परिमित अंतर के साथ ठोस यांत्रिकी: "कोने नोड्स" को कैसे संभालना है?

Question

मेरे पास ठोस यांत्रिकी (रैखिक लोच) के लिए सीमा शर्तों को कोड करने से संबंधित प्रश्न है। विशेष मामले में मुझे परिमित अंतर (3 डी) का उपयोग करना होगा। मैं इस विषय पर बहुत नया हूँ, इसलिए शायद निम्नलिखित कुछ प्रश्न बहुत ही बुनियादी हो सकते हैं।

मेरी विशिष्ट समस्या का नेतृत्व करने के लिए, सबसे पहले मैं यह दिखाना चाहता हूं कि मैंने पहले से ही क्या लागू किया है (इसे स्पष्ट रखने के लिए, मैं केवल 2 डी का उपयोग करूंगा)।

1.) मैं के निम्न discretization है $div(\sigma) = 0$ , विचलन के पहले घटक दिखा $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

मैं एक गैर-कंपित ग्रिड का उपयोग करता हूं, इसलिए Ux और Uy को एक ही स्थान पर परिभाषित किया गया है।

2.) अगला कदम सीमाओं का इलाज करना था, जहां मैं "भूत नोड" का उपयोग करता हूं। के अनुसार $\sigma \bullet n = t^*$ , जहां $t^*$ सीमा पर तनाव है।

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) मुझे लगता है कि अब तक मेरे सभी कदम तर्कपूर्ण लगते हैं, यदि नहीं, तो कृपया मुझे सुधारें । लेकिन अब "कॉर्नर नोड्स" भी हैं, जहां मुझे कोई सुराग नहीं है कि उन्हें कैसे संभालना है।

$div(\sigma) = 0$

तो मेरा सवाल है कि इन "कॉर्नर नोड्स" को संभालने का सही तरीका क्या है? मैं हर विचार के लिए खुश हूं।

Answer 1

मुझे कोने की सीमा की स्थितियों के साथ समान समस्याएं थीं, विशेष रूप से संरचनात्मक प्लेट समस्याओं को एक समान रूप से लागू अनुप्रस्थ दबाव के साथ हल करने में। विशेष रूप से अगर कोई किनारों पर (कोनों सहित) कतरनी भार प्राप्त करने की कोशिश कर रहा है। कतरनी भार ear ^ 3 w / ∂ ^ 2 x .y ​​का एक कार्य है। एक केंद्रीय अंतर योजना का उपयोग करने से यह "भूत" नोड की आवश्यकता होती है जो इस व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए कोने के नोड के लिए विकर्ण है। मुझे विश्वास नहीं है कि आसन्न नोड्स के आधार पर औसत उपयुक्त है। मैंने जो भी किया वह घुमा पल का उपयोग करने के लिए था Mxy कि मैंने कोने के नोड पर गणना की और इसे विस्थापन के एक फ़ंक्शन के रूप में घुमा पल के लिए परिमित अंतर "अणु" के बराबर किया। चूंकि मुझे पहले से ही सभी अन्य आसन्न नोड्स (प्लेट के किनारों के साथ सीमा की स्थिति के आधार पर) के विस्थापन का पता था, इसलिए इस "मुश्किल" कोने के नोड के लिए हल करना एक साधारण मामला था। Ii आशा है कि यह मदद करता है।

Answer 2

आप समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का प्रयास कर सकते हैं जिसमें एक अद्वितीय समाधान नहीं है। कल्पना कीजिए कि आपके पास स्प्रिंग्स द्वारा जुड़े नोड्स का एक गुच्छा है, जो अंतरिक्ष में तैर रहे हैं, और आप प्रत्येक नोड की संतुलन स्थिति को खोजना चाहते हैं। यदि सिस्टम को कुछ निश्चित (या कोई बल लागू नहीं है) के लिए लंगर नहीं डाला गया है, तो कई संभावित समाधान हैं। किसी भी एक समाधान को हमेशा अनुवादित या घुमाया जा सकता है और यह अभी भी एक समाधान है। क्या आपने अनुवाद को खत्म करने के लिए एक कोने के नोड पर विस्थापन को ठीक करने की कोशिश की है, और घुमाव को खत्म करने के लिए दूसरे कोने पर एक विस्थापन को ठीक करने की कोशिश की है?

मैंने एक बार कुछ नोड्स को ठीक करने और दूसरों पर सामान्य बलों को समायोजित करने के इस दृष्टिकोण की कोशिश की थी, लेकिन यह व्यक्तिगत सीमा नोड्स पर बड़ी मात्रा में बल केंद्रित करने के लिए लग रहा था, जिसके परिणामस्वरूप अस्थिरता पैदा हुई। काम खत्म करने के लिए सिर्फ कुछ नोड्स को लंगर डालने की कोशिश नहीं करना था, बल्कि एक सजातीय तनाव के सापेक्ष सभी नोड्स को लंगर डालना था। अनिवार्य रूप से आप पूरे सिस्टम को सजातीय रूप से तनाव देते हैं, लेकिन फिर प्रत्येक नोड पर तनाव की स्थानीय परिभाषा में सजातीय घटक को शामिल करते हैं, इसलिए यह किसी भी अतिरिक्त लोचदार ऊर्जा में योगदान नहीं करता है। आप इस पत्र और उद्धृत संदर्भों में इसके बारे में अधिक पढ़ सकते हैं: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u ।

यह अस्थिरता समस्या संभवत: यांत्रिकी समस्याओं के लिए परिमित तत्वों को चुनने का एक अच्छा कारण है।