क्वांटम मोंटे कार्लो के बारे में भ्रम

मेरा प्रश्न QMC विधियों से वेधशालाएँ निकालने के बारे में है, जैसा कि इस संदर्भ में वर्णित है ।

मैं पथ इंटीग्रल मोंटे कार्लो जैसे विभिन्न QMC तरीकों की औपचारिक व्युत्पत्ति को समझता हूं। हालांकि, दिन के अंत में मैं अभी भी उलझन में हूं कि इन तकनीकों का प्रभावी ढंग से उपयोग कैसे किया जाए।

क्वांटम एमसी विधियों की व्युत्पत्ति का मूल विचार ट्रॉट्टर सन्निकटन के माध्यम से समझ में आता है, एक ऑपरेटर जो या तो घनत्व मैट्रिक्स या क्वांटम प्रणाली के समय-विकास ऑपरेटर हो सकता है। हम फिर एक अतिरिक्त आयाम के साथ एक शास्त्रीय प्रणाली प्राप्त करते हैं जिसे एमसी विधियों के साथ इलाज किया जा सकता है।

यह देखते हुए कि हम क्वांटम ऑपरेटर में व्याख्या कर सकते हैं दोनों एक उलटा तापमान और एक काल्पनिक समय के रूप में, इन एल्गोरिदम का उद्देश्य इस ऑपरेटर के एक सन्निकटन की गणना करना चाहिए। वास्तव में, अगर हम सीधे एक सिमुलेशन के साथ नमूना किए गए विभिन्न विन्यासों से मात्राओं को मापेंगे, तो "उलटा तापमान" मामले में हमारे पास एक संभावना घनत्व का सम्मान करने वाले नमूने होंगे जो कि पर आधारित हैं , जहां असतत चरणों की संख्या है। टट्टर का अपघटन। इसके बजाय, "काल्पनिक समय" मामले में हम विभिन्न असतत समय-चरणों में नमूने प्राप्त करेंगे, इस प्रकार समय के साथ-साथ औसत हो रहे हैं। हम भी जैसी मात्राएँ प्राप्त नहीं करेंगे $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ एक निश्चित समय पर , के साथ कुछ नमूदार ऑपरेटर। $t$ $\hat{A}$

हालाँकि, मेरी राय में हम दस्तावेज़ के इस प्रकार के सिमुलेशन (5.34) से लिए गए इस प्रकार के नमूने सीधे लेते हैं, पृष्ठ 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

अतिरिक्त आयाम को देखते हुए क्वांटम प्रणाली से संबंधित मात्राएं नहीं हो सकती हैं। इसके बजाय, सही क्वांटम मात्रा की गणना सूत्रों के माध्यम से की जा सकती है, जैसे (5.35), जिसमें प्रत्येक नमूने में सिम्युलेटेड कॉन्फ़िगरेशन की एक पूरी श्रृंखला होती है: $M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

क्या मैं सही हूं कि किसी दिए गए अवलोकन के बारे में उपयोगी जानकारी निकालने के लिए QMC सिमुलेशन की एक श्रृंखला की आवश्यकता है?

monte-carlo quantum-mechanics

— Pippo
स्रोत

बशर्ते कि मैं आपको सही ढंग से समझता हूं, यह मुझे चौंकाता है कि सिस्टम के एर्गोडिक होने पर दोनों दृष्टिकोण समान हैं।

— डैनियल शेपरो

@DanielShapero क्या आप वास्तव में समकक्ष होने के साथ मतलब है?

— पिप्पो

मैं बस मोंटे कार्लो के रास्ते को नजरअंदाज कर देता हूं और आपको वास्तव में सिर्फ इस बात की अनदेखी करनी चाहिए कि मैंने क्या कहा, यह अप्रासंगिक है।

— डैनियल शेपरो

मुझे नहीं लगता कि क्वांटम मोंटे कार्लो के बारे में कोई संदेह है; यह बहुत अच्छी तरह से समझा और दृढ़ता से सैद्धांतिक रूप से समर्थित है ...

— निक

आपका क्या तात्पर्य है ?

एक संख्या है और अगर

एक discretization की तरह आप ने कहा है, यह एक सेट है। क्या

मतलब ट्रॉटर नंबर होना है?

