क्या परिमित तत्व सॉफ्टवेयर हैं जो पांच से अधिक आयामों को संभालते हैं?

मैं FE के साथ एक शुरुआत कर रहा हूँ। मेरा आवेदन वित्तीय डेरिवेटिव का मूल्य निर्धारण है जहां अंतरिक्ष पांच आयामी है। इसलिए, समय को जोड़ते हुए, समस्या के छह आयाम हैं।

मैंने चारों ओर देखने की कोशिश की (Fenics, escript, deal.II, ...), लेकिन मेरी समझ यह है कि वे सॉफ़्टवेयर 3 + 1 (3 डी स्पेस + 1 डी समय) तक सीमित हैं। क्या ये सही है?

मेरी लक्षित भाषा पाइथन या C ++ है।

मेरी समस्या का विवरण
मैं एक निवेश उत्पाद की कीमत लगाना चाहूंगा, जहां हर महीने, निवेशक को फिर से निवेश करने या न करने की स्वतंत्रता है। मैं स्टोचैस्टिक अस्थिरता, स्टोकेस्टिक ब्याज दर और स्टोचस्टिक मृत्यु दर के साथ ऐसा करना चाहूंगा।
स्टोकेस्टिक PDEs इस तरह दिखते हैं जैसे जहां स्टॉक मूल्य , और जुड़ा एक समय-निर्भर स्थिरांक है।

\begin{aligned} d S_{t} & = μ_{t}^{S} d_{t} + \sqrt{σ_{t}} d B_{t}^{S} & (stock) \\ d σ_{t} & = μ_{t}^{σ} d t + ν_{t}^{σ} d B_{t}^{σ} & (volatility) \\ d r_{t} & = μ_{t}^{r} d t + ν_{t}^{r} d B_{t}^{r} & (interest rate) \\ d q_{t} & = μ_{t}^{q} d t + ν_{t}^{q} d B_{t}^{q} & (mortality) \end{aligned}

$\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt + \nu^r_t dB^r_t & \text{(interest rate)} \\ dq_t &= \mu^q_t dt + \nu^q_t dB^q_t & \text{(mortality)} \end{align}$

μ_{t}^{S}

$\mu^S_t$

S

$S$

B_{t}^{S}

$B^S_t$ एक स्वतंत्र लेवी प्रक्रिया है जो स्टॉक मूल्य में शोर पैदा करती है । इसी प्रकार अन्य राशियों के लिए: एक समय-निर्भर मात्रा है जो अस्थिरता से जुड़ी है । चलो समय में स्वीकार्य निवेश को दर्शाता है । स्टोकेस्टिक नियंत्रण समस्या उपरोक्त पीडीई निरंतर हैं, लेकिन उत्पाद का मूल्य केवल पूर्वनिर्धारित -times पर हल किया जाता है , प्रत्येक महीने कहते हैं।

S

$S$

ν_{t}^{σ}

$\nu^\sigma_t$

σ

$\sigma$

C_{τ}

$C_\tau$

τ

$\tau$

V_{τ} = m a x {c \in C_{τ} : P (death) E (r_{τ} f (S_{τ + 1})) + P (a l i v e) E (r_{τ} V_{τ + 1})} .

$V_\tau = max \left\{ c \in C_\tau : P(\text{death})E(r_\tau f(S_{\tau+1})) + P(alive)E(r_\tau V_{\tau+1})\right\}.$

V_{τ}

$V_\tau$

τ

$\tau$

मुझे लगता है कि मोंटे-कार्लो हमेशा मेरी समस्या को बल दे सकता है, लेकिन यह बहुत धीमा है।

इस भाग के लिए स्टोकेस्टिक पीडीई का निर्धारणात्मक रूप , मान लें कि विकल्प का मूल्य प्राकृतिक समय पर परिभाषित , नहीं -times, साथ समय में निवेश । ऑपरेटर को परिभाषित करें जहां समय-निर्भर स्थिरांक

