एक गैर-समान जाल (केवल 1D) परिमित मात्रा विधि पर पॉइसन समीकरण को हल करते समय अजीब त्रुटि

Question

मैं पिछले कुछ दिनों से इस त्रुटि पर बहस करने की कोशिश कर रहा हूं, अगर किसी ने सलाह दी है कि कैसे आगे बढ़ना है।

मैं एक गैर-समान परिमित मात्रा जाल पर अज्ञात चार्ज सेल डिस्ट्रीब्यूशन (इलेक्ट्रोस्टैटिक्स / सेमीकंडक्टर भौतिकी में एक आम समस्या) के लिए पॉइसन समीकरण को हल कर रहा हूं जहां सेल केंद्रों पर अज्ञात को परिभाषित किया जाता है और सेल चेहरे पर फ्लक्स होता है।

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

प्रभार प्रोफ़ाइल (स्रोत शब्द) द्वारा दिया गया है,

$$\rho(x)= \begin{cases} -1,& \text{if } -1 \leq x \leq 0\\ 1,& \text{if } 0 \leq x \leq 1\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

और सीमा की स्थिति है,

$$\phi(x_L)=0 \\ \frac{\partial\phi}{\partial x}\bigg|_{x_R}=0$$

और डोमेन है $[-10,10]$।

मैं विज्ञापन-प्रसार-प्रसार-समीकरण समीकरण को हल करने के लिए विकसित कोड का उपयोग कर रहा हूं (मैंने खुद लिखा है कि मेरे नोट्स यहां देखें, http://danieljfarrell.github.io/FVM )। शिश्न-विसरण-प्रतिक्रिया समीकरण पोइसन समीकरण का अधिक सामान्य मामला है। वास्तव में पोइसन समीकरण को उत्तोलन वेग को शून्य पर सेट करके और क्षणिक शब्द को हटाकर पुनः प्राप्त किया जा सकता है।

इस कोड का परीक्षण यूनिफॉर्म, नॉनफॉर्म और रैंडम ग्रिड के लिए कई स्थितियों के खिलाफ किया गया है और विज्ञापन -प्रसार-प्रसार-प्रतिक्रिया समीकरण के लिए हमेशा एक उचित समाधान ( http://danieljfarrell.github.io/FVM/examples.html ) तैयार करता है।

यह दिखाने के लिए कि कोड कहां टूटता है, मैंने निम्न उदाहरण बनाया है। मैं 20 कोशिकाओं के एक समान जाल की स्थापना करता हूं और फिर एकल कोशिका को हटाकर इसे गैर- समान बनाता हूं । बाएं आकृति में मैंने कोशिका को हटा दिया है$\Omega_8$ और सही में $\Omega_9$निकाल दिया गया है। 9 वें सेल में उस क्षेत्र को शामिल किया गया है जहाँ स्रोत शब्द (अर्थात आवेश) में परिवर्तन होता है। बग तब दिखाई देता है जब ग्रिड ऐसे क्षेत्र में गैर-समान होता है जहां प्रतिक्रिया अवधि में परिवर्तन होता है । जैसा कि आप नीचे देख सकते हैं।

किसी भी विचार क्या संभावना इस मुद्दे का कारण हो सकता है? मुझे बताएं कि क्या विवेकाधिकार के बारे में अधिक जानकारी उपयोगी होगी (मैं इस प्रश्न में बहुत अधिक विवरण नहीं देना चाहता था)।

Comments

क्या आप यह निर्दिष्ट कर सकते हैं कि आप डिरिचलेट स्थिति को किस प्रकार से लागू करते हैं $x=0$, और आपका क्या मतलब है $\rho = -1$एक प्रारंभिक स्थिति के रूप में (क्या आप स्थिर स्थिति निर्दिष्ट नहीं है)?

— जेसी चैन

प्रतिक्रिया शब्द कैसा दिखता है?

