आप देखेंगे कि कठोरता अनुपात केवल एक दिशानिर्देश है। यह सही नहीं है; इसलिए यह परिभाषा में नहीं है। यह कई की विशेषता है, लेकिन सभी नहीं, कठोर सिस्टम। और दूसरे भाग के रूप में, मुझे लगता है कि आप इसे खोजने के लिए मुश्किल से दबाएंगे जब तक कि इसमें विशेष संरचना न हो या किसी एप्लिकेशन में उत्पन्न न हो। मैंने आपको ऐसे एप्लिकेशन का एक उदाहरण दिया है जहां कठोरता अनुपात हमेशा बड़ा नहीं होता है, और मैं आपको हेअर और वानर की पुस्तक को देखने के लिए प्रोत्साहित करता हूं।

— ज्योफ ऑक्सबेरी

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@ डेविड: मैं आपसे सहमत नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए एक आयामी समस्या y '= - 50 (y-cos x) लें। "आइजनवेल्यू" -50 है। एक स्पष्ट Euler के साथ 2/50 से अधिक चरणों के साथ इस समस्या को हल नहीं कर सकता है। अगर हम -50 को 50000 के साथ बदलें तो टाइमस्टेप पर प्रतिबंध 2/50000 हो जाता है। इस बाधा को दूर करने के लिए हम किन "इकाइयों" का चयन कर सकते हैं?

— फलेचिक

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@faleichik आपके उदाहरण का भाग "धीमा कई गुना" के समय के पैमाने को ठीक करता है (जो संभवत: उस समय पैमाने पर है जिसमें आप रुचि रखते हैं, हालांकि यह बोधगम्य है कि आप बहुत कम समय के तराजू में दिलचस्पी लेंगे)। मुझे विश्वास नहीं है कि एक पर्यवेक्षणीय समय के पैमाने को चुनने के बिना कठोरता को परिभाषित करना संभव है (संभवतः स्पष्ट रूप से उन गुणों को बताते हुए जिन्हें आप अधिक समय तक संरक्षित करना चाहते हैं)। कठोरता अनुपात केवल स्वायत्त प्रणाली के सबसे तेज़ और सबसे धीमे समय के बीच के पैमाने को अलग करता है।

\cos x

$\cos x$

— जेड ब्राउन

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इस प्रश्न में इस प्रश्न का एक नया, बेहतर उत्तर है ।

— डेविड केचेसन

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कठोरता में तराजू के कुछ अलगाव शामिल हैं। सामान्य तौर पर, यदि आप सिस्टम में सबसे तेज मोड के चरण में रुचि रखते हैं, तो आपको इसे हल करना होगा और सिस्टम कठोर नहीं है। लेकिन अक्सर, आप सटीक दर के बजाय एक "धीमी कई गुना" की दीर्घकालिक गतिशीलता में रुचि रखते हैं, जिस पर धीमी गति से बंद समाधान इसे दृष्टिकोण करता है।

रासायनिक प्रतिक्रियाएं और प्रतिक्रियाशील प्रवाह कठोर प्रणालियों के सामान्य उदाहरण हैं। वैन पोल दोलक der स्तोत्र integrators एक ट्यूनेबल कठोरता परमाटर है कि के लिए एक आम बेंचमार्क समस्या है।

एक महासागर एक और उदाहरण है जो शायद कल्पना करने में सहायक है। सुनामी (सतह की गुरुत्व तरंगें) एक हवाई जहाज की गति से यात्रा करती हैं और जटिल लहर संरचना का निर्माण करती हैं, लेकिन लंबे समय के तराजू पर फैलती हैं और ज्यादातर समुद्र की दीर्घकालिक गतिशीलता के लिए असंगत होती हैं। एडीज़ या दूसरी ओर, काफी पैदल गति से लगभग 100 गुना धीमी गति से यात्रा करते हैं, लेकिन मिश्रण और परिवहन तापमान, लवणता और जैव-रासायनिक लक्षणों के कारण होते हैं जो प्रासंगिक हैं। लेकिन एक ही भौतिकी जो एक सतह गुरुत्व तरंग का प्रचार करती है वह भी एक एड़ी (एक अर्ध-संतुलन संरचना) का समर्थन करती है, इसलिए एड़ी का वेग, कोरिओलिस के तहत मार्ग, और अपव्यय की दर गुरुत्वाकर्षण तरंग की गति पर निर्भर करती है। यह एक समय एकीकरण योजना के लिए एक अवसर प्रस्तुत करता है जिसे कठोर प्रणालियों के लिए गुरुत्व तरंग के समय के पैमाने पर तैयार किया जाता है और केवल प्रासंगिक डायनेमिक पैमानों को हल किया जाता है। देखबंटवारे की तुलना और पूरी तरह से निहित एकीकरण योजनाओं के साथ इस समस्या की चर्चा के लिए मूसो, नोल और रीसनेर (2002) ।

संबंधित: हाइपरबोलिक पीडीई के एकीकरण में निहित तरीकों का इस्तेमाल कब किया जाना चाहिए?

