अंतर्निहित FEM और स्पष्ट FEM के बीच अंतर क्या है?

Question

स्पष्ट FEM और अंतर्निहित FEM के बीच अंतर क्या है? यहाँ पोस्ट के अनुसार , ऐसा लगता है कि अंतर केवल यह है कि अंतर्निहित या स्पष्ट समय एकीकरण का उपयोग किया जाता है।

जैसा कि मुझे याद है कि मैंने जो एक किताब पढ़ी थी, उसमें निहित एफईएम वह जगह है जहां द्रव्यमान को नोड्स में नहीं रखा जाता है।

स्पष्ट और निहित FEM की सटीक परिभाषा क्या है?

Answer 1

क्षणिक समस्याओं के लिए FEM विधि आम तौर पर लाइनों की विधि का उपयोग करती है, यानी स्थानिक विवेक को समय के विवेक से अलग किया जाता है: जहां यू ( टी ) नोडल मात्रा का वेक्टर है, जिसे समय के अज्ञात कार्यों के रूप में माना जाता है। इस धारणा के तहत अंतरिक्ष समय PDE के दशक में ( एक्स , टी ) स्तोत्र के रह गए हैं (discretized) में टी अकेले स्थिर समस्याओं के लिए हमेशा की तरह एफईएम मशीनरी का उपयोग कर।

$$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{U}(t)$$(x,t)$$t$

जैसा कि अन्य उत्तरों द्वारा पहले ही बताया गया है, हम इन ODE's के समय एकीकरण योजना के संदर्भ में स्पष्ट या अंतर्निहित FEM की बात करते हैं।

सातत्य यांत्रिकी समस्याओं (बिना भिगोना) के संदर्भ में, हम ODE की प्रणाली के साथ समाप्त होते हैं जैसे जहां F i और F e आंतरिक हैं और बाहरी नोडल समकक्ष बल। रैखिक समस्याओं के लिए F i ( t ) =

$$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{F}_\text{i}$$\mathbf{F}_\text{e}$ ।$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

ओवर-simplifing हमें का खतरा मानते हैं कि एक स्पष्ट योजना में आप सिर्फ के लिए हल करने की जरूरत है एम ¨ यू ( टी ) = - एफ मैं ( यू ( टी ) ) + एफ ई ( टी ) है जो तुच्छ अगर द्रव्यमान मैट्रिक्स lumped है। निहित तरीकों के विपरीत, आपको (गैर) -linear समीकरण F i ( U ( t ) ) = b को हल करने की आवश्यकता है ।$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

$$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

आपके प्रश्न का पूरी तरह से उत्तर देने के लिए: स्पष्ट / निहितार्थ ODE प्रणाली के समाधान को दर्शाता है न कि मास मैट्रिक्स की प्रकृति को। बेशक एक स्पष्ट योजना के हर उचित कार्यान्वयन जन मैट्रिक्स lumped हो सकता है, अन्यथा विधि के फायदे के लिए समाधान में खो जाते हैं की आवश्यकता है । निहित योजनाओं के विपरीत, आपके पास एकमुश्त और सुसंगत सामूहिक विवाह दोनों हो सकते हैं।$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

Answer 2

हाँ यह समय एकीकरण है, लेकिन इसका मतलब यह भी है कि:

1. आपको निहित योजना में जहां आप नहीं करते हैं, वहां निहित योजना में एक्स = बी के प्रकार की एक रैखिक प्रणाली को हल करना होगा, क्योंकि एकमुश्त द्रव्यमान मैट्रिक्स में केवल विकर्ण प्रविष्टियां होती हैं, इसलिए आमंत्रण (एम) तुच्छ है।

2. स्पष्ट योजना में आपका समय कदम स्थिरता के लिए सीएफएल मानदंडों द्वारा सीमित है। अवैध योजनाएं बिना किसी शर्त के स्थिर होती हैं (हालांकि व्यवहार में आपको अभी भी उपयुक्त समय के लिए उचित कदम की आवश्यकता है)

आमतौर पर ऐसी समस्याएं जहां जड़त्वीय प्रभाव महत्वपूर्ण होते हैं (जैसे, तरंग प्रसार), स्पष्ट योजनाओं द्वारा हल किए जाते हैं जहां अर्ध-स्थैतिक समस्याएं आमतौर पर एक अंतर्निहित योजना का उपयोग करती हैं। हालाँकि कुछ अपवाद भी हैं।

Comments

निहित योजनाओं में न केवल समीकरणों के रैखिक सिस्टम उत्पन्न होते हैं, बल्कि (द्रव मॉडलिंग में उदाहरण के लिए) समीकरणों के गैर-रैखिक सिस्टम प्राप्त होते हैं।

— मिश्री

Answer 3

शब्द "स्पष्ट" और "निहित" समय के विवेकाधिकार में उत्पन्न होते हैं, और ये शब्द पहले से ही सामान्य अंतर समीकरणों पर साहित्य में उपयोग किए जाते हैं (यानी, वे परिमित तत्व विधि के लिए विशिष्ट नहीं हैं)। यह ODEs के संख्यात्मक समाधान पर चर्चा करने वाली पुस्तक पर एक नज़र डालने के लायक होगा, जैसे हेयरर और वानर।