— Jan

स्रोत शब्द के अभिन्न अंग को अनुमानित करने के लिए आप किस योजना का उपयोग करते हैं? यह व्यवहार स्रोत के अपर्याप्त नमूने के कारण भी हो सकता है। (क्या, शायद, वही तंत्र @JLC के उत्तर में उल्लिखित है।)

— Jan

मैंने मानक शब्दावली का उपयोग करने के लिए प्रश्न को अपडेट किया है। मेरे पास एक स्रोत शब्द है ($\rho$) नहीं एक प्रतिक्रिया शब्द क्योंकि जैसा कि आपने बताया कि हमें केवल स्थिर-राज्य मूल्य की आवश्यकता है। की सही स्थानिक निर्भरता$\rho$अब दिया गया है (प्रारंभिक मूल्य गलत था)।

— बॉयफ्रेंड

@JLC Dirichlet बीसी एक भूत सेल दृष्टिकोण (मेरे नोट ऑनलाइन कार्यान्वयन विस्तार के बारे में पुराने हो चुके हैं), मैं इसे कैसे करते हैं, के लिए यहाँ देख का उपयोग कर लगाया जाता है scicomp.stackexchange.com/questions/8538/...

— boyfarrell

Answer 1

एक तरफ के रूप में, अपने github प्रलेखन शानदार है।

यह केवल डीजी तरीकों से एक अनुमान है, जिसमें समान मुद्दे हो सकते हैं यदि संख्यात्मक प्रवाह को ध्यान से नहीं चुना गया है (मैं आंकड़ा FV विधियों डीजी विधियों का सबसेट है)। यदि आप अपने फ्लक्स को परिभाषित करने के लिए सेल केंद्रों से प्रक्षेप का उपयोग कर रहे हैं, तो यह डीजी में संख्यात्मक प्रवाह के रूप में औसत का उपयोग करने और टुकड़ा करने योग्य निरंतर आधार का उपयोग करने के बराबर होना चाहिए। पॉसन के लिए मानक डीजी तरीकों के लिए, यह संख्यात्मक रूप से गैर-अद्वितीय समाधान की ओर जाता है - आप असतत ऑपरेटर के लिए एक गैर-तुच्छ शून्य स्थान प्राप्त कर सकते हैं, जो मुझे लगता है कि 2 उदाहरण में आपके मुद्दों का कारण बन रहा है। महानिदेशक की तरफ से उनके सिद्धांत के लिए यह डीजी पेपर देखें ।

मैं FV के लिए एक उदाहरण का मजाक उड़ाने की कोशिश करूँगा जो दिखाता है कि यह कैसे खेल में आता है।

संपादित करें: तो यहां जो चल रहा है उसका एक छोटा सा उदाहरण है। कोशिकाओं 1-9 और 11-20 जिसमें पर विचार करें$\rho(x) = 0$। दाईं ओर (11-20) से, हमारे पास है$f(x_{20}) = 0$ न्यूमैन की स्थिति के कारण, जो हमें उस सेल के संरक्षण से बताता है $f(x_{19}) = \ldots = f(x_{11}) = 0$। चूंकि फ्लक्स सेल वैल्यू का औसत है, यह हमें बताता है कि$\phi(x)$ इन सभी कोशिकाओं पर स्थिर है।

बाईं ओर से (1-9), हमारे पास है $f(x_{i+1})-f(x_i) = 0$। अगर$f(-10) = 0$ और हम भूत कोशिकाओं का उपयोग करते हैं $f(-10) = \phi_{9.5} - \phi_{\rm ghost} = \phi_{9.5}$। अगली कुछ कोशिकाओं पर संरक्षण देता है$f(x_i) = f(-10) = \phi_{9.5}$(अर्थात निरंतर ढलान)। हालांकि, ध्यान दें कि यह कोई भी ढलान हो सकता है, बस स्थिर।

मुद्दे के बारे में मध्य सेल में आता है। जनवरी उल्लेख की तरह, आप दूसरी जाली में जाली को रेखांकित करते हैं। यह उस बिंदु पर शेष समीकरणों को फेंकता है, आपको एक त्रुटि देता है$f(10)$, जो फिर पीछे की ओर प्रचार करता है और डोमेन के बाएं आधे हिस्से में दोनों ढलान के साथ-साथ मूल्य को भी गड़बड़ कर देता है $\phi(9.5)$।

फोर्सिंग में त्रुटियों के लिए यह संवेदनशीलता समस्याग्रस्त है - FEM या FD विधियों के विपरीत जो स्पष्ट रूप से Dirchlet स्थिति को लागू करती है $x=-10$, FV ने भूत नोड्स का उपयोग करते हुए इसे कमजोर रूप से लागू किया। सहज रूप से, भूत नोड कमजोर आवेग अपनी बाईं सीमा पर एक Neumann हालत के रूप में अच्छी तरह से स्थापित करने की तरह है। यदि आपके पास प्रसार की समस्या के लिए दो न्यूमैन स्थितियां हैं, तो आपकी समस्या बीमार है और आपके पास एक गैर-समाधान है (आप उस समस्या में कोई निरंतर जोड़ सकते हैं और अभी भी एक समाधान है)। आप यहाँ असतत स्तर पर नहीं मिलते हैं, लेकिन आप अपने प्रयोगों में जैसा देखते हैं वैसा ही संवेदनशील और जाल पर निर्भर व्यवहार करते हैं।