ध्यान दें कि विवर्तनिक प्रक्रियाओं को आमतौर पर कठोर माना जाता है क्योंकि असतत प्रणाली में सबसे तेज समय स्केल मेष-निर्भर है, साथ स्केलिंग , लेकिन प्रासंगिक भौतिकी का समय स्केल मेष स्वतंत्र है। वास्तव में, किसी दिए गए जाल के लिए सबसे तेज समय तराजू कई गुना धीमी गति से स्थानीय विश्राम का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिस पर लंबे स्थानिक तराजू विकसित होते हैं, इसलिए सबसे तेज़ तरीके से हल नहीं करने के बावजूद मजबूत मानदंडों में भी निहित तरीके बहुत सटीक हो सकते हैं। $(\Delta x)^2$

— जेड ब्राउन
स्रोत

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भाग 1

छोटे eigenvalues ODE (प्रारंभिक मूल्य समस्या) सिस्टम के लिए कठोरता की परिभाषा में शामिल नहीं हैं । कठोरता की कोई संतोषजनक परिभाषा नहीं है जो मुझे पता है, लेकिन सबसे अच्छी परिभाषा जो मुझे मिली है वह हैं:

यदि किसी प्रारंभिक स्थिति के परिमित क्षेत्र के साथ एक संख्यात्मक पद्धति, किसी भी प्रारंभिक स्थितियों के साथ एक प्रणाली पर लागू होती है, तो एक निश्चित अंतराल के एकीकरण के लिए एक कदम लंबाई में उपयोग करने के लिए मजबूर किया जाता है जो उस अंतराल में सटीक समाधान की चिकनाई के संबंध में अत्यधिक छोटा होता है। , तो सिस्टम को उस अंतराल में कठोर कहा जाता है। (लैम्बर्ट, जेडी (1992), न्यूमेरिकल डिफरेंशियल सिस्टम के लिए न्यूमेरिकल मेथड्स , न्यूयॉर्क: विंस)।

एक आईवीपी [प्रारंभिक मूल्य समस्या] कुछ अंतराल में कठोर है अगर आगे यूलर विधि की स्थिरता बनाए रखने के लिए आवश्यक चरण आकार समाधान का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक चरण आकार की तुलना में बहुत छोटा है। (एस्केर, यूएम एंड पेट्ज़ोल्ड, एलपी (1998), ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन और डिफरेंशियल-अलजेब्रासिक इक्वेशन के लिए कंप्यूटर मेथड्स , फिलाडेल्फिया: SIAM।) $[0,b]$

कठोर समीकरण वे समीकरण होते हैं जहां कुछ अंतर्निहित तरीके, विशेष रूप से BDF में, बेहतर प्रदर्शन करते हैं, आमतौर पर स्पष्ट रूप से बेहतर होते हैं। (CF Curtiss & JO Hirschfelder (1952): कड़े समीकरणों का एकीकरण। PNAS, खंड 38, पृष्ठ 235-243।

कड़े समीकरणों पर विकिपीडिया लेख लैम्बर्ट के लिए निम्नलिखित "कथनों" का श्रेय देता है:

एक रैखिक निरंतर गुणांक प्रणाली कठोर है यदि इसके सभी eigenvalues में नकारात्मक वास्तविक भाग है और कठोरता अनुपात बड़ा है।

स्थिरता तब होती है जब सटीकता की आवश्यकता के बजाय स्थिरता की आवश्यकताएं, कदम की लंबाई को बाधित करती हैं। [ध्यान दें कि यह "अवलोकन" अनिवार्य रूप से एस्केर और पेटज़ोल्ड से परिभाषा है।]

कठोरता तब होती है जब समाधान के कुछ घटक दूसरों की तुलना में बहुत तेजी से क्षय करते हैं।

इनमें से प्रत्येक अवलोकनों में प्रतिपक्ष होते हैं (हालांकि माना जाता है कि मैं अपने सिर के ऊपर से एक का उत्पादन नहीं कर सकता था)।