V : (t, S_{t}, σ_{t}, r_{t}, q_{t}, c_{t}) \mapsto (t, V_{t}),

$V : (t, S_t, \sigma_t, r_t, q_t, c_t) \mapsto (t, V_t),$

t

$t$

τ

$\tau$

c_{t}

$c_t$

t

$t$

\begin{aligned} L_{t} & = \partial_{r, S} + \partial_{r, σ} + \partial_{σ, S} \\ L_{t}^{S} & = σ_{t} \partial_{S} + r_{t} \partial_{S, S} \\ L_{t}^{r} & = \partial_{r} + \partial_{r, r} \\ L_{t}^{σ} & = \partial_{σ} + \partial_{σ, σ} \\ L_{t}^{q} & = \partial_{q} + \partial_{q, q} \end{aligned}

$\begin{align} L_t &= \partial_{r,S} + \partial_{r,\sigma} + \partial_{\sigma,S} \\ L^S_t &= \sigma_t \partial_S + r_t \partial_{S,S} \\ L^r_t &= \partial_r + \partial_{r,r} \\ L^\sigma_t &= \partial_\sigma + \partial_{\sigma,\sigma} \\ L^q_t &= \partial_q + \partial_{q,q} \end{align}$

{μ_{t}^{S}, \dots}

$\{\mu^S_t,\ldots\}$ नजरअंदाज कर दिया जाता है। नियतात्मक PDE तत्कालीन जो -times पर इष्टतम नियंत्रण समस्या के लिए अनुकूलित किया जा सकता है ।

\partial_{t} V_{t} + (L_{t} + L_{t}^{S} + L_{t}^{σ} + L_{t}^{r} + L_{t}^{q}) V_{t} = 0,

$\partial_t V_t +\left(L_t+ L^S_t + L^\sigma_t + L^r_t+L^q_t\right)V_t = 0,$

τ

$\tau$

pde finite-element

क्या आप वाकई इस समस्या के लिए परिमित तत्वों का उपयोग करना चाहते हैं? यह मदद करेगा यदि आप समस्या का कुछ और वर्णन कर सकते हैं (विशेष रूप से पीडीई जिसे आप हल करना चाहते हैं)।

— विक्टर लियू

@Liu मैंने और विवरण जोड़े। मैं यद्यपि FE के बारे में हूं क्योंकि MC बहुत धीमा है।

क्या आप संकेतन को स्पष्ट कर सकते हैं? क्या अर्थ में व्युत्पन्न है ?

v^{p}

$v^p$

p

$p$

— जेसी चैन

मुझे लगता है कि आप बेहतर उत्तर प्राप्त करेंगे यदि आप उस नियतकालिक PDE को पोस्ट करते हैं जिसे आप हल करने जा रहे हैं। क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि स्वतंत्र चर क्या हैं? अभी, ऐसा लगता है कि केवल स्वतंत्र चर समय है। क्या आप बहुपदीय अराजकता विस्तार का उपयोग करके इन स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों को हल कर रहे हैं, और यही कारण है कि आपके पास नियतात्मक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली होगी?

— ज्योफ ऑक्सबेरी

एक ओर आप मध्यम आयामों और गतिशीलता के अभिशाप में एफई के उपयोग की जटिलताओं से निपट सकते हैं, या आप एमसी या बेहतर क्यूएमसी के लिए स्पीडअप विधियों पर काम कर सकते हैं। बाद की दुनिया आवश्यक रूप से बदतर नहीं है, वास्तव में यह कई कारणों से क्वांट की दुनिया में पसंद का दृष्टिकोण है, इसलिए इसे इतनी आसानी से खारिज करने में सावधान रहें।

— क्वार्ट्ज

जवाबों:

मान लें कि आप ब्लैक-स्कोल्स समीकरण या 5 संपत्तियों के पोर्टफोलियो पर एक संस्करण को हल करना चाहते हैं, तो आपके पास वास्तव में 5 स्थानिक प्लस एक समय आयाम है। मुझे कोई FEM पैकेज नहीं पता है जो मेरे सिर के ऊपर से हो सकता है (Deal.II आसानी से ऐसा नहीं कर सकता है, लेकिन नीचे देखें) लेकिन मुझे लगता है कि मुझे याद है कि ETH ज्यूरिख में क्रिस श्वाब के समूह के कुछ लोगों ने इस तरह हल किया विरल जाल का उपयोग कर समस्याओं। आप उनके प्रकाशनों के आसपास भाग्यशाली हो सकते हैं।

