Parareal, PITA और PFASST में क्या अंतर हैं?

पारलरी, पीआईटीए और पीएफएएसटी एल्गोरिदम समय-निर्भर समस्याओं के समाधान को समानांतर करने के लिए सभी डोमेन तकनीक हैं।

इन तरीकों के पीछे मार्गदर्शक सिद्धांत क्या हैं?
उनके बीच मुख्य अंतर क्या हैं?
क्या मैं कह सकता हूं कि एक दूसरे पर आधारित है? कैसे?
उनके अनुप्रयोगों के बारे में क्या?

मुझे पता है कि इस सवाल का कोई जवाब नहीं होगा "जो बेहतर है?", लेकिन उनके आवेदन क्षेत्रों और सत्यापन की स्थिति की अच्छी समझ मेरे लिए उपयोगी है।

parallel-computing time-integration

— eccstartup
स्रोत

हाय एक्स्टार्टअप। मुझे दोनों दृष्टिकोणों के बीच अंतर और समानता पर टिप्पणी करने में खुशी होगी, लेकिन मुझे लगता है कि हमें इस सवाल को पहले थोड़ा पीछे करना चाहिए ...

— मैथ्यू एम्मेट

Parareal पर ऐतिहासिक पृष्ठभूमि का एक सा के लिए आप भी देख सकते हैं en.wikipedia.org/wiki/Parareal संदर्भ की एक व्यापक सूची से उपलब्ध है parallelintime.org/references/index.html

— डैनियल

वेबसाइट के URL पर अपडेट करें: यह अब www.parallel-in-time.org पर पाया जा सकता है

— डैनियल

इन विधियों को मोटे तौर पर दो टाइम-स्टेपिंग विधियों के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे और द्वारा यहां दर्शाया गया है । और दोनों एक प्रारंभिक मान लिए समाधान का अनुमान करते हैं $G$ $F$ $G$ $F$ $U_n \approx u(t_n)$

u (t) = u_{0} + \int_{0}^{t} f (τ, u (τ)) d τ

$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$

से को (यह है कि, )। कुशल होने के तरीकों के लिए, यह मामला होना चाहिए कि प्रोपगेटर प्रोपेगेटर की तुलना में कम महंगा है , और इसलिए आमतौर पर कम-ऑर्डर विधि है। चूंकि विधियों की समग्र सटीकता प्रोपगेटर की सटीकता से सीमित है , इसलिए आमतौर पर उच्च-क्रम है और इसके अलावा तुलना में एक छोटे समय कदम का उपयोग कर सकता है । इन कारणों के लिए, को मोटे प्रचारक और के ठीक प्रचारक के रूप में जाना जाता है । $t_n$ $t_{n+1}$ $\dot{u} = f(u,t)$ $G$ $F$ $G$ $F$ $F$ $G$ $G$ $F$

Parareal पद्धति की शुरुआत पहले सन्निकटन लिए जहां समय चरणों की संख्या है, मोटे प्रसार का उपयोग करके। Parareal विधि फिर क्रमिक रूप से आगे बढ़ती है, के समानांतर संगणना और प्रपत्र के प्रत्येक प्रोसेसर पर प्रारंभिक स्थितियों के अपडेट के बीच बारी-बारी से। $U_{n+1}^0$ $n = 0 \ldots N-1$ $N$ $F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

U_{n + 1}^{k + 1} = G (t_{n + 1}, t_{n}, U_{n}^{k + 1}) + F (t_{n + 1}, t_{n}, U_{n}^{k}) - G (t_{n + 1}, t_{n}, U_{n}^{k})

$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$

के लिए । यही है, समानांतर में हर बार के स्लाइस में समाधान को परिष्कृत करने के लिए फाइन प्रोपगेटर का उपयोग किया जाता है, जबकि मोटे प्रोपेगेटर का उपयोग फाइन प्रोपेगेटर द्वारा किए गए शोधन को बाद के प्रोसेसरों के माध्यम से करने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि इस बिंदु पर हमने निर्दिष्ट नहीं किया है कि और प्रचारक क्या हैं: वे हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, अलग-अलग क्रम की रनगे-कुट्टा योजनाएं। $n = 0 \ldots N-1$ $G$ $F$

PITA विधि बहुत कुछ Parareal के समान है, लेकिन यह पिछले अद्यतनों पर नज़र रखती है और केवल प्रत्येक प्रोसेसर पर प्रारंभिक स्थिति को एक प्रकार से Krylov subspace विधियों की याद दिलाती है। यह PITA को लीनियर सेकंड-ऑर्डर समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है जो कि Parareal नहीं कर सकता है।

PFASST विधि दो मूलभूत तरीकों से Parareal और PITA विधियों से भिन्न होती है: पहला, यह पुनरावृत्त वर्णक्रमीय आस्थगित सुधार (SDC) टाइम-स्टेपिंग योजना पर निर्भर करता है, और दूसरा इसमें पूर्ण प्रसार के लिए पूर्ण स्वीकृति सुधार शामिल है और वास्तव में PFASST प्रचारकों के एक पदानुक्रम (केवल दो के बजाय) का उपयोग कर सकते हैं। एसडीसी का उपयोग करने से समय-समानांतर और एसडीसी पुनरावृत्तियों को हाइब्रिड किया जाता है जो कि पारलेल और पीटीए की दक्षता बाधाओं को शांत करता है। PFASST के मोटे प्रसारकों का निर्माण करते समय FAS सुधारों का उपयोग करने से बहुत अधिक लचीलापन प्राप्त होता है (मोटे प्रसारकर्ताओं को जितना संभव हो उतना सस्ता बनाना समानांतर दक्षता बढ़ाने में मदद करता है)। मोटे तौर पर रणनीति में शामिल हैं: टाइम-कोआर्सनिंग (कम एसडीसी नोड्स), स्पेस-कोआर्सनिंग (ग्रिड आधारित पीडीई के लिए), ऑपरेटर मोटे, और कम भौतिकी।

मुझे आशा है कि यह एल्गोरिदम के बीच की बुनियादी बातों, मतभेदों और समानताओं को रेखांकित करता है। कृपया अधिक जानकारी के लिए इस पोस्ट में संदर्भ देखें।

अनुप्रयोगों के संबंध में, विधियों को विभिन्न प्रकार के समीकरणों (ग्रहों की कक्षाओं, नवियर-स्टोक्स, कण प्रणालियों, अराजक प्रणालियों, संरचनात्मक गतिशीलता, वायुमंडलीय प्रवाह आदि) पर लागू किया गया है। किसी समस्या के लिए समय-समांतरीकरण लागू करते समय आपको निश्चित रूप से समस्या को हल करने के लिए उपयुक्त तरीके से विधि को मान्य करना चाहिए।

— मैथ्यू एम्मेट
स्रोत

अच्छा उत्तर! क्या आप मुझे बता सकते हैं कि Full Approximation Schemeइसका क्या मतलब है?

— एक्स्टार्टअप