FEM विवेक के लिए कमजोर रूप प्राप्त करने में भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करने का उद्देश्य क्या है?

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जब एक PDE से FEM फॉर्म के मजबूत रूप में जा रहा है, तो ऐसा लगता है कि किसी को हमेशा वैरिएबल फॉर्म को पहले बताते हुए ऐसा करना चाहिए। ऐसा करने के लिए आप कुछ (सोबोलेव) स्थान में एक तत्व द्वारा मजबूत रूप को गुणा करते हैं और अपने क्षेत्र पर एकीकृत करते हैं। यह मैं स्वीकार कर सकता हूं। मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि क्यों एक को भी ग्रीन के सूत्र (एक या कई बार) का उपयोग करना पड़ता है।

मैं ज्यादातर पॉइसन के समीकरण के साथ काम कर रहा हूं, इसलिए यदि हम उदाहरण के तौर पर इसे (समरूप डिरिक्लेट सीमा शर्तों के साथ) लेते हैं, तो

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

तब यह दावा किया जाता है कि परिवर्तनशील रूप बनाने का सही तरीका है

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

लेकिन जो मुझे पहली पंक्ति पर अभिव्यक्ति का उपयोग करने से रोकता है, क्या वह भी एक वैचारिक रूप नहीं है जिसे FEM रूप प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है? यह बिलिनियर और रैखिक रूपों $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ और अनुरूप नहीं है $l(v)=(f, v)$ ? क्या यहाँ समस्या यह है कि अगर मैं रैखिक आधार फ़ंक्शंस (आकार फ़ंक्शंस) का उपयोग करता हूँ तो मैं मुश्किल में पड़ जाऊँगा क्योंकि मेरी अकड़न मैट्रिक्स अशक्त मैट्रिक्स होगी (उलटी नहीं)? लेकिन क्या होगा अगर मैं गैर-रैखिक आकार के कार्यों का उपयोग करूं? क्या मुझे अभी भी ग्रीन के फार्मूले का उपयोग करना है? अगर मेरे पास नहीं है: क्या यह उचित है? यदि मैं नहीं करता हूं, तो क्या मेरे पास एक परिवर्तनशील-लेकिन-नहीं-कमजोर सूत्रीकरण है?

अब, मान लें कि मेरे पास उच्च आदेश व्युत्पन्न के साथ एक पीडीई है, क्या इसका मतलब यह है कि ग्रीन के फार्मूले का उपयोग करने के तरीके के आधार पर, कई संभावित रूपांतर हैं? और वे सभी (अलग) FEM सन्निकटन के लिए नेतृत्व करते हैं?

pde finite-element elliptic-pde

— ईसाई
स्रोत

संबंधित: scicomp.stackexchange.com/questions/667/...

— पॉल

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संक्षिप्त जवाब:

नहीं, आपको कुछ FEM के लिए एकीकरण करने की आवश्यकता नहीं है। लेकिन आपके मामले में, आपको ऐसा करना होगा।

लंबा जवाब:

मान लीजिए कि परिमित तत्व समाधान है। यदि आप चुनते हैं piecewise रैखिक बहुपद अपने आधार के रूप में, तो लेने उस पर आप दे देंगे एक आदेश 1 वितरण (एक इकाई पग-फलन पर व्युत्पन्न लेने लगता है), और के एकीकरण के साथ गुणा केवल होगा जब आप इसे -inner उत्पाद के बजाय एक द्वैत जोड़ी के रूप में लेते हैं, तो समझें। आप न तो एक अशक्त मैट्रिक्स मिल जाएगा, Riesz प्रतिनिधित्व प्रमेय का कहना है में एक तत्व है कि वहाँ $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ में आंतरिक उत्पाद से द्वंद्व जोड़ी को चिह्नित कर सकते हैं : तत्व द्वारा भागों तत्व द्वारा एकीकृत करने के लिए इस द्वंद्व जोड़ी पर एक प्रकाश डाला जाएगा: के लिए में इस ट्राईऐन्ग्युलेशंस एक तत्व $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ इस आपको बताता है कि , अपने द्वंद्व जोड़ी प्रतिनिधित्व में अंतर-तत्व प्रवाह कूद शामिल होना चाहिए नोटिस प्रत्येक तत्व के बॉर्डर पर एकीकरण भी जो द्वंद्व जोड़ी है और । यहां तक कि अगर आप द्विघात आधार, जो का उपयोग एक गैर गायब हो जाने प्रत्येक तत्व पर, आप अभी भी नहीं लिख सकते हैं एक आंतरिक उत्पाद, इस अंतर-तत्व प्रवाह कूद की मौजूदगी की वजह से है। $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
कुछ FEMs के लिए, आपको भागों द्वारा एकीकरण करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, लिस्ट-स्क्वायर परिमित तत्व। पहले ऑर्डर सिस्टम के रूप में दूसरा ऑर्डर pde लिखें: तब आप न्यूनतम-वर्ग कार्यात्मक को कम करना चाहते हैं: Ritz-Galerkin कार्यात्मक के साथ एक ही भावना को वहन करते हुए, एक कार्यात्मक में ऊपर से छोटा करने का परिमित तत्व विनियमन परिमित तत्व स्थान को भागों द्वारा एकीकरण की आवश्यकता नहीं होती है।
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— शुआओ काओ
स्रोत