अन्य समीकरण हैं जिनके अतिरिक्त आयाम हैं। एक उदाहरण विकिरण हस्तांतरण समीकरण है जिसमें 3 स्थान + 1 समय + 2 कोणीय + 1 ऊर्जा आयाम है। जिस तरह से आमतौर पर हल किया जाता है वह 3-आयामी स्थान को हमेशा की तरह अलग करना है, फिर अलग 2 और 1-आयामी जाल पर कोणीय और ऊर्जा आयामों को अलग करें और स्थानिक जाल के प्रत्येक नोडल बिंदु पर बस बहुत सारे चर होते हैं (प्रत्येक के लिए एक कोणीय जाल के प्रत्येक नोड ऊर्जा जाल में नोड्स की संख्या)। हम इस योजना का उपयोग सफलतापूर्वक II. कार्यान्वयन में करते हैं। यह विकिरण हस्तांतरण समीकरण के लिए समझ में आता है, और यह आपके समीकरण के लिए अनुकरण किया जा सकता है, भले ही यह स्वाभाविक न हो।

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

DUNE, डिस्ट्रिब्यूटेड एंड यूनिफाइड न्यूमेरिक्स एनवायरनमेंट http://www.dune-project.org , कुछ स्ट्रक्चर्ड ग्रिड्स ऑफ आर्बिट्रिकल डाइमेंशन (SGrid, और Yaspgrid) की सुविधा देता है , DUNE के फीचर्स देखें । वर्तमान में, एक शाखा है जो यास्प्रेसिड, उपरोक्त ग्रिडों में से एक, एक टेनर उत्पाद ग्रिड में बदल जाती है, यदि वह ब्याज की है। 2.0 रिलीज होने के बाद से (वर्तमान में 2.2.1 है, और 2.3 जल्द ही आने वाला है) हमारे पास विभिन्न परिमित तत्व विधियों के लिए संदर्भ तत्व हैं जो मनमाना आयामों का समर्थन करते हैं। इसलिए यह संभव है कि उदाहरण के तौर पर डिसट्रिब्यूशन मॉड्यूल ड्यून-पीडेलैब के साथ मनमाने आयाम के परिमित तत्व विवेकाधिकार स्थापित किए जाएं । यद्यपि इसका परीक्षण अक्सर नहीं किया जा सकता है।

कहा जाता है कि, वुल्फगैंग ने बताया कि अभी भी आयामीता का अभिशाप है।

अधिक जानकारी के लिए मैं आपको DUNE मेलिंगलिस्ट्स के लिए संदर्भित करता हूं ।

— मार्कस ब्लाट
स्रोत

ठीक है, तो ऐसा लगता है कि आपके पास ओडीई का एक युग्मित सेट है, जहां तक मैं बता सकता हूं, समय के संबंध में केवल डेरिवेटिव हैं, और किसी भी चीज के संबंध में कोई डेरिवेटिव नहीं है। मनमाने ढंग से आयाम के ODE के सिस्टम को हल करने के लिए काफी कुछ पैकेज हैं (Matlab में सामान की तरह है ode45)। अजगर के लिए, कुछ सुझावों के लिए इस प्रश्न को देखें। अंत में, netlib पर पुराना फोरट्रान कोड है जिसे C ++ के साथ आसानी से जोड़ा जा सकता है (उपयोग में आसानी एक और मामला है)। वहाँ शायद बेहतर विकल्प वहाँ से बाहर है क्योंकि यह एक समय हो गया है जब से मैंने देखा है (दूसरों को झंकार करना चाहिए)।

— विक्टर लियू
स्रोत

नियतात्मक PDEs जोड़कर, मुझे लगता है कि मेरा प्रश्न स्पष्ट नहीं था। क्षमा करें और मदद करने के लिए धन्यवाद।