Comments

प्रयोग करने से मैं यह प्रदर्शित कर सकता हूं कि एफवीएम विधि केवल तभी स्थिर होती है जब स्रोत फ़ंक्शन के डिसकंटीनिटी (साइन चेंज) के दोनों तरफ बराबर वॉल्यूम होते हैं। क्या आपका विश्लेषण इससे सहमत होगा? इसका मतलब यह है कि मुझे अपनी समस्याओं का एक समझदार ग्रिड बनाने पर अधिक ध्यान देना चाहिए जो मैंने पहले किया है। शायद मुझे अगले FEM विधि को सीखने पर विचार करना चाहिए?

— बॉयफ्रेल

एक प्रासंगिक लेख, हालांकि मैं सभी विवरणों का पालन नहीं करता, jstor.org/discover/10.2307/2157873

— बॉयफ्रेंड

एफवीएम विधि केवल इस मामले में स्थिर होती है जब ग्रिड किसी तरह स्रोत फ़ंक्शन के साथ गठबंधन किया जाता है। यदि आपका स्रोत कार्य बदलता है, तो आपको अपने ग्रिड को फिर से ट्यून करना होगा। मुझे नहीं लगता कि एक समझदार ग्रिड उत्पन्न करना इस समस्या का सही तरीका है - आपके पास एक अस्थिर तरीका है।

— जेसी चान

यह एक अच्छी खोज है। सुली एक ठोस विश्लेषक है। मैं कहूंगा कि FEM सीखना मजेदार हो सकता है, लेकिन एफडी को किसी भी अण्डाकार 1D समस्याओं के लिए भी काम करना चाहिए। आप यह भी देख सकते हैं कि एफवी लोग क्या करते हैं (शायद जुर्माना शर्तों के साथ अपने प्रवाह को बढ़ा सकते हैं) सामान्य ग्रिड पर 2 डी क्रमिक अण्डाकार समस्याओं के लिए अभिसरण प्राप्त करने के लिए। गणितीय लोक ज्ञान आमतौर पर कहते हैं कि एफवी / अपवर्जित एफडी हाइपरबोलिक समस्याओं के लिए महान है जबकि एफईएम / केंद्रीय अंतर एफडी अण्डाकार के लिए महान है।

— जेसी चान

मैं इस समस्या को संशोधित कर रहा हूँ। आपके उत्तर को पुनः पढ़कर मुझे कहना होगा कि यह शानदार है! मैं आपकी बात देखता हूं कि विधि बदलनी चाहिए क्योंकि वह समस्या की जड़ है (ग्रिड नहीं)। क्या आपके पास कोई सुझाव या चीजें हैं, जिनका मैं पालन कर सकता हूं (जो एक गैर विशेषज्ञ के लिए प्रशंसनीय हैं) इस मामले में प्रवाह को बेहतर ढंग से अनुमानित करने के तरीके पर। एक तरह से वह इसे और अधिक स्थिर बना सकता है। यदि संभव हो तो मैं इस समीकरण के लिए एक बेहतर एफवीएम खोजना चाहूंगा।

— boyfarrell

Answer 2

नोटिस करने के लिए पहली चीज आपकी सीमाएं हैं। चूंकि आप ढलान और मूल्य को बदल सकते हैं, आपके पास न तो डिरिचलेट है, न ही न्यूमैन की स्थिति।

फिर, हर सीधी रेखा एक ऐसा हल है जहां दाहिने हाथ की तरफ शून्य है। आपको वह हिस्सा मिल गया।

आपके फ्लक्स शायद पर निर्भर हैं $h$। क्या आप सही का उपयोग करते हैं?$h$ जहाँ आप एक सेल को खत्म करते हैं?

Comments

नहीं, यह सही नहीं है। समस्या अच्छी तरह से सामने आई है। मामले के लिए$\rho \equiv 0$ केवल $\phi \equiv 0$एक समाधान है, कोई अन्य रैखिक कार्य नहीं है जो एक बिंदु पर शून्य है और दूसरे बिंदु पर शून्य ढलान है।

— Jan