भाग 2

संभवत: सबसे अच्छा उदाहरण मैं साथ आ सकता है जो किसी भी तरह के रासायनिक कैनेटीक्स में बड़े दहन प्रतिक्रिया प्रणाली को एकीकृत करेगा, जो परिस्थितियों में प्रज्वलन के परिणामस्वरूप होगा। इग्निशन तक समीकरणों की प्रणाली कठोर होगी, और फिर यह अब कठोर नहीं होगी क्योंकि सिस्टम एक प्रारंभिक क्षणिक बीत चुका है। इग्निशन ईवेंट के आस-पास के अलावा सबसे बड़े से छोटे ईगेंवल्यू का अनुपात बड़ा नहीं होना चाहिए, हालांकि ऐसी प्रणालियाँ कड़ी इंटीग्रेटर्स को भ्रमित करती हैं, जब तक कि आप अत्यधिक एकीकरण सहिष्णुता निर्धारित नहीं करते हैं।

हेयरर और वानर की पुस्तक अपने पहले खंड (भाग IV, खंड 1) में कई अन्य उदाहरण भी देती है जो कठोर समीकरणों के कई अन्य उदाहरणों का वर्णन करते हैं। (वानर, जी।, हेयरर, ई।, ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन II: स्टिफ एंड डिफरेंशियल-अलजेब्रासिक प्रॉब्लम्स (2002), स्प्रिंगर।)

अंत में, यह सीडब्ल्यू गियर के अवलोकन को इंगित करने लायक है:

हालाँकि, "स्टैड डिफरेंशियल इक्वेशन" के बारे में बात करना आम बात है, प्रति समीकरण एक समान नहीं है, उस समीकरण के लिए एक विशेष प्रारंभिक मूल्य की समस्या कुछ क्षेत्रों में कठोर हो सकती है, लेकिन इन क्षेत्रों का आकार प्रारंभिक मान और प्रकार पर निर्भर करता है त्रुटि सहिष्णुता। (सीडब्ल्यू गियर (1982): स्वत: पता लगाने और थरथरानवाला और / या कठोर साधारण अंतर समीकरणों के उपचार। इन: अंतर समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण, गणित में व्याख्यान नोट्स।, वॉल्यूम 968, पी। 190-206।)

— ज्योफ ऑक्सबेरी
स्रोत

प्रिय ज्योफ, सहिष्णुता के लिए धन्यवाद :-) मैं अपने सवाल को सरल रखना चाहता था, लेकिन आखिरकार अनुभवहीन माना जाने लगा। वास्तव में मैं इन सभी परिभाषाओं को जानता हूं, लेकिन।

— फलेचिक

1. छोटे eigenvalues कठोरता अनुपात की परिभाषा में स्पष्ट रूप से कार्य करते हैं: यह बड़ा है जब डेनिमिनेटर छोटा होता है। 2. एक आयामी रैखिक मामले के लिए कठोरता अनुपात हमेशा एक होता है, यहां तक कि कड़े समीकरणों के लिए भी। 3. क्या आपके पास रासायनिक कैनेटीक्स समस्या के लिए आपके पास कोई संदर्भ है? और 4. मैं टिप्पणी में प्रश्न को स्पष्ट करने की कोशिश करूंगा।

— फलेचिक

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आप यहां CHEMKIN प्रारूप में रासायनिक तंत्र पा सकते हैं । समस्याएं काफी बड़ी हैं कि इनपुट फाइलें आवश्यक हैं, और रसायन विज्ञान पैकेज का उपयोग करके समीकरणों को स्वचालित रूप से सेट किया जाता है। मैं रसायन शास्त्र पैकेज के साथ संयोजन के रूप में इनपुट फ़ाइलों का उपयोग करने का सुझाव Cantera और स्तोत्र / डीएई solver सूट धूप , जो दोनों खुला स्रोत हैं। फिर आप C ++ या MATLAB में ऐसी समस्याओं को हल कर सकते हैं।

— ज्योफ ऑक्सबेरी

मैं व्यक्तिगत रूप से कर्टिस-हिर्स्चफेलर वाक्य को कठोरता की मेरी कामकाजी परिभाषा के रूप में लेता हूं; यदि स्पष्ट रूप से आरके या एडम्स को आपकी समस्या को हल करने में बहुत अधिक समय लग रहा है, तो यह कठोर है।

— जेएम

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वास्तव में जेड ब्राउन ने मेरे लिए प्रश्न को मंजूरी दे दी है। अब मैं जो कुछ कर रहा हूं, वह सिर्फ उनके शब्दों को संदर्भ में रख रहा हूं।