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

— Dan

जवाबों:

आपके प्रश्न में बहुत भ्रम है। मेरे लिए सबसे महत्वपूर्ण यह है कि आपको याद है कि "भोले" QMC जो मोंटे-कार्लो की गणना कुछ वैचारिक पद्धति में अभिन्न हैं और प्रसार मोंटे-कार्लो अलग-अलग तर्क और व्युत्पत्ति के साथ अलग-अलग तरीके हैं।

हालांकि मुख्य बिंदु काल्पनिक समय के बारे में है। प्रसार मोंटे-कार्लो काल्पनिक समय में समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को समय-निर्भर प्रसार-समीकरण के रूप में परिवर्तित करने की एक चाल है जो अनंत "समय" सीमा में समाधान मूल श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के लिए जाता है। बस। DQMC में समय वास्तविक नहीं है।

आधुनिक भौतिकी, 73, 33 (2001) की समीक्षा में अपेक्षाकृत अच्छा लेकिन सरल विवरण दिया गया है ।

PS वैसे, आपके प्रश्न में "टैरोटर सन्निकटन" का क्या अर्थ है?

— Misha
स्रोत

मुझे नहीं लगता कि यह भ्रम है, यह मेरा सवाल है क्योंकि मैंने कभी डिफ्यूजन एमसी का उल्लेख नहीं किया है, जिसका विचार काफी अलग है, हालांकि यह घनत्व / समय-विकास ऑपरेटर के विवेक से भी शुरू होता है (लेकिन यह एक अलग व्याख्या के साथ समाप्त होता है यह)।

— पिप्पो

"ट्रोटर सन्निकटन" के साथ मैं ऑपरेटर का अनुमान करने के विचार का मतलब यह

उत्पाद के साथ

, साथ

किया जा रहा है

।

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

— पिप्पो

Btw, अंत में मैंने परीक्षा के अंत में सीधे प्रोफेसर से पूछते हुए अपना मुद्दा हल किया (जो बहुत अच्छी तरह से: डी), और हाँ, हम क्वांटम वांछित लोगों के लिए सिम्युलेटेड मात्रा को लिंक नहीं कर सकते।

— पिप्पो

@Pippo तो, आप वास्तव में क्या मतलब था पथ-इंटीग्रल मोंटे कार्लो था। मैं अब भी आपको अपने प्रश्न में इसका उल्लेख नहीं करता।

— मिशा

दूसरी पंक्ति: "मैं पथ इंटीग्रल मोंटे कार्लो जैसी विभिन्न QMC विधियों की औपचारिक व्युत्पत्ति को समझता हूं।" ;)

— पीप्पो

आप सही हैं कि लोग हर समय सांख्यिकीय औसत की गणना के लिए मोंटे कार्लो तकनीकों का उपयोग करते हैं (समय-समय पर हल की गई जानकारी के विपरीत)। यह जरूरी नहीं कि यह सच है कि यह गणना की जानी चाहिए : यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस तरह की जानकारी चाहते हैं। हो सकता है कि आपके पास समय-निर्भर बाहरी बल हो, उदाहरण के लिए, और यह देखना चाहते हैं कि सिस्टम प्रतिक्रिया में कैसे विकसित होता है।

— सज्जन
स्रोत

जवाब देने के लिए शुक्रिया। मैं जो पूछ रहा हूं, उसका अधिक विवरण देने की कोशिश करूंगा। अपने आप को और अधिक समझने के लिए, मैं इस काम का उल्लेख करूँगा जो मैंने इंटरनेट पर पाया: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

क्वांटम एमसी विधियों की व्युत्पत्ति का मूल विचार ट्रॉट्टर सन्निकटन के माध्यम से समझ में आता है, एक ऑपरेटर जो घनत्व मैट्रिक्स या क्वांटम सिस्टम के समय-विकास ऑपरेटर हो सकता है; इस तरह, हम एक अतिरिक्त आयाम के साथ एक शास्त्रीय प्रणाली प्राप्त करते हैं जिसे एमसी विधियों के साथ इलाज किया जा सकता है।

— पिप्पो

M

$M$

यहाँ मेरा सवाल आता है: क्या मैं क्वांटम मोंटे कार्लो के तरीकों की अपनी व्याख्या के साथ सही हूं?

— पिप्पो

मैं अपने मूल प्रश्न को भी संपादित करूंगा।

— पिप्पो