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कुछ भी आपको तकनीकी रूप से ऐसा करने से नहीं रोकता है, लेकिन जब आप भागों को एकीकृत करते हैं तो आपको समाधान स्थान के साथ अधिक लचीलापन मिलता है जिसमें उन्हें नियमितता (गैर आईबीपी सूत्रीकरण के लिए आवश्यक) की आवश्यकता नहीं होती है। आपके द्वारा सुझाए गए रैखिक तत्व आमतौर पर तत्वों के बीच निरंतरता को लागू करते हैं, और इसलिए में नहीं हो सकता है । IBP सूत्रीकरण सममित है, जिसके अपने कुछ फायदे भी हैं। $H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
स्रोत

1

क्या आप कह रहे हैं कि रैखिक आकार फ़ंक्शंस FEM फॉर्मूलेशन का समाधान देता है जो में नहीं है क्योंकि इस FEM समाधान को दो बार (कमजोर रूप से) विभेदित करने से डेल्टा वितरण का योग मिलता है, जो में नहीं है ? क्या इसका मतलब यह है कि pde के लिए: 2 से अधिक के ऑर्डर मुझे 1 से अधिक के ऑर्डर के आकार के कार्यों का उपयोग करना चाहिए (कम से कम यदि परीक्षण और परीक्षण स्थान समान होना चाहिए?)।

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— क्रिश्चियन

1

आप जो कह रहे हैं वह अनिवार्य रूप से सही है। दूसरे क्रम से अधिक पीडीए के लिए, आपको आवश्यक नहीं है कि मिश्रित नियमन लिखने के रूप में उच्च नियमितता रिक्त स्थान का उपयोग करें (शुआ का जवाब देखें) मदद कर सकता है। आप इस कठिनाई से बचने के लिए अन्य तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं जैसे कि जंप पेनलाइजेशन। शास्त्रीय FEM उत्तर के लिए, हां, आपको उच्च नियमितता की आवश्यकता होगी।

— रीड.टेकसन

2

मुझे समरूपता के महत्व पर जोर देना चाहिए। यदि एक अंतर ऑपरेटर स्वयं-सहायक है, तो मैं सममित मैट्रिक्स के साथ अंत तक समाप्त होने की उम्मीद करता हूं। भागों द्वारा एकीकरण के बिना यह मामला नहीं होगा।

— स्टेफानो एम

1

कम्प्यूटेशनल बेनिफिट्स को जोड़ने में मेरा प्राथमिक विचार था, लेकिन क्या समरूपता के मजबूत सैद्धांतिक लाभ भी हैं (तथ्यों के आसान साक्ष्यों से अलग है कि संभावना अभी भी अण्डाकार मामले में पकड़ है, भले ही विवेक निरर्थक हो)?

— रीड.टेकसन

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इस पृष्ठ पर पहले से ही उत्कृष्ट उत्तर, लेकिन अभी भी (छोटा) लापता बिंदु है।

ओपी ने पूछा:

अब, मान लें कि मेरे पास उच्च आदेश व्युत्पन्न के साथ एक पीडीई है, क्या इसका मतलब यह है कि ग्रीन के फार्मूले का उपयोग करने के तरीके के आधार पर, कई संभावित रूपांतर हैं? और वे सभी (अलग) FEM सन्निकटन के लिए नेतृत्व करते हैं?

भागों द्वारा ( सही तरीके से) एकीकृत करना महत्वपूर्ण है जब आपके पास न्यूमैन प्रकार की सीमा स्थितियां होती हैं। वास्तव में यह ibp द्वारा होता है जिसे आप अपने वैचारिक रूपांतर में न्यूमैन bc के खाते में लेते हैं। न्यूमैन बीसी का रूप इस बात पर निर्भर करता है कि आप भागों द्वारा कैसे एकीकृत करते हैं, सीएफ। रैखिक लोच में भागों द्वारा एकीकरण पर यह जवाब । तो दूसरे क्रम के अण्डाकार पीडीई के लिए, भागों द्वारा एकीकरण को न्यूमैन या मिश्रित सीमा स्थितियों के लिए मान्य एक वैचारिक सूत्रीकरण को पुनर्प्राप्त करने के लिए, एक निश्चित तरीके से प्रदर्शन करना होगा। (और इस तथ्य के बावजूद कि आप FEM द्वारा विवेक करते हैं)।

गणितीय भौतिकी में, जहां न्यूमैन बीसी का एक अच्छा परिभाषित अर्थ है (गर्मी प्रवाह, तनाव ...), परिणामों की सही व्याख्या बनाए रखने के लिए भागों द्वारा एकीकरण महत्वपूर्ण है। यहां तक कि सजातीय Dirichlet शर्तों और FEM के लिए यह सच है, क्योंकि अगर हम bc लगाने के लिए एक Lagrange गुणक विधि का उपयोग करते हैं, तो गुणक भौतिक मात्रा में हो जाते हैं, जैसे कि केंद्रित प्रवाह या बल।

— स्टेफानो एम
स्रोत