ऊपर से दोनों 2d रैखिक ODE सिस्टम कठोर हैं (अर्थात स्पष्ट तरीकों से हल करना कठिन) सापेक्ष बड़े समय अंतराल पर (जैसे [0,1])।
बड़े कठोरता अनुपात वाले रैखिक सिस्टम को "अधिक कठोर" माना जा सकता है, क्योंकि सबसे अधिक संभावना है कि उन्हें बड़े समय अंतराल पर एकीकृत करना होगा। यह सबसे छोटे eigenvalues के अनुरूप धीमे घटकों के कारण है: समाधान धीरे-धीरे स्थिर अवस्था में जाता है, और यह स्थिर अवस्था आमतौर पर पहुंचने के लिए महत्वपूर्ण है।
दूसरी ओर, बड़े अंतराल पर छोटे कठोरता अनुपात वाले सिस्टम का एकीकरण ब्याज नहीं है: इस मामले में स्थिर स्थिति बहुत तेजी से पहुंच जाती है और हम इसे अतिरिक्त रूप से लागू कर सकते हैं।

इस चर्चा के लिए सभी को धन्यवाद!

— faleichik
स्रोत

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अकेले (एक रैखिक, स्वायत्त समस्या में) eigenvalues की पूर्ण परिमाण का कोई मतलब नहीं है; यह उन इकाइयों की एक कलाकृति है जिन्हें आप समस्या को व्यक्त करने के लिए चुनते हैं।

टिप्पणियों की श्रृंखला नियंत्रण से बाहर हो रही है, इसलिए मैं इसका उत्तर दे रहा हूं। मैं पूर्ण प्रश्न का उत्तर देने नहीं जा रहा हूँ; जैसा कि मैंने कहा, विकिपीडिया या अन्य उत्तर यहां देखें। मैं बस थोड़ा सा जवाब देता हूं जो कहता है

दो दो आयामी रैखिक ओडीई प्रणालियों पर विचार करें: पहला eigenvalues {-1000000, -0.00000001} और दूसरा {-1000000, -999999} के साथ। मेरे लिए, वे दोनों कठोर हैं। लेकिन अगर हम कठोरता अनुपात परिभाषा पर विचार करते हैं, तो दूसरी प्रणाली नहीं है। मुख्य प्रश्न: कठोरता अनुपात को आखिर क्यों माना जाता है?

ठीक है, चलो दूसरे मामले के एक उदाहरण पर विचार करें:

y_{1}^{'} (टी) = - 1000000 y_{1} (टी)

$y_1'(t) = -1000000 y_1(t)$

y_{2}^{'} (टी) = - 999999 y_{2} (टी)

$y_2'(t) = -999999 y_2(t)$

अब विभिन्न इकाइयों के साथ समय चर पर विचार करते हैं: । तब पथरी से पता चलता है कि $t^* = 1000000\cdot t$

y_{1}^{'} ({टी}^{*}) = - y_{1} ({टी}^{*})

$y_1'(t^*) = - y_1(t^*)$

y_{2}^{'} ({टी}^{*}) = - 0.999999 y_{2} ({टी}^{*})

$y_2'(t^*) = -0.999999 y_2(t^*)$

नोट 1: मैंने इसे पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए एक विकर्ण प्रणाली को चुना था, लेकिन यदि आप इसे उन eigenvalues के साथ किसी अन्य सिस्टम के साथ आज़माते हैं, तो आपको एक ही प्रभाव दिखाई देगा, क्योंकि एक मैट्रिक्स को गुणा करने से उसके eigenvalues को उसी क्रम से गुणा करता है।

नोट 2: मैं यहां इस बात पर भी चर्चा नहीं कर रहा हूं कि क्या व्यवस्था कठोर है। मैं केवल इस बात की ओर इशारा कर रहा हूं कि आपकी कठोरता की प्रस्तावित परिभाषा (यानी, किसी भी समस्या के साथ ) का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसका मतलब यह होगा कि कठोरता उन इकाइयों पर निर्भर करती है जिनमें मैं समस्या को व्यक्त करने का चयन करता हूं। $|\lambda|\gg1$

— डेविड केचेसन
स्रोत

डेविड, आपने एकीकरण के अंतराल पर विचार नहीं किया है। पहले मामले में इसे [0,1] होने दें। स्पष्ट यूलर की स्थिरता सीमाओं को मानते हुए, अधिकतम अनुमत चरण 2/1000000 है। इसलिए हमें कम से कम 500 000 कदम बनाने की जरूरत है। जब आप समय को मापते हैं, तो अधिकतम चरण 2 तक बढ़ जाता है, लेकिन एकीकरण का पूरा अंतराल 1 000 000 हो जाता है और हम फिर से न्यूनतम 500 000 कदम मारते हैं।

— faleichik

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@faleichik हाँ, अब आपको मिल गया है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कठोरता को आइजनवेल्स के पूर्ण परिमाण के साथ नहीं करना है, लेकिन आपके समय के हिसाब से उनके आकार के साथ है।

— डेविड केचेसन